ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 464 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

1) а) Дано уравнение 2x^2-7x+3=0. Запишите новое уравнение, поменяв местами в данном уравнении коэффициенты a и c. Решите оба уравнения. Как связаны между собой их корни?
б) Докажите, что если числа m и n — корни уравнения ax^2+bx+c=0 (a?0 и c?0), то корнями уравнения cx^2+bx+a=0 являются числа 1/m и 1/n.
в) Составьте квадратное уравнение, корни которого обратны корням уравнения x^2-5x+6=0. Проверьте себя, решив эти уравнения.
2) а) Решите уравнения 2x^2+3x-5=0 и 2x^2-3x-5=0. Как связаны между собой их корни?
б) Докажите, что если квадратное уравнение ax^2+bx+c=0 имеет корни m и n, то корни уравнения ax^2-bx+c=0 — числа -m и -n.
в) Составьте квадратное уравнение, корни которого противоположны корням уравнения 2x^2-x-1=0. Проверьте себя, решив оба уравнения.

1)

а)

$$2x^2 — 7x + 3 = 0 \quad \text{и} \quad 3x^2 — 7x + 2 = 0$$

Для $2x^2 — 7x + 3 = 0$:

$$D=(-7{)}^2-4\cdot 2\cdot 3=49-24=25=\sqrt{25}=5.$$

$$D = (-7)^2 — 4 \cdot 2 \cdot 3 = 49 — 24 = 25 = \sqrt{25} = 5.$$ $$x_1 = \frac{7 — 5}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}; \quad x_2 = \frac{7 + 5}{4} = \frac{12}{4} = 3.$$

Ответ: $x = \frac{1}{2}; \, x = 3.$

Для $3x^2 — 7x + 2 = 0$:

$$D=(-7{)}^2-4\cdot 3\cdot 2=49-24=25=\sqrt{25}=5.$$

$$D = (-7)^2 — 4 \cdot 3 \cdot 2 = 49 — 24 = 25 = \sqrt{25} = 5.$$ $$x_1 = \frac{7 — 5}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}; \quad x_2 = \frac{7 + 5}{6} = \frac{12}{6} = 2.$$

Ответ: $x = \frac{1}{3}; \, x = 2.$

Корни уравнений являются взаимно обратными числами.

б)

Подставим числа $\frac{1}{m}$ и $\frac{1}{n}$ в уравнение $cx^2 + bx + a = 0$:

$$c \left( \frac{1}{m} \right)^2 + b \cdot \frac{1}{m} + a = 0 \quad | \cdot m^2$$ $$cm^2 + bm + a = 0 \quad \text{— получили исходное уравнение, корень которого } x = m.$$ $$c \left( \frac{1}{n} \right)^2 + b \cdot \frac{1}{n} + a = 0 \quad | \cdot n^2$$ $$cn^2 + bn + a = 0 \quad \text{— получили исходное уравнение, корень которого } x = n.$$

в)

Корни уравнения $x^2 — 5x + 6 = 0$ обратны корням уравнения $6x^2 — 5x + 1 = 0$.

Для $x^2 — 5x + 6 = 0$:

$$D=(-5{)}^2-4\cdot 1\cdot 6=25-24=1.$$

$$D = (-5)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 — 24 = 1.$$ $$x_1 = \frac{5 — 1}{2} = \frac{4}{2} = 2; \quad x_2 = \frac{5 + 1}{2} = \frac{6}{2} = 3.$$

Ответ: $x = 2; \, x = 3.$

Для $6x^2 — 5x + 1 = 0$:

$$D=(-5{)}^2-4\cdot 6\cdot 1=25-24=1.$$

$$D = (-5)^2 — 4 \cdot 6 \cdot 1 = 25 — 24 = 1.$$ $$x_1 = \frac{5 — 1}{2 \cdot 6} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}; \quad x_2 = \frac{5 + 1}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}.$$

Ответ: $x = \frac{1}{3}; \, x = \frac{1}{2}.$

2)

а)

$$2x^2 + 3x — 5 = 0 \quad \text{и} \quad 2x^2 — 3x — 5 = 0$$

Для $2x^2 + 3x — 5 = 0$:

$$D=3^2+4\cdot 2\cdot 5=9+40=49=\sqrt{49}=7.$$

$$D = 3^2 + 4 \cdot 2 \cdot 5 = 9 + 40 = 49 = \sqrt{49} = 7.$$ $$x_1 = \frac{-3 — 7}{2 \cdot 2} = \frac{-10}{4} = -\frac{5}{2}; \quad x_2 = \frac{-3 + 7}{4} = \frac{4}{4} = 1.$$

Ответ: $x = -\frac{5}{2}; \, x = 1.$

Для $2x^2 — 3x — 5 = 0$:

$$D=(-3{)}^2+4\cdot 2\cdot 5=9+40=49=\sqrt{49}=7.$$

$$D = (-3)^2 + 4 \cdot 2 \cdot 5 = 9 + 40 = 49 = \sqrt{49} = 7.$$ $$x_1 = \frac{3 — 7}{2 \cdot 2} = \frac{-4}{4} = -1; \quad x_2 = \frac{3 + 7}{4} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}.$$

Ответ: $x = -1; \, x = \frac{5}{2}.$

Корни уравнений являются противоположными числами.

б)

Подставим числа $-m$ и $-n$ в уравнение $ax^2 — bx + c = 0$:

$$a(-m)^2 — b(-m) + c = 0 \quad \Rightarrow \quad am^2 + bm + c = 0 \quad \text{— получили исходное уравнение, корень которого равен } x = m.$$ $$a(-n)^2 — b(-n) + c = 0 \quad \Rightarrow \quad an^2 + bn + c = 0 \quad \text{— получили исходное уравнение, корень которого равен } x = n.$$

в)

Корням уравнения $2x^2 — x — 1 = 0$ противоположны корни уравнения $2x^2 + x — 1 = 0$.

Для $2x^2 — x — 1 = 0$:

$$D=(-1{)}^2+4\cdot 2\cdot 1=1+8=9=\sqrt{9}=3.$$

$$D = (-1)^2 + 4 \cdot 2 \cdot 1 = 1 + 8 = 9 = \sqrt{9} = 3.$$ $$x_1 = \frac{1 — 3}{2 \cdot 2} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}; \quad x_2 = \frac{1 + 3}{4} = \frac{4}{4} = 1.$$

Ответ: $x = -\frac{1}{2}; \, x = 1.$

Для $2x^2 + x — 1 = 0$:

$$D=1^2+4\cdot 2\cdot 1=1+8=9=\sqrt{9}=3.$$

$$D = 1^2 + 4 \cdot 2 \cdot 1 = 1 + 8 = 9 = \sqrt{9} = 3.$$ $$x_1 = \frac{-1 — 3}{4} = \frac{-4}{4} = -1; \quad x_2 = \frac{-1 + 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}.$$

Ответ: $x = -1; \, x = \frac{1}{2}.$