ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 464 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

1) а) Дано уравнение $2x^2 — 7x + 3 = 0$. Запишите новое уравнение, поменяв местами в данном уравнении коэффициенты $a$ и $c$. Решите оба уравнения. Как связаны между собой их корни?

б) Докажите, что если числа $m$ и $n$ — корни уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ ($a \neq 0$ и $c \neq 0$), то корнями уравнения $cx^2 + bx + a = 0$ являются числа $\frac{1}{m}$ и $\frac{1}{n}$.
Указание. Для доказательства воспользуйтесь подстановкой чисел $\frac{1}{m}$ и $\frac{1}{n}$ в соответствующее уравнение.

в) Составьте квадратное уравнение, корни которого обратны корням уравнения $x^2 — 5x + 6 = 0$. Проверьте себя, решив эти уравнения.

2) а) Решите уравнения $2x^2 + 3x — 5 = 0$ и $2x^2 — 3x — 5 = 0$. Как связаны между собой их корни?

б) Докажите, что если квадратное уравнение $ax^2 + bx + c = 0$ имеет корни $m$ и $n$, то корни уравнения $ax^2 — bx + c = 0$ — числа $-m$ и $-n$.

в) Составьте квадратное уравнение, корни которого противоположны корням уравнения $2x^2 — x — 1 = 0$. Проверьте себя, решив оба уравнения.

1) а) $2x^2 — 7x + 3 = 0$
$D = 49 — 4 \cdot 2 \cdot 3 = 25 = \sqrt{25} = 5$
$x_1 = \frac{7 — 5}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}; \quad x_2 = \frac{7 + 5}{4} = \frac{12}{4} = 3$
Ответ: $x = \frac{1}{2}; \, x = 3$

$3x^2 — 7x + 2 = 0$
$D = 49 — 4 \cdot 3 \cdot 2 = 49 — 24 = 25 = \sqrt{25} = 5$
$x_1 = \frac{7 — 5}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}; \quad x_2 = \frac{7 + 5}{6} = \frac{12}{6} = 2$
Ответ: $x = \frac{1}{3}; \, x = 2$

Корни уравнений являются взаимно обратными.

б) Подставим $\frac{1}{m}$ и $\frac{1}{n}$ в уравнение $cx^2 + bx + a = 0$:

$c \cdot \left( \frac{1}{m} \right)^2 + b \cdot \frac{1}{m} + a = \frac{c}{m^2} + \frac{b}{m} + a = 0 \quad | \cdot m^2 \Rightarrow cm^2 + bm + a = 0$

Аналогично:
$c \cdot \left( \frac{1}{n} \right)^2 + b \cdot \frac{1}{n} + a = \frac{c}{n^2} + \frac{b}{n} + a = 0 \quad | \cdot n^2 \Rightarrow cn^2 + bn + a = 0$

Следовательно, $\frac{1}{m}$ и $\frac{1}{n}$ — корни.

в) $x^2 — 5x + 6 = 0$
$D = 25 — 24 = 1 = \sqrt{1}$
$x_1 = \frac{5 — 1}{2} = 2; \quad x_2 = \frac{5 + 1}{2} = 3$
Ответ: $x = 2; \, x = 3$

Обратные: $\frac{1}{2}; \, \frac{1}{3}$. Уравнение:
Находим новое: $(x — \frac{1}{2})(x — \frac{1}{3}) = 0$
$x^2 — \frac{5}{6}x + \frac{1}{6} = 0 \cdot 6 \Rightarrow 6x^2 — 5x + 1 = 0$

Решим:
$D = 25 — 4 \cdot 6 = 1 \Rightarrow x_1 = \frac{5 — 1}{2 \cdot 6} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}; \quad x_2 = \frac{5 + 1}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$
Ответ: $x = \frac{1}{2}; \, x = \frac{1}{3}$

2) а) $2x^2 + 3x — 5 = 0$
$D = 9 + 40 = 49 = \sqrt{49} = 7$
$x_1 = \frac{-3 — 7}{4} = -\frac{10}{4} = -\frac{5}{2}; \quad x_2 = \frac{-3 + 7}{4} = \frac{4}{4} = 1$
Ответ: $x = -\frac{5}{2}; \, x = 1$

$2x^2 — 3x — 5 = 0$
$D = 9 + 40 = 49 = \sqrt{49} = 7$
$x_1 = \frac{3 — 7}{4} = -1; \quad x_2 = \frac{3 + 7}{4} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}$
Ответ: $x = -1; \, x = \frac{5}{2}$

Корни противоположны.

б) Подставим $-m$ и $-n$ в $ax^2 — bx + c = 0$:

$a(-m)^2 — b(-m) + c = am^2 + bm + c = 0$
$a(-n)^2 — b(-n) + c = an^2 + bn + c = 0$

Следовательно, $-m$ и $-n$ — корни.

в) $2x^2 — x — 1 = 0$
$D = 1 + 8 = 9$
$x_1 = \frac{1 — 3}{4} = -\frac{1}{2}; \quad x_2 = \frac{1 + 3}{4} = 1$
Ответ: $x = -\frac{1}{2}; \, x = 1$

Противоположные: $\frac{1}{2}; \, -1$.
Новое уравнение: $2x^2 + x — 1 = 0$

Проверим:
$D = 1 + 8 = 9 \Rightarrow x_1 = \frac{-1 — 3}{4} = -1; \quad x_2 = \frac{-1 + 3}{4} = \frac{1}{2}$
Ответ: $x = -1; \, x = \frac{1}{2}$

1) а)
Уравнение: $2x^2 — 7x + 3 = 0$
Определим коэффициенты: $a = 2$, $b = -7$, $c = 3$
Вычислим дискриминант:
$D = (-7)^2 — 4 \cdot 2 \cdot 3 = 49 — 24 = 25$
$\sqrt{D} = \sqrt{25} = 5$
Найдём корни по формуле:
$x_1 = \frac{-(-7) — 5}{2 \cdot 2} = \frac{7 — 5}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
$x_2 = \frac{-(-7) + 5}{2 \cdot 2} = \frac{7 + 5}{4} = \frac{12}{4} = 3$
Ответ: $x = \frac{1}{2}; \, x = 3$

Новое уравнение: $3x^2 — 7x + 2 = 0$
Коэффициенты: $a = 3$, $b = -7$, $c = 2$
$D = (-7)^2 — 4 \cdot 3 \cdot 2 = 49 — 24 = 25$
$\sqrt{D} = \sqrt{25} = 5$
$x_1 = \frac{-(-7) — 5}{2 \cdot 3} = \frac{7 — 5}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$
$x_2 = \frac{-(-7) + 5}{2 \cdot 3} = \frac{7 + 5}{6} = \frac{12}{6} = 2$
Ответ: $x = \frac{1}{3}; \, x = 2$
Корни являются взаимно обратными: $\frac{1}{2} \leftrightarrow 2$, $3 \leftrightarrow \frac{1}{3}$

б)
Дано: $m$ и $n$ — корни уравнения $ax^2 + bx + c = 0$, где $a \neq 0$, $c \neq 0$
Рассмотрим уравнение $cx^2 + bx + a = 0$
Подставим $x = \frac{1}{m}$:
$c \cdot \left( \frac{1}{m} \right)^2 + b \cdot \frac{1}{m} + a = \frac{c}{m^2} + \frac{b}{m} + a$
Домножим обе части уравнения на $m^2$:
$c + bm + am^2 = 0 \Rightarrow am^2 + bm + c = 0$ — исходное уравнение выполнено
Аналогично для $x = \frac{1}{n}$:
$c \cdot \left( \frac{1}{n} \right)^2 + b \cdot \frac{1}{n} + a = \frac{c}{n^2} + \frac{b}{n} + a$
Домножим на $n^2$:
$c + bn + an^2 = 0 \Rightarrow an^2 + bn + c = 0$ — исходное уравнение выполнено
Значит, $\frac{1}{m}$ и $\frac{1}{n}$ — корни

в)
Дано уравнение: $x^2 — 5x + 6 = 0$
Найдём корни:
$D = (-5)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 — 24 = 1$
$x_1 = \frac{5 — 1}{2} = 2; \quad x_2 = \frac{5 + 1}{2} = 3$
Ответ: $x = 2; \, x = 3$

Найдём уравнение с обратными корнями:
Обратные значения: $\frac{1}{2}$, $\frac{1}{3}$
Уравнение: $(x — \frac{1}{2})(x — \frac{1}{3}) = x^2 — \frac{5}{6}x + \frac{1}{6}$
Умножим на 6: $6x^2 — 5x + 1 = 0$

Решим это уравнение:
$D = (-5)^2 — 4 \cdot 6 \cdot 1 = 25 — 24 = 1$
$x_1 = \frac{5 — 1}{2 \cdot 6} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$
$x_2 = \frac{5 + 1}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$
Ответ: $x = \frac{1}{2}; \, x = \frac{1}{3}$

2) а)
Уравнение: $2x^2 + 3x — 5 = 0$
$D = 3^2 + 4 \cdot 2 \cdot 5 = 9 + 40 = 49$
$\sqrt{D} = 7$
$x_1 = \frac{-3 — 7}{2 \cdot 2} = \frac{-10}{4} = -\frac{5}{2}$
$x_2 = \frac{-3 + 7}{4} = \frac{4}{4} = 1$
Ответ: $x = -\frac{5}{2}; \, x = 1$

Уравнение: $2x^2 — 3x — 5 = 0$
$D = (-3)^2 + 4 \cdot 2 \cdot 5 = 9 + 40 = 49$
$\sqrt{D} = 7$
$x_1 = \frac{3 — 7}{4} = -1$
$x_2 = \frac{3 + 7}{4} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}$
Ответ: $x = -1; \, x = \frac{5}{2}$
Корни противоположны

б)
Пусть $m$ и $n$ — корни уравнения $ax^2 + bx + c = 0$.
Подставим $x = -m$ в уравнение $ax^2 — bx + c = 0$:
$a(-m)^2 — b(-m) + c = am^2 + bm + c = 0$ — выполняется
Аналогично для $-n$:
$a(-n)^2 — b(-n) + c = an^2 + bn + c = 0$ — выполняется
Значит, корни $-m$ и $-n$

в)
Уравнение: $2x^2 — x — 1 = 0$
$D = (-1)^2 + 8 = 9$
$x_1 = \frac{1 — 3}{4} = -\frac{1}{2}$
$x_2 = \frac{1 + 3}{4} = 1$
Ответ: $x = -\frac{1}{2}; \, x = 1$

Противоположные корни: $\frac{1}{2}; \, -1$
Новое уравнение: $(x — \frac{1}{2})(x + 1) = x^2 + \frac{1}{2}x — \frac{1}{2}$
Умножим на 2: $2x^2 + x — 1 = 0$

Проверим:
$D = 1^2 + 8 = 9$
$x_1 = \frac{-1 — 3}{4} = -1$
$x_2 = \frac{-1 + 3}{4} = \frac{1}{2}$
Ответ: $x = -1; \, x = \frac{1}{2}$