ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 454 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Решите уравнение:
а) (x-5)(x+2)=x(5-x);
б) (y+2)^2=y(3y+2);
в) 3(z-2)^2=2z+4

а)

$$(x-5)(x+2)=x(5-x)$$

$$(x — 5)(x + 2) = x(5 — x)$$ $$x^2+2x-5x-10=5x-x^2$$

$$x^2 + 2x — 5x — 10 = 5x — x^2$$ $$x^2-3x-10-5x+x^2=0$$

$$x^2 — 3x — 10 — 5x + x^2 = 0$$ $$2x^2-8x-10=0\mathrm{\mid }:2$$

$$2x^2 — 8x — 10 = 0 \quad | : 2$$ $$x^2-4x-5=0$$

$$x^2 — 4x — 5 = 0$$ $$D=(-4{)}^2+4\cdot 1\cdot 5=16+20=36=\sqrt{36}=6.$$

$$D = (-4)^2 + 4 \cdot 1 \cdot 5 = 16 + 20 = 36 = \sqrt{36} = 6.$$ $$x_1 = 2 — 3 = -1; \quad x_2 = 2 + 3 = 5.$$

Ответ: $x = -1; \, x = 5.$

б)

$$(y+2{)}^2=y(3y+2)$$

$$(y + 2)^2 = y(3y + 2)$$ $$y^2+4y+4=3y^2+2y$$

$$y^2 + 4y + 4 = 3y^2 + 2y$$ $$y^2+4y+4-3y^2-2y=0$$

$$y^2 + 4y + 4 — 3y^2 — 2y = 0$$ $$-2y^2+2y+4=0\mathrm{\mid }:(-2)$$

$$-2y^2 + 2y + 4 = 0 \quad | : (-2)$$ $$y^2-y-2=0$$

$$y^2 — y — 2 = 0$$ $$D=(-1{)}^2+4\cdot 1\cdot 2=1+8=9=\sqrt{9}=3.$$

$$D = (-1)^2 + 4 \cdot 1 \cdot 2 = 1 + 8 = 9 = \sqrt{9} = 3.$$ $$y_1 = \frac{1 — 3}{2} = \frac{-2}{2} = -1; \quad y_2 = \frac{1 + 3}{2} = \frac{4}{2} = 2.$$

Ответ: $y = -1; \, y = 2.$

в)

$$3(z-2{)}^2=2z+4$$

$$3(z — 2)^2 = 2z + 4$$ $$3(z^2-4z+4)-2z-4=0$$

$$3(z^2 — 4z + 4) — 2z — 4 = 0$$ $$3z^2-12z+12-2z-4=0$$

$$3z^2 — 12z + 12 — 2z — 4 = 0$$ $$3z^2-14z+8=0$$

$$3z^2 — 14z + 8 = 0$$ $$D=(-14{)}^2-4\cdot 3\cdot 8=196-96=100=\sqrt{100}=10.$$

$$D = (-14)^2 — 4 \cdot 3 \cdot 8 = 196 — 96 = 100 = \sqrt{100} = 10.$$ $$z_1 = \frac{14 — 10}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}; \quad z_2 = \frac{14 + 10}{6} = \frac{24}{6} = 4.$$

Ответ: $z = \frac{2}{3}; \, z = 4.$

г)

$$5-4x=4(x-1{)}^2$$

$$5 — 4x = 4(x — 1)^2$$ $$5-4x=4(x^2-2x+1)$$

$$5 — 4x = 4(x^2 — 2x + 1)$$ $$5-4x=4x^2-8x+4$$

$$5 — 4x = 4x^2 — 8x + 4$$ $$4x^2-8x+4-5+4x=0$$

$$4x^2 — 8x + 4 — 5 + 4x = 0$$ $$4x^2-4x-1=0$$

$$4x^2 — 4x — 1 = 0$$ $$D=(-4{)}^2+4\cdot 4\cdot 1=16+16=32=\sqrt{32}=4\sqrt{2}\mathrm{.}$$

$$D = (-4)^2 + 4 \cdot 4 \cdot 1 = 16 + 16 = 32 = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}.$$ $$x_{1,2} = \frac{4 \pm 4\sqrt{2}}{8} = \frac{2 \pm 2\sqrt{2}}{4} = \frac{1 \pm \sqrt{2}}{2}.$$

Ответ: $x = \frac{1 \pm \sqrt{2}}{2}.$

а)

Рассмотрим уравнение:

$$(x — 5)(x + 2) = x(5 — x)$$

Раскроем скобки на левой и правой частях:

$$x^2 + 2x — 5x — 10 = 5x — x^2$$

Упростим выражение на левой части:

$$x^2 — 3x — 10 = 5x — x^2$$

Переносим все элементы на одну сторону уравнения:

$$x^2 — 3x — 10 — 5x + x^2 = 0$$

Упрощаем уравнение:

$$2x^2 — 8x — 10 = 0$$

Делим обе части на 2, чтобы упростить коэффициенты:

$$x^2 — 4x — 5 = 0$$

Находим дискриминант для квадратного уравнения:

$$D = (-4)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36$$

Находим квадратный корень из дискриминанта:

$$\sqrt{36} = 6$$

Находим корни уравнения:

$$x_1=\frac{4-6}{2}=\frac{-2}{2}=-1$$

$$x_1 = \frac{4 — 6}{2} = \frac{-2}{2} = -1$$ $$x_2 = \frac{4 + 6}{2} = \frac{10}{2} = 5$$

Ответ: $x = -1; \, x = 5.$

б)

Рассмотрим уравнение:

$$(y + 2)^2 = y(3y + 2)$$

Раскроем скобки на левой и правой частях:

$$y^2 + 4y + 4 = 3y^2 + 2y$$

Переносим все элементы на одну сторону уравнения:

$$y^2 + 4y + 4 — 3y^2 — 2y = 0$$

Упрощаем уравнение:

$$-2y^2 + 2y + 4 = 0$$

Делим обе части на -2, чтобы упростить коэффициенты:

$$y^2 — y — 2 = 0$$

Находим дискриминант:

$$D = (-1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9$$

Находим квадратный корень из дискриминанта:

$$\sqrt{9} = 3$$

Находим корни уравнения:

$$y_1 = \frac{1 — 3}{2} = \frac{-2}{2} = -1$$ $$y_2 = \frac{1 + 3}{2} = \frac{4}{2} = 2$$

Ответ: $y = -1; \, y = 2.$

в)

Рассмотрим уравнение:

$$3(z — 2)^2 = 2z + 4$$

Раскроем скобки:

$$3(z^2 — 4z + 4) = 2z + 4$$

Умножим на 3 и упростим:

$$3z^2 — 12z + 12 = 2z + 4$$

Переносим все элементы на одну сторону:

$$3z^2 — 12z + 12 — 2z — 4 = 0$$

Упрощаем:

$$3z^2 — 14z + 8 = 0$$

Находим дискриминант:

$$D = (-14)^2 — 4 \cdot 3 \cdot 8 = 196 — 96 = 100$$

Находим квадратный корень из дискриминанта:

$$\sqrt{100} = 10$$

Находим корни уравнения:

$$z_1=\frac{14-10}{6}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$$

$$z_1 = \frac{14 — 10}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$$ $$z_2 = \frac{14 + 10}{6} = \frac{24}{6} = 4$$

Ответ: $z = \frac{2}{3}; \, z = 4.$

г)

Рассмотрим уравнение:

$$5 — 4x = 4(x — 1)^2$$

Раскроем скобки на правой части:

$$5 — 4x = 4(x^2 — 2x + 1)$$

Умножим на 4 и упростим:

$$5 — 4x = 4x^2 — 8x + 4$$

Переносим все элементы на одну сторону:

$$4x^2 — 8x + 4 — 5 + 4x = 0$$

Упрощаем:

$$4x^2 — 4x — 1 = 0$$

Находим дискриминант:

$$D = (-4)^2 + 4 \cdot 4 \cdot 1 = 16 + 16 = 32$$

Находим квадратный корень из дискриминанта:

$$\sqrt{32} = 4\sqrt{2}$$

Находим корни уравнения:

$$x_{1,2} = \frac{4 \pm 4\sqrt{2}}{8} = \frac{2 \pm 2\sqrt{2}}{4} = \frac{1 \pm \sqrt{2}}{2}$$

Ответ: $x = \frac{1 \pm \sqrt{2}}{2}.$