ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 454 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) $(x — 5)(x + 2) = x(5 — x)$;

б) $(y + 2)^2 = y(3y + 2)$;

в) $3(z — 2)^2 = 2z + 4$;

г) $5 — 4x = 4(x — 1)^2$.

а) $(x — 5)(x + 2) = x(5 — x)$

$x^2 + 2x — 5x — 10 = 5x — x^2$

$x^2 — 3x — 10 — 5x + x^2 = 0$

$2x^2 — 8x — 10 = 0 \quad | : 2$

$x^2 — 4x — 5 = 0$

$D = 4 + 5 = 9 = \sqrt{9} = 3$

$x_1 = 2 — 3 = -1; \quad x_2 = 2 + 3 = 5$

Ответ: $x = -1; \, x = 5$

б) $(y + 2)^2 = y(3y + 2)$

$y^2 + 4y + 4 = 3y^2 + 2y$

$y^2 + 4y + 4 — 3y^2 — 2y = 0$

$-2y^2 + 2y + 4 = 0 \quad | : (-2)$

$y^2 — y — 2 = 0$

$D = 1 + 4 \cdot 2 = 9 = \sqrt{9} = 3$

$y_1 = \frac{1 — 3}{2} = \frac{-2}{2} = -1; \quad y_2 = \frac{1 + 3}{2} = \frac{4}{2} = 2$

Ответ: $y = -1; \, y = 2$

в) $3(z — 2)^2 = 2z + 4$

$3(z^2 — 4z + 4) — 2z — 4 = 0$

$3z^2 — 12z + 12 — 2z — 4 = 0$

$3z^2 — 14z + 8 = 0$

$D = 49 — 3 \cdot 8 = 49 — 24 = 25 = \sqrt{25} = 5$

$z_1 = \frac{7 — 5}{3} = \frac{2}{3}; \quad z_2 = \frac{7 + 5}{3} = \frac{12}{3} = 4$

Ответ: $z = \frac{2}{3}; \, z = 4$

г) $5 — 4x = 4(x — 1)^2$

$5 — 4x = 4(x^2 — 2x + 1)$

$4x^2 — 8x + 4 + 4x — 5 = 0$

$4x^2 — 4x — 1 = 0$

$D = 4 + 4 \cdot 1 = 8 = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$

$x_{1,2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{2}}{4} = \frac{2(1 \pm \sqrt{2})}{4} = \frac{1 \pm \sqrt{2}}{2}$

Ответ: $x = \frac{1 \pm \sqrt{2}}{2}$

а)$$(x-5)(x+2)=x(5-x)$$

Раскроем скобки на левой и правой частях:

$$x^2+2x-5x-10=5x-x^2$$

Упростим выражение на левой части:

$$x^2-3x-10=5x-x^2$$

Переносим все элементы на одну сторону уравнения:

$$x^2-3x-10-5x+x^2=0$$

Упрощаем уравнение:

$$2x^2-8x-10=0$$

Делим обе части на 2, чтобы упростить коэффициенты:

$$x^2-4x-5=0$$

Находим дискриминант для квадратного уравнения:

$$D=(-4{)}^2-4\cdot 1\cdot (-5)=16+20=36$$

Находим квадратный корень из дискриминанта:

$$\sqrt{36}=6$$

Находим корни уравнения:

$$x_1=\frac{4-6}{2}=\frac{-2}{2}=-1$$

$$$$$$x_2=\frac{4+6}{2}=\frac{10}{2}=5$$

Ответ: $x=-1;x=5.$

б)$$(y+2{)}^2=y(3y+2)$$

Раскроем скобки на левой и правой частях:

$$y^2+4y+4=3y^2+2y$$

Переносим все элементы на одну сторону уравнения:

$$y^2+4y+4-3y^2-2y=0$$

Упрощаем уравнение:

$$-2y^2+2y+4=0$$

Делим обе части на -2, чтобы упростить коэффициенты:

$$y^2-y-2=0$$

Находим дискриминант:

$$D=(-1{)}^2-4\cdot 1\cdot (-2)=1+8=9$$

Находим квадратный корень из дискриминанта:

$$\sqrt{9}=3$$

Находим корни уравнения:

$$y_1=\frac{1-3}{2}=\frac{-2}{2}=-1$$$$y_2=\frac{1+3}{2}=\frac{4}{2}=2$$

Ответ: $y=-1;y=2.$

в)$$3(z-2{)}^2=2z+4$$

Раскроем скобки:

$$3(z^2-4z+4)=2z+4$$

Умножим на 3 и упростим:

$$3z^2-12z+12=2z+4$$

Переносим все элементы на одну сторону:

$$3z^2-12z+12-2z-4=0$$

Упрощаем:

$$3z^2-14z+8=0$$

Находим дискриминант:

$$D=(-14{)}^2-4\cdot 3\cdot 8=196-96=100$$

Находим квадратный корень из дискриминанта:

$$\sqrt{100}=10$$

Находим корни уравнения:

$$z_1=\frac{14-10}{6}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$$

$$$$$$z_2=\frac{14+10}{6}=\frac{24}{6}=4$$

Ответ: $z=\frac{2}{3};z=4.$

г)$$5-4x=4(x-1{)}^2$$

Раскроем скобки на правой части:

$$5-4x=4(x^2-2x+1)$$

Умножим на 4 и упростим:

$$5-4x=4x^2-8x+4$$

Переносим все элементы на одну сторону:

$$4x^2-8x+4-5+4x=0$$

Упрощаем:

$$4x^2-4x-1=0$$

Находим дискриминант:

$$D=(-4{)}^2+4\cdot 4\cdot 1=16+16=32$$

Находим квадратный корень из дискриминанта:

$$\sqrt{32}=4\sqrt{2}$$

Находим корни уравнения:

$$x_{1,2}=\frac{4\pm 4\sqrt{2}}{8}=\frac{2\pm 2\sqrt{2}}{4}=\frac{1\pm \sqrt{2}}{2}$$

Ответ: $x=\frac{1\pm \sqrt{2}}{2}\mathrm{.}$