ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 46 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Выполните сложение или вычитание дробей.
а) ax/(x+y)+ay/(x+y);
б) a/(a-1)-1/(a-1);
в) m^2/(m+n)-n^2/(m+n);
г) c/(c^2-9)+3/(c^2-9);
д) 2/(1-x^2 )-2x/(1-x^2 );
е) 5p/(p^2-q^2 )+5q/(p^2-q^2 ).

а)

$$\frac{ax}{x + y} + \frac{ay}{x + y} = \frac{ax + ay}{x + y} = \frac{a(x + y)}{x + y} = a.$$

б)

$$\frac{a}{a — 1} — \frac{1}{a — 1} = \frac{a — 1}{a — 1} = 1.$$

в)

$$\frac{m^2}{m + n} — \frac{n^2}{m + n} = \frac{m^2 — n^2}{m + n} = \frac{(m — n)(m + n)}{m + n} = m — n.$$

г)

$$\frac{c}{c^2 — 9} + \frac{3}{c^2 — 9} = \frac{c + 3}{c^2 — 9} = \frac{c + 3}{(c — 3)(c + 3)} = \frac{1}{c — 3}.$$

д)

$$\frac{2}{1 — x^2} — \frac{2x}{1 — x^2} = \frac{2 — 2x}{1 — x^2} = \frac{2(1 — x)}{(1 — x)(1 + x)} = \frac{2}{1 + x}.$$

е)

$$\frac{5p}{p^2-q^2}+\frac{5q}{p^2-q^2}=\frac{5p+5q}{p^2-q^2}=\frac{5(p+q)}{(p-q)(p+q)}=\frac{5}{p-q}\mathrm{}$$

а)
Рассмотрим выражение:

$$\frac{ax}{x + y} + \frac{ay}{x + y}.$$

Мы видим, что у обеих дробей одинаковый знаменатель $x + y$. Таким образом, можно объединить их в одну дробь, сложив числители:

$$\frac{ax}{x + y} + \frac{ay}{x + y} = \frac{ax + ay}{x + y}.$$

Теперь выделим общий множитель $a$ в числителе:

$$\frac{ax + ay}{x + y} = \frac{a(x + y)}{x + y}.$$

Наконец, числитель и знаменатель содержат одинаковый множитель $x + y$, который можно сократить:

$$\frac{a(x + y)}{x + y} = a.$$

Ответ:

$$a.$$

б)
Рассмотрим выражение:

$$\frac{a}{a — 1} — \frac{1}{a — 1}.$$

У обеих дробей одинаковый знаменатель $a — 1$, поэтому мы можем объединить их в одну дробь, вычитая числители:

$$\frac{a}{a — 1} — \frac{1}{a — 1} = \frac{a — 1}{a — 1}.$$

Числитель и знаменатель одинаковы, следовательно, выражение равно $1$:

$$\frac{a — 1}{a — 1} = 1.$$

Ответ:

$$1.$$

в)
Рассмотрим выражение:

$$\frac{m^2}{m + n} — \frac{n^2}{m + n}.$$

У обеих дробей одинаковый знаменатель $m + n$, поэтому их можно объединить:

$$\frac{m^2}{m + n} — \frac{n^2}{m + n} = \frac{m^2 — n^2}{m + n}.$$

Теперь числитель представляет собой разность квадратов, которую можно разложить по формуле $(m^2 — n^2) = (m — n)(m + n)$:

$$\frac{m^2 — n^2}{m + n} = \frac{(m — n)(m + n)}{m + n}.$$

Сократим одинаковые множители $m + n$ в числителе и знаменателе:

$$\frac{(m — n)(m + n)}{m + n} = m — n.$$

Ответ:

$$m — n.$$

г)
Рассмотрим выражение:

$$\frac{c}{c^2 — 9} + \frac{3}{c^2 — 9}.$$

У обеих дробей одинаковый знаменатель $c^2 — 9$, поэтому их можно объединить:

$$\frac{c}{c^2 — 9} + \frac{3}{c^2 — 9} = \frac{c + 3}{c^2 — 9}.$$

Заметим, что $c^2 — 9$ можно разложить как разность квадратов:

$$c^2 — 9 = (c — 3)(c + 3).$$

Подставим разложение в знаменатель:

$$\frac{c + 3}{c^2 — 9} = \frac{c + 3}{(c — 3)(c + 3)}.$$

Сократим одинаковые множители $c + 3$ в числителе и знаменателе:

$$\frac{c + 3}{(c — 3)(c + 3)} = \frac{1}{c — 3}.$$

Ответ:

$$\frac{1}{c — 3}.$$

д)
Рассмотрим выражение:

$$\frac{2}{1 — x^2} — \frac{2x}{1 — x^2}.$$

У обеих дробей одинаковый знаменатель $1 — x^2$, поэтому их можно объединить:

$$\frac{2}{1 — x^2} — \frac{2x}{1 — x^2} = \frac{2 — 2x}{1 — x^2}.$$

Заметим, что $1 — x^2$ можно разложить как разность квадратов:

$$1 — x^2 = (1 — x)(1 + x).$$

Подставим разложение в знаменатель:

$$\frac{2 — 2x}{1 — x^2} = \frac{2 — 2x}{(1 — x)(1 + x)}.$$

В числителе вынесем общий множитель $2$:

$$\frac{2 — 2x}{(1 — x)(1 + x)} = \frac{2(1 — x)}{(1 — x)(1 + x)}.$$

Сократим одинаковые множители $1 — x$ в числителе и знаменателе:

$$\frac{2(1 — x)}{(1 — x)(1 + x)} = \frac{2}{1 + x}.$$

Ответ:

$$\frac{2}{1 + x}.$$

е)
Рассмотрим выражение:

$$\frac{5p}{p^2 — q^2} + \frac{5q}{p^2 — q^2}.$$

У обеих дробей одинаковый знаменатель $p^2 — q^2$, поэтому их можно объединить:

$$\frac{5p}{p^2 — q^2} + \frac{5q}{p^2 — q^2} = \frac{5p + 5q}{p^2 — q^2}.$$

В числителе вынесем общий множитель $5$:

$$\frac{5p + 5q}{p^2 — q^2} = \frac{5(p + q)}{p^2 — q^2}.$$

Заметим, что $p^2 — q^2$ можно разложить как разность квадратов:

$$p^2 — q^2 = (p — q)(p + q).$$

Подставим разложение в знаменатель:

$$\frac{5(p + q)}{(p — q)(p + q)}.$$

Сократим одинаковые множители $p + q$ в числителе и знаменателе:

$$\frac{5(p + q)}{(p — q)(p + q)} = \frac{5}{p — q}.$$

Ответ:

$$\frac{5}{p — q}.$$$\frac{5p}{p^2 — q^2} + \frac{5q}{p^2 — q^2} = \frac{5}{p — q}$