ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 461 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Найдите корни уравнения и покажите их примерное расположение на координатной прямой:
а) (x^2-2x+1)^2-11(x^2-2x+1)+30=0;
б) (x^2+4x)^2-4(x^2+4x)-5=0.

а)

$$(x^2 — 2x + 1)^2 — 11(x^2 — 2x + 1) + 30 = 0$$

Замена: $x^2 — 2x + 1 = y$:

$$y^2-11y+30=0$$

$$y^2 — 11y + 30 = 0$$ $$D=(-11{)}^2-4\cdot 1\cdot 30=121-120=1=\sqrt{1}=1.$$

$$D = (-11)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 30 = 121 — 120 = 1 = \sqrt{1} = 1.$$ $$y_1 = \frac{11 — 1}{2} = \frac{10}{2} = 5; \quad y_2 = \frac{11 + 1}{2} = \frac{12}{2} = 6.$$

Тогда:

1. $x^2 — 2x + 1 = 5$

$$x^2-2x-4=0$$

$$x^2 — 2x — 4 = 0$$ $$D=(-2{)}^2+4\cdot 1\cdot 4=4+16=20=\sqrt{20}=2\sqrt{5}\mathrm{.}$$

$$D = (-2)^2 + 4 \cdot 1 \cdot 4 = 4 + 16 = 20 = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}.$$ $$x_{1,2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{5}}{2} = 1 \pm \sqrt{5}.$$

2. $x^2 — 2x + 1 = 6$

$$x^2-2x-5=0$$

$$x^2 — 2x — 5 = 0$$ $$D=(-2{)}^2+4\cdot 1\cdot 5=4+20=24=\sqrt{24}=2\sqrt{6}\mathrm{.}$$

$$D = (-2)^2 + 4 \cdot 1 \cdot 5 = 4 + 20 = 24 = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}.$$ $$x_{1,2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{6}}{2} = 1 \pm \sqrt{6}.$$

Ответ: $x = 1 \pm \sqrt{5}; \, x = 1 \pm \sqrt{6}.$

б)

$$(x^2 + 4x)^2 — 4(x^2 + 4x) — 5 = 0$$

Замена: $x^2 + 4x = y$:

$$y^2-4y-5=0$$

$$y^2 — 4y — 5 = 0$$ $$D=(-4{)}^2+4\cdot 1\cdot 5=16+20=36=\sqrt{36}=6.$$

$$D = (-4)^2 + 4 \cdot 1 \cdot 5 = 16 + 20 = 36 = \sqrt{36} = 6.$$ $$y_1 = \frac{4 — 6}{2} = \frac{-2}{2} = -1; \quad y_2 = \frac{4 + 6}{2} = \frac{10}{2} = 5.$$

Тогда:

1. $x^2 + 4x = -1$

$$x^2+4x+1=0$$

$$x^2 + 4x + 1 = 0$$ $$D=4^2-4\cdot 1\cdot 1=16-4=12=\sqrt{12}=2\sqrt{3}\mathrm{.}$$

$$D = 4^2 — 4 \cdot 1 \cdot 1 = 16 — 4 = 12 = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}.$$ $$x_{1,2} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{3}}{2} = -2 \pm \sqrt{3}.$$

2. $x^2 + 4x = 5$

$$x^2+4x-5=0$$

$$x^2 + 4x — 5 = 0$$ $$D=4^2+4\cdot 1\cdot 5=16+20=36=\sqrt{36}=6.$$

$$D = 4^2 + 4 \cdot 1 \cdot 5 = 16 + 20 = 36 = \sqrt{36} = 6.$$ $$x_1 = \frac{-4 — 6}{2} = \frac{-10}{2} = -5; \quad x_2 = \frac{-4 + 6}{2} = \frac{2}{2} = 1.$$

Ответ: $x = -2 \pm \sqrt{3}; \, x = -5; \, x = 1.$

а)

Мы решаем уравнение:

$$(x^2 — 2x + 1)^2 — 11(x^2 — 2x + 1) + 30 = 0$$

Замена переменной:

Для удобства, сделаем замену $x^2 — 2x + 1 = y$. Получаем:

$$y^2 — 11y + 30 = 0$$

Это квадратное уравнение относительно $y$, которое можно решить с помощью дискриминанта.

Вычисление дискриминанта:

Для уравнения $y^2 — 11y + 30 = 0$ дискриминант $D$ вычисляется по формуле:

$$D = (-11)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 30 = 121 — 120 = 1$$

Корень из дискриминанта:

$$\sqrt{D} = \sqrt{1} = 1$$

Нахождение корней уравнения:

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

$$y_1 = \frac{-(-11) — \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{11 — 1}{2} = \frac{10}{2} = 5$$ $$y_2 = \frac{-(-11) + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{11 + 1}{2} = \frac{12}{2} = 6$$

Теперь у нас есть два корня для $y$: $y_1 = 5$ и $y_2 = 6$.

Возвращаемся к переменной $x$:

Теперь нам нужно решить два уравнения, используя найденные значения $y$.

Первое уравнение:

Когда $y = 5$, подставляем в исходное уравнение $x^2 — 2x + 1 = 5$:

$$x^2 — 2x + 1 = 5 \quad \Rightarrow \quad x^2 — 2x — 4 = 0$$

Вычисляем дискриминант:

$$D = (-2)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 4 + 16 = 20$$

Корень из дискриминанта:

$$\sqrt{20} = 2\sqrt{5}$$

Найдем корни:

$$x_{1,2} = \frac{-(-2) \pm 2\sqrt{5}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm 2\sqrt{5}}{2} = 1 \pm \sqrt{5}$$

Таким образом, для первого случая $x = 1 \pm \sqrt{5}$.

Второе уравнение:

Когда $y = 6$, подставляем в исходное уравнение $x^2 — 2x + 1 = 6$:

$$x^2 — 2x + 1 = 6 \quad \Rightarrow \quad x^2 — 2x — 5 = 0$$

Вычисляем дискриминант:

$$D = (-2)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 4 + 20 = 24$$

Корень из дискриминанта:

$$\sqrt{24} = 2\sqrt{6}$$

Найдем корни:

$$x_{1,2} = \frac{-(-2) \pm 2\sqrt{6}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm 2\sqrt{6}}{2} = 1 \pm \sqrt{6}$$

Таким образом, для второго случая $x = 1 \pm \sqrt{6}$.

Ответ: $x = 1 \pm \sqrt{5}; \, x = 1 \pm \sqrt{6}.$

б)

Теперь решим уравнение:

$$(x^2 + 4x)^2 — 4(x^2 + 4x) — 5 = 0$$

Замена переменной:

Для удобства, сделаем замену $x^2 + 4x = y$. Получаем:

$$y^2 — 4y — 5 = 0$$

Это квадратное уравнение относительно $y$, которое можно решить с помощью дискриминанта.

Вычисление дискриминанта:

Для уравнения $y^2 — 4y — 5 = 0$ дискриминант $D$ вычисляется по формуле:

$$D = (-4)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36$$

Корень из дискриминанта:

$$\sqrt{D} = \sqrt{36} = 6$$

Нахождение корней уравнения:

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

$$y_1 = \frac{-(-4) — 6}{2 \cdot 1} = \frac{4 — 6}{2} = \frac{-2}{2} = -1$$ $$y_2 = \frac{-(-4) + 6}{2 \cdot 1} = \frac{4 + 6}{2} = \frac{10}{2} = 5$$

Теперь у нас есть два корня для $y$: $y_1 = -1$ и $y_2 = 5$.

Возвращаемся к переменной $x$:

Теперь нам нужно решить два уравнения, используя найденные значения $y$.

Первое уравнение:

Когда $y = -1$, подставляем в исходное уравнение $x^2 + 4x = -1$:

$$x^2 + 4x = -1 \quad \Rightarrow \quad x^2 + 4x + 1 = 0$$

Вычисляем дискриминант:

$$D = 4^2 — 4 \cdot 1 \cdot 1 = 16 — 4 = 12$$

Корень из дискриминанта:

$$\sqrt{12} = 2\sqrt{3}$$

Найдем корни:

$$x_{1,2} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{3}}{2} = -2 \pm \sqrt{3}$$

Таким образом, для первого случая $x = -2 \pm \sqrt{3}$.

Второе уравнение:

Когда $y = 5$, подставляем в исходное уравнение $x^2 + 4x = 5$:

$$x^2 + 4x = 5 \quad \Rightarrow \quad x^2 + 4x — 5 = 0$$

Вычисляем дискриминант:

$$D = 4^2 + 4 \cdot 1 \cdot 5 = 16 + 20 = 36$$

Корень из дискриминанта:

$$\sqrt{36} = 6$$

Найдем корни:

$$x_1 = \frac{-4 — 6}{2} = \frac{-10}{2} = -5; \quad x_2 = \frac{-4 + 6}{2} = \frac{2}{2} = 1$$

Таким образом, для второго случая $x = -5$ и $x = 1$.

Ответ: $x = -2 \pm \sqrt{3}; \, x = -5; \, x = 1.$