ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 459 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Решите уравнение:
а) x+vx-6=0;
б) x-vx+3=0;
в) x-4vx+3=0;
г) x-9vx+20=0.

а)

$$x + \sqrt{x} — 6 = 0$$

Замена: $\sqrt{x} = y$:

$$y^2+y-6=0$$

$$y^2 + y — 6 = 0$$ $$D=1^2+4\cdot 1\cdot 6=1+24=25=\sqrt{25}=5.$$

$$D = 1^2 + 4 \cdot 1 \cdot 6 = 1 + 24 = 25 = \sqrt{25} = 5.$$ $$y_1 = \frac{-1 — 5}{2} = \frac{-6}{2} = -3; \quad y_2 = \frac{-1 + 5}{2} = \frac{4}{2} = 2.$$

Тогда:

$\sqrt{x} = -3 < 0$ — корней нет;

$\sqrt{x} = 2$; $x = 4$.

Ответ: $x = 4.$

б)

$$x — \sqrt{x} + 3 = 0$$

Замена: $\sqrt{x} = y$:

$$y^2 — y + 3 = 0$$ $$D = (-1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 3 = 1 — 12 = -11 < 0 \quad \text{— корней нет.}$$

Ответ: корней нет.

в)

$$x — 4\sqrt{x} + 3 = 0$$

Замена: $\sqrt{x} = y$:

$$y^2-4y+3=0$$

$$y^2 — 4y + 3 = 0$$ $$D=(-4{)}^2-4\cdot 1\cdot 3=16-12=4=\sqrt{4}=2.$$

$$D = (-4)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 — 12 = 4 = \sqrt{4} = 2.$$ $$y_1 = \frac{4 — 2}{2} = \frac{2}{2} = 1; \quad y_2 = \frac{4 + 2}{2} = \frac{6}{2} = 3.$$

Тогда:

$\sqrt{x} = 1$; $x = 1$;

$\sqrt{x} = 3$; $x = 9$.

Ответ: $x = 1; \, x = 9.$

г)

$$x — 9\sqrt{x} + 20 = 0$$

Замена: $\sqrt{x} = y$:

$$y^2-9y+20=0$$

$$y^2 — 9y + 20 = 0$$ $$D=(-9{)}^2-4\cdot 1\cdot 20=81-80=1=\sqrt{1}=1.$$

$$D = (-9)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 20 = 81 — 80 = 1 = \sqrt{1} = 1.$$ $$y_1 = \frac{9 — 1}{2} = \frac{8}{2} = 4; \quad y_2 = \frac{9 + 1}{2} = \frac{10}{2} = 5.$$

Тогда:

$\sqrt{x} = 4$; $x = 16$;

$\sqrt{x} = 5$; $x = 25$.

Ответ: $x = 16; \, x = 25.$

а)

Рассмотрим уравнение:

$$x + \sqrt{x} — 6 = 0$$

Для упрощения уравнения сделаем замену: $\sqrt{x} = y$. Тогда уравнение примет вид:

$$y^2 + y — 6 = 0$$

Теперь находим дискриминант:

$$D = 1^2 + 4 \cdot 1 \cdot 6 = 1 + 24 = 25$$

Находим корни дискриминанта:

$$\sqrt{25} = 5$$

Находим корни квадратного уравнения:

$$y_1 = \frac{-1 — 5}{2} = \frac{-6}{2} = -3$$ $$y_2 = \frac{-1 + 5}{2} = \frac{4}{2} = 2$$

Подставляем $y = \sqrt{x}$:

$\sqrt{x} = -3 < 0$ — корней нет, так как $\sqrt{x} \geq 0$;

$\sqrt{x} = 2$; $x = 4$.

Ответ: $x = 4.$

б)

Рассмотрим уравнение:

$$x — \sqrt{x} + 3 = 0$$

Сделаем замену: $\sqrt{x} = y$, и уравнение примет вид:

$$y^2 — y + 3 = 0$$

Находим дискриминант:

$$D = (-1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 3 = 1 — 12 = -11 < 0$$

Дискриминант отрицателен, следовательно, корней у уравнения нет.

Ответ: корней нет.

в)

Рассмотрим уравнение:

$$x — 4\sqrt{x} + 3 = 0$$

Сделаем замену: $\sqrt{x} = y$, и уравнение примет вид:

$$y^2 — 4y + 3 = 0$$

Находим дискриминант:

$$D = (-4)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 — 12 = 4 = \sqrt{4} = 2$$

Находим корни уравнения:

$$y_1 = \frac{4 — 2}{2} = \frac{2}{2} = 1$$ $$y_2 = \frac{4 + 2}{2} = \frac{6}{2} = 3$$

Подставляем $y = \sqrt{x}$:

$\sqrt{x} = 1$; $x = 1$;

$\sqrt{x} = 3$; $x = 9$.

Ответ: $x = 1; \, x = 9.$

г)

Рассмотрим уравнение:

$$x — 9\sqrt{x} + 20 = 0$$

Сделаем замену: $\sqrt{x} = y$, и уравнение примет вид:

$$y^2 — 9y + 20 = 0$$

Находим дискриминант:

$$D = (-9)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 20 = 81 — 80 = 1 = \sqrt{1} = 1$$

Находим корни уравнения:

$$y_1 = \frac{9 — 1}{2} = \frac{8}{2} = 4$$ $$y_2 = \frac{9 + 1}{2} = \frac{10}{2} = 5$$

Подставляем $y = \sqrt{x}$:

$\sqrt{x} = 4$; $x = 16$;

$\sqrt{x} = 5$; $x = 25$.

Ответ: $x = 16; \, x = 25.$