ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 470 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Один катет прямоугольного треугольника на 7 см больше другого, а периметр треугольника равен 30 см. Найдите все стороны треугольника.

Пусть один катет равен $a$ см, тогда другой катет равен $a + 7$ см, а гипотенуза равна:

$$30 — a — (a + 7) = 30 — a — a — 7 = 23 — 2a \, \text{см}.$$

Составим уравнение, используя теорему Пифагора:

$$(23-2a{)}^2=a^2+(a+7{)}^2$$

$$(23 — 2a)^2 = a^2 + (a + 7)^2$$ $$529-92a+4a^2=a^2+a^2+14a+49$$

$$529 — 92a + 4a^2 = a^2 + a^2 + 14a + 49$$ $$529-92a+4a^2-a^2-a^2-14a-49=0$$

$$529 — 92a + 4a^2 — a^2 — a^2 — 14a — 49 = 0$$ $$2a^2-106a+480=0\mathrm{\mid }:2$$

$$2a^2 — 106a + 480 = 0 \quad | : 2$$ $$a^2-53a+240=0$$

$$a^2 — 53a + 240 = 0$$ $$D=(-53{)}^2-4\cdot 1\cdot 240=2809-960=1849=\sqrt{1849}=43.$$

$$D = (-53)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 240 = 2809 — 960 = 1849 = \sqrt{1849} = 43.$$ $$a_1 = \frac{53 — 43}{2} = \frac{10}{2} = 5 \, \text{(см)} \quad \text{— один катет}; \quad a_2 = \frac{53 + 43}{2} = \frac{96}{2} = 48 > 30 \quad \text{(не подходит)}.$$

Тогда второй катет:

$$a + 7 = 5 + 7 = 12 \, \text{(см)}.$$

Гипотенуза:

$$23 — 2a = 23 — 2 \cdot 5 = 23 — 10 = 13 \, \text{(см)}.$$

Ответ: $5 \, \text{см}, \, 12 \, \text{см}$ и $13 \, \text{см}.$

Дано:
Пусть один катет прямоугольного треугольника равен $a$ см, второй катет равен $a + 7$ см, а гипотенуза $23 — 2a$ см. Нам нужно найти длину катетов и гипотенузы, используя теорему Пифагора.

1. Составляем уравнение по теореме Пифагора:

Согласно теореме Пифагора для прямоугольного треугольника, сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. То есть:

$$a^2 + (a + 7)^2 = (23 — 2a)^2$$

2. Раскрываем скобки:

Теперь раскроем скобки с обеих сторон уравнения.

С левой стороны:

$$a^2 + (a + 7)^2 = a^2 + (a^2 + 14a + 49) = 2a^2 + 14a + 49$$

С правой стороны:

$$(23 — 2a)^2 = 23^2 — 2 \cdot 23 \cdot 2a + (2a)^2 = 529 — 92a + 4a^2$$

Таким образом, уравнение принимает вид:

$$2a^2 + 14a + 49 = 529 — 92a + 4a^2$$

3. Переносим все элементы на одну сторону уравнения:

Переносим все элементы на одну сторону уравнения, чтобы привести его к стандартному виду:

$$2a^2 + 14a + 49 — 529 + 92a — 4a^2 = 0$$

Теперь упрощаем:

$$(2a^2 — 4a^2) + (14a + 92a) + (49 — 529) = 0$$ $$-2a^2 + 106a — 480 = 0$$

4. Умножаем на -1, чтобы упростить коэффициенты:

Для упрощения уравнения умножим обе стороны на $-1$:

$$2a^2 — 106a + 480 = 0$$

5. Разрешаем квадратное уравнение:

Теперь решим квадратное уравнение $2a^2 — 106a + 480 = 0$ с помощью дискриминанта. Для этого применим формулу для нахождения дискриминанта $D$:

$$D = b^2 — 4ac$$

Для уравнения $2a^2 — 106a + 480 = 0$ коэффициенты $a = 2$, $b = -106$, $c = 480$. Подставляем их в формулу для дискриминанта:

$$D = (-106)^2 — 4 \cdot 2 \cdot 480 = 11236 — 3840 = 7396$$

Теперь находим корень из дискриминанта:

$$\sqrt{7396} = 86$$

6. Находим корни уравнения:

Теперь находим корни квадратного уравнения с помощью формулы:

$$a = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$

Подставляем значения $b = -106$, $D = 7396$, и $a = 2$:

$$a_1 = \frac{106 — 86}{2} = \frac{20}{2} = 10 \, \text{см} \quad \text{— один катет}$$ $$a_2 = \frac{106 + 86}{2} = \frac{192}{2} = 96 \quad \text{(не подходит, так как длина гипотенузы \( 23 — 2a \) не может быть отрицательной)}$$

7. Нахождение второго катета и гипотенузы:

Для $a_1 = 10$, второй катет будет равен:

$$a + 7 = 10 + 7 = 17 \, \text{см}$$

Теперь вычислим гипотенузу. По условию задачи гипотенуза равна:

$$23 — 2a = 23 — 2 \cdot 10 = 23 — 20 = 3 \, \text{см}$$

8. Ответ:

Таким образом, размеры катетов и гипотенузы:

• Один катет $a = 10 \, \text{см}$
• Второй катет $a + 7 = 17 \, \text{см}$
• Гипотенуза $3 \, \text{см}$

Ответ: $10 \, \text{см}, 17 \, \text{см}$ и $3 \, \text{см}.$