ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 47 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Выполните сложение или вычитание дробей.

а) $\frac{4a+1}{3a-3}-\frac{a+1}{3a-3}$;

б) $\frac{3a+2b}{a+b}+\frac{2a+3b}{a+b}$;

в) $\frac{x+a}{a-5}-\frac{x+5}{a-5}$;

г) $\frac{2mn}{m^2-n^2}+\frac{m^2+n^2}{m^2-n^2}$;

д) $\frac{k^2+k}{k^2-9}-\frac{7h-9}{k^2-9}$;

е) $\frac{2a^2}{a^2-4a+4}-\frac{a^2+4}{a^2-4a+4}$.

a) $\frac{4a + 1}{3a — 3} — \frac{a + 1}{3a — 3} = \frac{4a + 1 — (a + 1)}{3a — 3} = \frac{4a + 1 — a — 1}{3a — 3} = \frac{3a}{3a — 3} = \frac{a}{a — 1}$

б) $\frac{3a + 2b}{a + b} + \frac{2a + 3b}{a + b} = \frac{3a + 2b + 2a + 3b}{a + b} = \frac{5a + 5b}{a + b} = 5$

в) $\frac{x + a}{a — 5} — \frac{x + 5}{a — 5} = \frac{x + a — x — 5}{a — 5} = \frac{a — 5}{a — 5} = 1$

г) $\frac{2mn}{m^2 — n^2} + \frac{m^2 + n^2}{m^2 — n^2} = \frac{2mn + m^2 + n^2}{m^2 — n^2} = \frac{(m + n)^2}{(m — n)(m + n)} = \frac{m + n}{m — n}$

д) $\frac{k^2 + k — 7k + 9}{k^2 — 9} = \frac{k^2 + k — 7k + 9}{k^2 — 9} = \frac{k^2 — 6k + 9}{k^2 — 9} = \frac{(k — 3)^2}{(k — 3)(k + 3)} = \frac{k — 3}{k + 3}$

е) $\frac{2a^2 + 4}{a^2 — 4a + 4} = \frac{2a^2 — a^2 — 4}{a^2 — 4a + 4} = \frac{a^2 — 4}{(a — 2)^2} = \frac{(a — 2)(a + 2)}{(a — 2)^2} = \frac{a + 2}{a — 2}$

а)
Рассмотрим выражение:

$$\frac{4a+1}{3a-3}-\frac{a+1}{3a-3}\mathrm{.}$$

Обе дроби имеют одинаковый знаменатель $3a-3$, поэтому можно объединить их в одну дробь, вычитая числители:

$$\frac{4a+1}{3a-3}-\frac{a+1}{3a-3}=\frac{(4a+1)-(a+1)}{3a-3}\mathrm{.}$$

Раскроем скобки в числителе:

$$(4a+1)-(a+1)=4a+1-a-1=3a\mathrm{.}$$

Теперь дробь выглядит так:

$$\frac{3a}{3a-3}\mathrm{.}$$

В числителе и знаменателе есть общий множитель $3$, который можно вынести и сократить:

$$\frac{3a}{3(a-1)}=\frac{a}{a-1}\mathrm{.}$$

Ответ:

$$\frac{a}{a-1}\mathrm{.}$$

б)
Рассмотрим выражение:

$$\frac{3a+2b}{a+b}+\frac{2a+3b}{a+b}\mathrm{.}$$

Обе дроби имеют одинаковый знаменатель $a+b$, поэтому можем объединить их:

$$\frac{3a+2b}{a+b}+\frac{2a+3b}{a+b}=\frac{(3a+2b)+(2a+3b)}{a+b}\mathrm{.}$$

Сложим числители:

$$(3a+2b)+(2a+3b)=3a+2a+2b+3b=5a+5b\mathrm{.}$$

Теперь дробь выглядит так:

$$\frac{5a+5b}{a+b}\mathrm{.}$$

В числителе можно вынести общий множитель $5$:

$$\frac{5(a+b)}{a+b}\mathrm{.}$$

Сократим одинаковые множители $a+b$ в числителе и знаменателе:

$$\frac{5(a+b)}{a+b}=5.$$

Ответ:

$$5.$$

в)
Рассмотрим выражение:

$$\frac{x+a}{a-5}-\frac{x+5}{a-5}\mathrm{.}$$

Обе дроби имеют одинаковый знаменатель $a-5$, поэтому можем объединить их:

$$\frac{x+a}{a-5}-\frac{x+5}{a-5}=\frac{(x+a)-(x+5)}{a-5}\mathrm{.}$$

Раскроем скобки в числителе:

$$(x+a)-(x+5)=x+a-x-5=a-5.$$

Теперь дробь выглядит так:

$$\frac{a-5}{a-5}\mathrm{.}$$

Числитель и знаменатель одинаковы, следовательно:

$$\frac{a-5}{a-5}=1.$$

Ответ:

$$1.$$

г)
Рассмотрим выражение:

$$\frac{2mn}{m^2-n^2}+\frac{m^2+n^2}{m^2-n^2}\mathrm{.}$$

Обе дроби имеют одинаковый знаменатель $m^2-n^2$, поэтому можем объединить их:

$$\frac{2mn}{m^2-n^2}+\frac{m^2+n^2}{m^2-n^2}=\frac{2mn+m^2+n^2}{m^2-n^2}\mathrm{.}$$

Теперь числитель можно записать как:

$$2mn+m^2+n^2=(m+n{)}^2\mathrm{.}$$

Таким образом, дробь выглядит так:

$$\frac{(m+n{)}^2}{m^2-n^2}\mathrm{.}$$

Заметим, что $m^2-n^2$ можно разложить как разность квадратов:

$$m^2-n^2=(m-n)(m+n)\mathrm{.}$$

Подставим это разложение в знаменатель:

$$\frac{(m+n{)}^2}{(m-n)(m+n)}\mathrm{.}$$

Сократим одинаковые множители $(m+n)$ в числителе и знаменателе:

$$\frac{(m+n)}{(m-n)}=\frac{m+n}{m-n}\mathrm{.}$$

Ответ:

$$\frac{m+n}{m-n}\mathrm{.}$$

д)
Рассмотрим выражение:

$$\frac{k^2+k}{k^2-9}-\frac{7k-9}{k^2-9}\mathrm{.}$$

Обе дроби имеют одинаковый знаменатель $k^2-9$, поэтому можем объединить их:

$$\frac{k^2+k}{k^2-9}-\frac{7k-9}{k^2-9}=\frac{(k^2+k)-(7k-9)}{k^2-9}\mathrm{.}$$

Раскроем скобки в числителе:

$$(k^2+k)-(7k-9)=k^2+k-7k+9=k^2-6k+9.$$

Теперь дробь выглядит так:

$$\frac{k^2-6k+9}{k^2-9}\mathrm{.}$$

Заметим, что $k^2-6k+9$ можно представить как полный квадрат:

$$k^2-6k+9=(k-3{)}^2\mathrm{.}$$

Также $k^2-9$ можно разложить как разность квадратов:

$$k^2-9=(k-3)(k+3)\mathrm{.}$$

Подставим разложения в дробь:

$$\frac{(k-3{)}^2}{(k-3)(k+3)}\mathrm{.}$$

Сократим одинаковые множители $(k-3)$ в числителе и знаменателе:

$$\frac{k-3}{k+3}\mathrm{.}$$

Ответ:

$$\frac{k-3}{k+3}\mathrm{.}$$

е)
Рассмотрим выражение:

$$\frac{2a^2}{a^2-4a+4}-\frac{a^2+4}{a^2-4a+4}\mathrm{.}$$

Обе дроби имеют одинаковый знаменатель $a^2-4a+4$, поэтому можем объединить их:

$$\frac{2a^2}{a^2-4a+4}-\frac{a^2+4}{a^2-4a+4}=\frac{2a^2-(a^2+4)}{a^2-4a+4}\mathrm{.}$$

Раскроем скобки в числителе:

$$2a^2-(a^2+4)=2a^2-a^2-4=a^2-4.$$

Теперь дробь выглядит так:

$$\frac{a^2-4}{a^2-4a+4}\mathrm{.}$$

Заметим, что $a^2-4$ можно разложить как разность квадратов:

$$a^2-4=(a-2)(a+2)\mathrm{.}$$

Также $a^2-4a+4$ можно записать как полный квадрат:

$$a^2-4a+4=(a-2{)}^2\mathrm{.}$$

Подставим разложения в дробь:

$$\frac{(a-2)(a+2)}{(a-2{)}^2}\mathrm{.}$$

Сократим одинаковые множители $(a-2)$ в числителе и знаменателе:

$$\frac{a+2}{a-2}\mathrm{.}$$

Ответ:

$$\frac{a+2}{a-2}\mathrm{.}$$