ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 469 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Кусок стекла имеет форму квадрата. Когда от него отрезали полосу шириной 20 см, его площадь стала равна 3500 см^2. Найдите первоначальные размеры куска.

Пусть стороны квадратного стекла равны $a$ см, тогда после того, как от него отрезали 20 см, одна из сторон стала $a — 20$ см.

Составим уравнение:

$$a(a-20)=3500$$

$$a(a — 20) = 3500$$ $$a^2-20a-3500=0$$

$$a^2 — 20a — 3500 = 0$$ $$D=(-20{)}^2+4\cdot 1\cdot 3500=400+14000=14400=\sqrt{14400}=120$$

$$D = (-20)^2 + 4 \cdot 1 \cdot 3500 = 400 + 14000 = 14400 = \sqrt{14400} = 120.$$ $$a_1 = \frac{20 — 120}{2} = \frac{-100}{2} = -50 \quad \text{(не подходит)}; \quad a_2 = \frac{20 + 120}{2} = \frac{140}{2} = 70 \, \text{(см)}.$$

Ответ: первоначальные размеры куска стекла — $70 \times 70 \, \text{см}.$

Дано:
Пусть сторона квадратного стекла равна $a$ см. После того как от стекла отрезали 20 см, одна из сторон стала $a — 20$ см.

1. Составление уравнения:

Площадь исходного квадратного стекла равна $a^2$. После того как отрезали 20 см с одной стороны, одна сторона стала $a — 20$, а площадь уменьшилась и стала равной 3500 см². Таким образом, у нас есть следующее уравнение:

$$a(a — 20) = 3500$$

Это уравнение описывает ситуацию, когда произведение двух сторон (исходной и уменьшенной) равно 3500 см².

2. Раскрытие скобок и преобразование уравнения:

Раскроем скобки в уравнении:

$$a(a — 20) = 3500$$ $$a^2 — 20a = 3500$$

Переносим все элементы на одну сторону уравнения:

$$a^2 — 20a — 3500 = 0$$

Теперь у нас квадратное уравнение, которое нужно решить для $a$.

3. Вычисление дискриминанта:

Для нахождения корней квадратного уравнения используем формулу для дискриминанта $D$ для уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$:

$$D = b^2 — 4ac$$

В нашем уравнении $a = 1$, $b = -20$, $c = -3500$. Подставляем эти значения в формулу для дискриминанта:

$$D = (-20)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-3500) = 400 + 14000 = 14400$$

Таким образом, дискриминант $D = 14400$.

4. Корень из дискриминанта:

Теперь находим корень из дискриминанта $D$:

$$\sqrt{14400} = 120$$

5. Нахождение корней уравнения:

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

$$a = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$

Подставляем значения $b = -20$, $D = 14400$, $a = 1$:

$$a_1 = \frac{-(-20) — 120}{2} = \frac{20 — 120}{2} = \frac{-100}{2} = -50 \quad \text{(не подходит, так как сторона не может быть отрицательной)}$$ $$a_2 = \frac{-(-20) + 120}{2} = \frac{20 + 120}{2} = \frac{140}{2} = 70$$

6. Ответ:

Первоначальная сторона квадратного стекла равна $70 \, \text{см}$. Длина уменьшенной стороны после отрезания 20 см будет:

$$a — 20 = 70 — 20 = 50 \, \text{см}$$

Площадь после отрезания:

$$50 \times 70 = 3500 \, \text{см}^2$$

Таким образом, первоначальные размеры стекла $70 \times 70 \, \text{см}$.

Ответ: первоначальные размеры куска стекла — $70 \times 70 \, \text{см}.$