ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 457 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Уравнение вида ax^4+bx^2+c=0, где a?0, называется биквадратным уравнением.
Решим уравнение x^4+3x^2-28=0.
Решение. Введем замену x^2=y, получим квадратное уравнение относительно y: y^2+3y-28=0. Решив его, найдем корни: y_1=4, y_2=-7. Теперь решим уравнения x^2=4 и x^2=-7.
1) x^2=4; x_1=2; x_2=-2;
2) x^2=-7; уравнение корней не имеет.
Ответ: 2; -2.
Решите биквадратное уравнение:
а) x^4-13x^2+36=0;
б) y^4-5y^2+4=0;
в) x^4+15x^2-16=0;
г) z^4+5z^2+4=0.

а)

$$x^4 — 13x^2 + 36 = 0$$

Замена: $x^2 = y$:

$$y^2-13y+36=0$$

$$y^2 — 13y + 36 = 0$$ $$D=(-13{)}^2-4\cdot 1\cdot 36=169-144=25=\sqrt{25}=5.$$

$$D = (-13)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 36 = 169 — 144 = 25 = \sqrt{25} = 5.$$ $$y_1 = \frac{13 — 5}{2} = \frac{8}{2} = 4; \quad y_2 = \frac{13 + 5}{2} = \frac{18}{2} = 9.$$

Тогда:

$$x^2 = 4, \quad x^2 = 9$$ $$x = \pm 2, \quad x = \pm 3.$$

Ответ: $x = \pm 2; \, x = \pm 3.$

б)

$$y^4 — 5y^2 + 4 = 0$$

Замена: $y^2 = x$:

$$x^2-5x+4=0$$

$$x^2 — 5x + 4 = 0$$ $$D=(-5{)}^2-4\cdot 1\cdot 4=25-16=9=\sqrt{9}=3.$$

$$D = (-5)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 — 16 = 9 = \sqrt{9} = 3.$$ $$x_1 = \frac{5 — 3}{2} = \frac{2}{2} = 1; \quad x_2 = \frac{5 + 3}{2} = \frac{8}{2} = 4.$$

Тогда:

$$y^2 = 1, \quad y^2 = 4$$ $$y = \pm 1, \quad y = \pm 2.$$

Ответ: $y = \pm 1; \, y = \pm 2.$

в)

$$x^4 + 15x^2 — 16 = 0$$

Замена: $x^2 = y$:

$$y^2+15y-16=0$$

$$y^2 + 15y — 16 = 0$$ $$D={15}^2+4\cdot 1\cdot 16=225+64=289=\sqrt{289}=17.$$

$$D = 15^2 + 4 \cdot 1 \cdot 16 = 225 + 64 = 289 = \sqrt{289} = 17.$$ $$y_1 = \frac{-15 — 17}{2} = \frac{-32}{2} = -16; \quad y_2 = \frac{-15 + 17}{2} = \frac{2}{2} = 1.$$

Тогда:

$$x^2 = -16 < 0 \quad \text{(корней нет)}; \quad x^2 = 1$$ $$x = \pm 1.$$

Ответ: $x = \pm 1.$

г)

$$z^4 + 5z^2 + 4 = 0$$

Замена: $z^2 = x$:

$$x^2+5x+4=0$$

$$x^2 + 5x + 4 = 0$$ $$D=5^2-4\cdot 1\cdot 4=25-16=9=\sqrt{9}=3.$$

$$D = 5^2 — 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 — 16 = 9 = \sqrt{9} = 3.$$ $$x_1 = \frac{-5 — 3}{2} = \frac{-8}{2} = -4; \quad x_2 = \frac{-5 + 3}{2} = \frac{-2}{2} = -1.$$

Тогда:

$$z^2 = -4 < 0 \quad \text{(корней нет)}; \quad z^2 = -1 < 0 \quad \text{(корней нет)}.$$

Ответ: корней нет.

а)

Рассмотрим уравнение:

$$x^4 — 13x^2 + 36 = 0$$

Для упрощения уравнения сделаем замену: $x^2 = y$. Тогда уравнение примет вид:

$$y^2 — 13y + 36 = 0$$

Теперь находим дискриминант:

$$D = (-13)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 36 = 169 — 144 = 25$$

Находим корни дискриминанта:

$$\sqrt{25} = 5$$

Находим корни квадратного уравнения:

$$y_1 = \frac{13 — 5}{2} = \frac{8}{2} = 4$$ $$y_2 = \frac{13 + 5}{2} = \frac{18}{2} = 9$$

Подставляем $y = x^2$:

$$x^2 = 4, \quad x^2 = 9$$

Находим корни для каждого уравнения:

$$x = \pm 2, \quad x = \pm 3$$

Ответ: $x = \pm 2; \, x = \pm 3.$

б)

Рассмотрим уравнение:

$$y^4 — 5y^2 + 4 = 0$$

Сделаем замену: $y^2 = x$, и уравнение примет вид:

$$x^2 — 5x + 4 = 0$$

Находим дискриминант:

$$D = (-5)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 — 16 = 9$$

Находим корни дискриминанта:

$$\sqrt{9} = 3$$

Находим корни квадратного уравнения:

$$x_1 = \frac{5 — 3}{2} = \frac{2}{2} = 1$$ $$x_2 = \frac{5 + 3}{2} = \frac{8}{2} = 4$$

Подставляем $x = y^2$:

$$y^2 = 1, \quad y^2 = 4$$

Находим корни для каждого уравнения:

$$y = \pm 1, \quad y = \pm 2$$

Ответ: $y = \pm 1; \, y = \pm 2.$

в)

Рассмотрим уравнение:

$$x^4 + 15x^2 — 16 = 0$$

Сделаем замену: $x^2 = y$, и уравнение примет вид:

$$y^2 + 15y — 16 = 0$$

Находим дискриминант:

$$D = 15^2 + 4 \cdot 1 \cdot 16 = 225 + 64 = 289$$

Находим корни дискриминанта:

$$\sqrt{289} = 17$$

Находим корни квадратного уравнения:

$$y_1 = \frac{-15 — 17}{2} = \frac{-32}{2} = -16$$ $$y_2 = \frac{-15 + 17}{2} = \frac{2}{2} = 1$$

Подставляем $y = x^2$:

$$x^2 = -16 < 0 \quad \text{(корней нет)}, \quad x^2 = 1$$

Находим корни для второго уравнения:

$$x = \pm 1$$

Ответ: $x = \pm 1.$

г)

Рассмотрим уравнение:

$$z^4 + 5z^2 + 4 = 0$$

Сделаем замену: $z^2 = x$, и уравнение примет вид:

$$x^2 + 5x + 4 = 0$$

Находим дискриминант:

$$D = 5^2 — 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 — 16 = 9$$

Находим корни дискриминанта:

$$\sqrt{9} = 3$$

Находим корни квадратного уравнения:

$$x_1 = \frac{-5 — 3}{2} = \frac{-8}{2} = -4$$ $$x_2 = \frac{-5 + 3}{2} = \frac{-2}{2} = -1$$

Подставляем $x = z^2$:

$$z^2 = -4 < 0 \quad \text{(корней нет)}, \quad z^2 = -1 < 0 \quad \text{(корней нет)}$$

Ответ: корней нет.