ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 458 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Сколько корней может иметь биквадратное уравнение? Объясните свой ответ.

При выполнении замены получаем квадратное уравнение.
Квадратное уравнение может иметь один корень, два корня или не иметь корней.

Если квадратное уравнение имеет два корня, например, $x = m$ и $x = n$, то:

• при $m > 0$ и $n > 0$ — четыре решения;
• при $m > 0$ и $n < 0$ или $m < 0$ и $n > 0$ — два решения;
• при $m > 0$ и $n = 0$ или $m = 0$ и $n > 0$ — три решения;
• при $m < 0$ и $n = 0$ или $m = 0$ и $n < 0$ — одно решение;
• при $m < 0$ и $n < 0$ — решений нет.

Если квадратное уравнение имеет один корень, например, $x = m$, то:

• при $m > 0$ — два решения;
• при $m = 0$ — одно решение;
• при $m < 0$ — решений нет.

Если квадратное уравнение не имеет корней, то и биквадратное уравнение не имеет корней.

Ответ: 4 корня; 3 корня; 2 корня; 1 корень; 0 корней.

1. Квадратное уравнение имеет два корня, например, $x = m$ и $x = n$.

Если $m > 0$ и $n > 0$ — у нас будет четыре решения:

• $x^2 = m$ и $x^2 = n$, каждый из которых имеет два корня: $x = \pm \sqrt{m}$ и $x = \pm \sqrt{n}$. Поэтому итоговое количество решений будет равно 4.

Если $m > 0$ и $n < 0$ или $m < 0$ и $n > 0$ — у нас будет два решения:

• Один корень получается от $x^2 = m$ (положительный $m$, два корня $x = \pm \sqrt{m}$).
• Другой корень не существует от $x^2 = n$, если $n < 0$, так как корней не будет для отрицательного числа.
• Итоговое количество решений — два.

Если $m > 0$ и $n = 0$ или $m = 0$ и $n > 0$ — у нас будет три решения:

• Один корень от $x^2 = 0$ (единственный корень $x = 0$).
• Еще два корня от $x^2 = m$ или $x^2 = n$ (оба положительные).
• Итоговое количество решений — три.

Если $m < 0$ и $n = 0$ или $m = 0$ и $n < 0$ — у нас будет одно решение:

• Одно решение от $x^2 = 0$ (корень $x = 0$).
• Другие уравнения не имеют решений, так как квадрат отрицательного числа не существует в реальных числах.
• Итоговое количество решений — одно.

Если $m < 0$ и $n < 0$ — у нас не будет решений:

• Оба уравнения не имеют решений, так как квадрат числа не может быть отрицательным.
• Итоговое количество решений — 0.

2. Квадратное уравнение имеет один корень, например, $x = m$.

• Если $m > 0$ — у нас будет два решения:
• Одно решение от $x^2 = m$ (положительное значение $m$), два корня: $x = \pm \sqrt{m}$.
• Итоговое количество решений — два.

Если $m = 0$ — у нас будет одно решение:

• Одно решение от $x^2 = 0$, то есть $x = 0$.
• Итоговое количество решений — одно.

Если $m < 0$ — у нас не будет решений:

• Отрицательное значение $m$ не дает действительных корней.
• Итоговое количество решений — 0.

3. Если квадратное уравнение не имеет корней, то и биквадратное уравнение не имеет корней.

Ответ:

• 4 корня
• 3 корня
• 2 корня
• 1 корень
• 0 корней