ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 457 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Уравнение вида

$$ax^4 + bx^2 + c = 0,$$

где $a \neq 0$, называется биквадратным уравнением.

Решим уравнение $x^4 + 3x^2 — 28 = 0$.

Решение. Введём замену $x^2 = y$, получим квадратное уравнение относительно $y$: $y^2 + 3y — 28 = 0$. Решив его, найдём корни: $y_1 = 4$, $y_2 = -7$. Теперь решим уравнения $x^2 = 4$ и $x^2 = -7$:

$x^2 = 4$; $x_1 = 2$, $x_2 = -2$;

$x^2 = -7$; уравнение корней не имеет.

Ответ: $2$; $-2$.

Решите биквадратное уравнение:

а) $x^4 — 13x^2 + 36 = 0$;

б) $y^4 — 5y^2 + 4 = 0$;

в) $x^4 + 15x^2 — 16 = 0$;

г) $z^4 + 5z^2 + 4 = 0$.

а) $x^4 — 13x^2 + 36 = 0$

Замена: $x^2 = y$;

$y^2 — 13y + 36 = 0$

$D = 169 — 4 \cdot 36 = 169 — 144 = 25 = \sqrt{25} = 5$.

$y_1 = \frac{13 — 5}{2} = \frac{8}{2} = 4; \quad y_2 = \frac{13 + 5}{2} = \frac{18}{2} = 9$.

Тогда:

$x^2 = 4, \quad x^2 = 9$

$x = \pm 2; \quad x = \pm 3$.

Ответ: $x = \pm 2; \, x = \pm 3$.

б) $y^4 — 5y^2 + 4 = 0$

Замена: $y^2 = x$;

$x^2 — 5x + 4 = 0$

$D = 25 — 4 \cdot 4 = 9 = \sqrt{9} = 3$.

$x_1 = \frac{5 — 3}{2} = \frac{2}{2} = 1; \quad x_2 = \frac{5 + 3}{2} = \frac{8}{2} = 4$.

Тогда:

$y^2 = 1, \quad y^2 = 4$

$y = \pm 1; \quad y = \pm 2$.

Ответ: $y = \pm 1; \, y = \pm 2$.

в) $x^4 + 15x^2 — 16 = 0$

Замена: $x^2 = y$;

$y^2 + 15y — 16 = 0$

$D = 225 + 4 \cdot 16 = 225 + 64 = 289 = \sqrt{289} = 17$.

$y_1 = \frac{-15 — 17}{2} = \frac{-32}{2} = -16; \quad y_2 = \frac{-15 + 17}{2} = \frac{2}{2} = 1$.

Тогда:

$x^2 = -16 < 0$ — корней нет; \quad $x^2 = 1; \, x = \pm 1$.

Ответ: $x = \pm 1$.

г) $z^4 + 5z^2 + 4 = 0$

Замена: $z^2 = x$;

$x^2 + 5x + 4 = 0$

$D = 25 — 4 \cdot 4 = 9 = \sqrt{9} = 3$.

$x_1 = \frac{-5 — 3}{2} = \frac{-8}{2} = -4; \quad x_2 = \frac{-5 + 3}{2} = \frac{-2}{2} = -1$.

Тогда:

$z^2 = -4 < 0$ — корней нет; \quad $z^2 = -1 < 0$ — корней нет.

Ответ: корней нет.

а)$$x^4-13x^2+36=0$$

Для упрощения уравнения сделаем замену: $x^2=y$. Тогда уравнение примет вид:

$$y^2-13y+36=0$$

Теперь находим дискриминант:

$$D=(-13{)}^2-4\cdot 1\cdot 36=169-144=25$$

Находим корни дискриминанта:

$$\sqrt{25}=5$$

Находим корни квадратного уравнения:

$$y_1=\frac{13-5}{2}=\frac{8}{2}=4$$

$$y_2=\frac{13+5}{2}=\frac{18}{2}=9$$

Подставляем $y=x^2$:

$$x^2=4,x^2=9$$

Находим корни для каждого уравнения:

$$x=\pm 2,x=\pm 3$$

Ответ: $x=\pm 2;x=\pm 3.$

б)$$y^4-5y^2+4=0$$

Сделаем замену: $y^2=x$, и уравнение примет вид:

$$x^2-5x+4=0$$

Находим дискриминант:

$$D=(-5{)}^2-4\cdot 1\cdot 4=25-16=9$$

Находим корни дискриминанта:

$$\sqrt{9}=3$$

Находим корни квадратного уравнения:

$$x_1=\frac{5-3}{2}=\frac{2}{2}=1$$

$$x_2=\frac{5+3}{2}=\frac{8}{2}=4$$

Подставляем $x=y^2$:

$$y^2=1,y^2=4$$

Находим корни для каждого уравнения:

$$y=\pm 1,y=\pm 2$$

Ответ: $y=\pm 1;y=\pm 2.$

в)$$x^4+15x^2-16=0$$

Сделаем замену: $x^2=y$, и уравнение примет вид:

$$y^2+15y-16=0$$

Находим дискриминант:

$$D={15}^2+4\cdot 1\cdot 16=225+64=289$$

Находим корни дискриминанта:

$$\sqrt{289}=17$$

Находим корни квадратного уравнения:

$$y_1=\frac{-15-17}{2}=\frac{-32}{2}=-16$$$$y_2=\frac{-15+17}{2}=\frac{2}{2}=1$$

Подставляем $y=x^2$:

$$x^2=-16<0\text{(корней нет)},x^2=1$$

Находим корни для второго уравнения:

$$x=\pm 1$$

Ответ: $x=\pm 1.$

г)$$z^4+5z^2+4=0$$

Сделаем замену: $z^2=x$, и уравнение примет вид:

$$x^2+5x+4=0$$

Находим дискриминант:

$$D=5^2-4\cdot 1\cdot 4=25-16=9$$

Находим корни дискриминанта:

$$\sqrt{9}=3$$

Находим корни квадратного уравнения:

$$x_1=\frac{-5-3}{2}=\frac{-8}{2}=-4$$

$$x_2=\frac{-5+3}{2}=\frac{-2}{2}=-1$$

Подставляем $x=z^2$:

$$z^2=-4<0\text{(корней нет)},z^2=-1<0\text{(корней нет)}$$

Ответ: корней нет.