ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 462 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Корни приведённого квадратного уравнения $x^2 + px + q = 0$ можно найти по формуле

$$x = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2 — q}.$$

Выведите эту формулу.

$x^2 + px + q = 0$

$D = p^2 — 4q$;

$$x=\frac{-p\pm \sqrt{D}}{2}=\frac{-p\pm \sqrt{p^2-4q}}{2}=-\frac{p}{2}\pm \frac{\sqrt{p^2-4q}}{2}\mathrm{.}$$

$$x = \frac{-p \pm \sqrt{D}}{2} = \frac{-p \pm \sqrt{p^2 — 4q}}{2} = -\frac{p}{2} \pm \frac{\sqrt{p^2 — 4q}}{2}.$$ $$= -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\frac{p^2 — 4q}{4}} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\frac{p^2}{4} — q} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2 — q}.$$

1. Исходное уравнение:

Начнем с самого уравнения:

$$x^2+px+q=0$$

Это стандартная форма квадратного уравнения, где $p$ и $q$ — это коэффициенты, а $x$ — переменная, для которой мы должны найти значения.

2. Дискриминант:

Для нахождения корней уравнения используется дискриминант $D$. Дискриминант для квадратного уравнения $a{x}^2+bx+c=0$ вычисляется по формуле:

$$D=b^2-4ac$$

В нашем уравнении $x^2+px+q=0$, $a=1$, $b=p$ и $c=q$. Подставляем эти значения в формулу для дискриминанта:

$$D=p^2-4q$$

Это выражение дает нам дискриминант уравнения. Дискриминант определяет, сколько корней будет у уравнения:

• Если $D>0$, то у уравнения два различных корня.
• Если $D=0$, то у уравнения один корень (дважды повторяющийся).
• Если $D<0$, то у уравнения нет действительных корней.

3. Нахождение корней уравнения:

Корни квадратного уравнения можно найти по формуле:

$$x=\frac{-p\pm \sqrt{D}}{2a}$$

В нашем случае $a=1$, поэтому формула упрощается до:

$$x=\frac{-p\pm \sqrt{D}}{2}$$

Теперь подставим выражение для дискриминанта $D=p^2-4q$:

$$x=\frac{-p\pm \sqrt{p^2-4q}}{2}$$

Таким образом, мы получаем два возможных значения для $x$, которые зависят от знака перед квадратным корнем ($\pm$).

4. Упрощение:

Рассмотрим упрощение данного выражения:

$$x=\frac{-p}{2}\pm \frac{\sqrt{p^2-4q}}{2}$$

Теперь видно, что оба члена дроби имеют общий знаменатель 2. Это упрощает выражение, выделяя общий фактор:

$$x=\frac{-p}{2}\pm \frac{\sqrt{p^2-4q}}{2}$$

Таким образом, корни уравнения можно записать в виде:

$$x=\frac{-p}{2}\pm \frac{\sqrt{p^2-4q}}{2}$$

5. Приведение к более удобной форме:

Следующий шаг — это представление выражения в более удобной форме. Мы можем упростить выражение под квадратным корнем:

$$x=\frac{-p}{2}\pm \sqrt{\frac{p^2-4q}{4}}$$

Теперь выражение под квадратным корнем $\frac{p^2-4q}{4}$ можно записать как:

$$x=\frac{-p}{2}\pm \sqrt{{\left(\frac{p}{2}\right)}^2-q}$$

6. Итоговое выражение для корней:

Таким образом, окончательное выражение для корней уравнения $x^2+px+q=0$ принимает вид:

$$x=\frac{-p}{2}\pm \sqrt{{\left(\frac{p}{2}\right)}^2-q}$$

Это и есть решение квадратного уравнения с помощью дискриминанта.