ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 46 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Выполните сложение или вычитание дробей.

а) $\frac{ax}{x+y} + \frac{ay}{x+y}$;

б) $\frac{a}{a-1} — \frac{1}{a-1}$;

в) $\frac{m^2}{m+n} — \frac{n^2}{m+n}$;

г) $\frac{c}{c^2-9} + \frac{3}{c^2-9}$;

д) $\frac{2}{1-x^2} — \frac{2x}{1-x^2}$;

е) $\frac{5p}{p^2-q^2} + \frac{5q}{p^2-q^2}$.

а)

$$\frac{ax}{x+y}+\frac{ay}{x+y}=\frac{ax+ay}{x+y}=\frac{a(x+y)}{x+y}=a\mathrm{}$$

б)

$$\frac{a}{a-1}-\frac{1}{a-1}=\frac{a-1}{a-1}=1$$

в)

$$\frac{m^2}{m+n}-\frac{n^2}{m+n}=\frac{m^2-n^2}{m+n}=\frac{(m-n)(m+n)}{m+n}=m-n\mathrm{}$$

г)

$$\frac{c}{c^2-9}+\frac{3}{c^2-9}=\frac{c+3}{c^2-9}=\frac{c+3}{(c-3)(c+3)}=\frac{1}{c-3}\mathrm{}$$

д)

$$\frac{2}{1-x^2}-\frac{2x}{1-x^2}=\frac{2-2x}{1-x^2}=\frac{2(1-x)}{(1-x)(1+x)}=\frac{2}{1+x}\mathrm{}$$

е)

$$\frac{5p}{p^2-q^2}+\frac{5q}{p^2-q^2}=\frac{5p+5q}{p^2-q^2}=\frac{5(p+q)}{(p-q)(p+q)}=\frac{5}{p-q}$$

а)
Рассмотрим выражение:

$$\frac{ax}{x+y}+\frac{ay}{x+y}\mathrm{.}$$

Мы видим, что у обеих дробей одинаковый знаменатель $x+y$. Таким образом, можно объединить их в одну дробь, сложив числители:

$$\frac{ax}{x+y}+\frac{ay}{x+y}=\frac{ax+ay}{x+y}\mathrm{.}$$

Теперь выделим общий множитель $a$ в числителе:

$$\frac{ax+ay}{x+y}=\frac{a(x+y)}{x+y}\mathrm{.}$$

Наконец, числитель и знаменатель содержат одинаковый множитель $x+y$, который можно сократить:

$$\frac{a(x+y)}{x+y}=a\mathrm{.}$$

Ответ:

$$a\mathrm{.}$$

б)
Рассмотрим выражение:

$$\frac{a}{a-1}-\frac{1}{a-1}\mathrm{.}$$

У обеих дробей одинаковый знаменатель $a-1$, поэтому мы можем объединить их в одну дробь, вычитая числители:

$$\frac{a}{a-1}-\frac{1}{a-1}=\frac{a-1}{a-1}\mathrm{.}$$

Числитель и знаменатель одинаковы, следовательно, выражение равно $1$:

$$\frac{a-1}{a-1}=1.$$

Ответ:

$$1.$$

в)
Рассмотрим выражение:

$$\frac{m^2}{m+n}-\frac{n^2}{m+n}\mathrm{.}$$

У обеих дробей одинаковый знаменатель $m+n$, поэтому их можно объединить:

$$\frac{m^2}{m+n}-\frac{n^2}{m+n}=\frac{m^2-n^2}{m+n}\mathrm{.}$$

Теперь числитель представляет собой разность квадратов, которую можно разложить по формуле $(m^2-n^2)=(m-n)(m+n)$:

$$\frac{m^2-n^2}{m+n}=\frac{(m-n)(m+n)}{m+n}\mathrm{.}$$

Сократим одинаковые множители $m+n$ в числителе и знаменателе:

$$\frac{(m-n)(m+n)}{m+n}=m-n\mathrm{.}$$

Ответ:

$$m-n\mathrm{.}$$

г)
Рассмотрим выражение:

$$\frac{c}{c^2-9}+\frac{3}{c^2-9}\mathrm{.}$$

У обеих дробей одинаковый знаменатель $c^2-9$, поэтому их можно объединить:

$$\frac{c}{c^2-9}+\frac{3}{c^2-9}=\frac{c+3}{c^2-9}\mathrm{.}$$

Заметим, что $c^2-9$ можно разложить как разность квадратов:

$$c^2-9=(c-3)(c+3)\mathrm{.}$$

Подставим разложение в знаменатель:

$$\frac{c+3}{c^2-9}=\frac{c+3}{(c-3)(c+3)}\mathrm{.}$$

Сократим одинаковые множители $c+3$ в числителе и знаменателе:

$$\frac{c+3}{(c-3)(c+3)}=\frac{1}{c-3}\mathrm{.}$$

Ответ:

$$\frac{1}{c-3}\mathrm{.}$$

д)
Рассмотрим выражение:

$$\frac{2}{1-x^2}-\frac{2x}{1-x^2}\mathrm{.}$$

У обеих дробей одинаковый знаменатель $1-x^2$, поэтому их можно объединить:

$$\frac{2}{1-x^2}-\frac{2x}{1-x^2}=\frac{2-2x}{1-x^2}\mathrm{.}$$

Заметим, что $1-x^2$ можно разложить как разность квадратов:

$$1-x^2=(1-x)(1+x)\mathrm{.}$$

Подставим разложение в знаменатель:

$$\frac{2-2x}{1-x^2}=\frac{2-2x}{(1-x)(1+x)}\mathrm{.}$$

В числителе вынесем общий множитель $2$:

$$\frac{2-2x}{(1-x)(1+x)}=\frac{2(1-x)}{(1-x)(1+x)}\mathrm{.}$$

Сократим одинаковые множители $1-x$ в числителе и знаменателе:

$$\frac{2(1-x)}{(1-x)(1+x)}=\frac{2}{1+x}\mathrm{.}$$

Ответ:

$$\frac{2}{1+x}\mathrm{.}$$

е)
Рассмотрим выражение:

$$\frac{5p}{p^2-q^2}+\frac{5q}{p^2-q^2}\mathrm{.}$$

У обеих дробей одинаковый знаменатель $p^2-q^2$, поэтому их можно объединить:

$$\frac{5p}{p^2-q^2}+\frac{5q}{p^2-q^2}=\frac{5p+5q}{p^2-q^2}\mathrm{.}$$

В числителе вынесем общий множитель $5$:

$$\frac{5p+5q}{p^2-q^2}=\frac{5(p+q)}{p^2-q^2}\mathrm{.}$$

Заметим, что $p^2-q^2$ можно разложить как разность квадратов:

$$p^2-q^2=(p-q)(p+q)\mathrm{.}$$

Подставим разложение в знаменатель:

$$\frac{5(p+q)}{(p-q)(p+q)}\mathrm{.}$$

Сократим одинаковые множители $p+q$ в числителе и знаменателе:

$$\frac{5(p+q)}{(p-q)(p+q)}=\frac{5}{p-q}\mathrm{.}$$

Ответ:

$$\frac{5}{p-q}\mathrm{.}$$