ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 449 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Решите уравнение, используя формулу корней квадратного уравнения с четным коэффициентом при x:
а) x^2+6x-27=0;
б) 3x^2+10x-8=0;
в) 5x^2=6x+8;
г) 3x^2+13x=2x^2-x-49;
д) 2x^2+3x=42-5x;
е) 6x+24=9x^2;
ж) 16x^2=16x+5;
з) -5x^2+20=14x-4.

а)

$$x^2+6x-27=0$$

$$x^2 + 6x — 27 = 0$$ $$D=6^2+4\cdot 1\cdot 27=36+108=144=\sqrt{144}=12.$$

$$D = 6^2 + 4 \cdot 1 \cdot 27 = 36 + 108 = 144 = \sqrt{144} = 12.$$ $$x_1 = -3 + 6 = 3; \quad x_2 = -3 — 6 = -9.$$

Ответ: $x = -9; \, x = 3.$

б)

$$3x^2+10x-8=0$$

$$3x^2 + 10x — 8 = 0$$ $$D={10}^2+4\cdot 3\cdot 8=100+96=196=\sqrt{196}=14.$$

$$D = 10^2 + 4 \cdot 3 \cdot 8 = 100 + 96 = 196 = \sqrt{196} = 14.$$ $$x_1 = \frac{-5 — 7}{3} = \frac{-12}{3} = -4; \quad x_2 = \frac{-5 + 7}{3} = \frac{2}{3}.$$

Ответ: $x = -4; \, x = \frac{2}{3}.$

в)

$$5x^2=6x+8$$

$$5x^2 = 6x + 8$$ $$5x^2-6x-8=0$$

$$5x^2 — 6x — 8 = 0$$ $$D=(-6{)}^2+4\cdot 5\cdot 8=36+160=196=\sqrt{196}=14.$$

$$D = (-6)^2 + 4 \cdot 5 \cdot 8 = 36 + 160 = 196 = \sqrt{196} = 14.$$ $$x_1 = \frac{3 — 7}{5} = \frac{-4}{5} = -0.8; \quad x_2 = \frac{3 + 7}{5} = \frac{10}{5} = 2.$$

Ответ: $x = -0.8; \, x = 2.$

г)

$$3x^2+13x=2x^2-x-49$$

$$3x^2 + 13x = 2x^2 — x — 49$$ $$3x^2+13x-2x^2+x+49=0$$

$$3x^2 + 13x — 2x^2 + x + 49 = 0$$ $$x^2+14x+49=0$$

$$x^2 + 14x + 49 = 0$$ $$D={14}^2-4\cdot 1\cdot 49=196-196=0.$$

$$D = 14^2 — 4 \cdot 1 \cdot 49 = 196 — 196 = 0.$$ $$x = -\frac{14}{2} = -7.$$

Ответ: $x = -7.$

д)

$$2x^2+3x=42-5x$$

$$2x^2 + 3x = 42 — 5x$$ $$2x^2+3x+5x-42=0$$

$$2x^2 + 3x + 5x — 42 = 0$$ $$2x^2+8x-42=0\mathrm{\mid }:2$$

$$2x^2 + 8x — 42 = 0 \quad | : 2$$ $$x^2+4x-21=0$$

$$x^2 + 4x — 21 = 0$$ $$D=4^2+4\cdot 1\cdot 21=16+84=100=\sqrt{100}=10.$$

$$D = 4^2 + 4 \cdot 1 \cdot 21 = 16 + 84 = 100 = \sqrt{100} = 10.$$ $$x_1 = -2 — 5 = -7; \quad x_2 = -2 + 5 = 3.$$

Ответ: $x = -7; \, x = 3.$

е)

$$6x+24=9x^2$$

$$6x + 24 = 9x^2$$ $$9x^2-6x-24=0\mathrm{\mid }:3$$

$$9x^2 — 6x — 24 = 0 \quad | : 3$$ $$3x^2-2x-8=0$$

$$3x^2 — 2x — 8 = 0$$ $$D=(-2{)}^2+4\cdot 3\cdot 8=4+96=100=\sqrt{100}=10.$$

$$D = (-2)^2 + 4 \cdot 3 \cdot 8 = 4 + 96 = 100 = \sqrt{100} = 10.$$ $$x_1 = \frac{1 — 5}{3} = \frac{-4}{3}; \quad x_2 = \frac{1 + 5}{3} = \frac{6}{3} = 2.$$

Ответ: $x = -\frac{4}{3}; \, x = 2.$

ж)

$$16x^2=16x+5$$

$$16x^2 = 16x + 5$$ $$16x^2-16x-5=0$$

$$16x^2 — 16x — 5 = 0$$ $$D=(-16{)}^2+4\cdot 16\cdot 5=256+320=576=\sqrt{576}=24.$$

$$D = (-16)^2 + 4 \cdot 16 \cdot 5 = 256 + 320 = 576 = \sqrt{576} = 24.$$ $$x_1 = \frac{8 — 24}{16} = \frac{-16}{16} = -1; \quad x_2 = \frac{8 + 24}{16} = \frac{32}{16} = 2.$$

Ответ: $x = -1; \, x = 2.$

з)

$$-5x^2+20=14x-4$$

$$-5x^2 + 20 = 14x — 4$$ $$-5x^2-14x+24=0$$

$$-5x^2 — 14x + 24 = 0$$ $$D=(-14{)}^2+4\cdot 5\cdot 24=196+480=676=\sqrt{676}=26.$$

$$D = (-14)^2 + 4 \cdot 5 \cdot 24 = 196 + 480 = 676 = \sqrt{676} = 26.$$ $$x_1=\frac{7-13}{-5}=\frac{-6}{-5}=1.2;x_2=\frac{7+13}{-5}=\frac{20}{-5}=-4.$$

$$x_1 = \frac{7 — 13}{-5} = \frac{-6}{-5} = 1.2; \quad x_2 = \frac{7 + 13}{-5} = \frac{20}{-5} = -4.$$

Ответ: $x = -4; \, x = 1.2.$

а)

Рассмотрим уравнение:

$$x^2 + 6x — 27 = 0$$

Для нахождения корней применяем дискриминант:

$$D = 6^2 + 4 \cdot 1 \cdot 27 = 36 + 108 = 144 = \sqrt{144} = 12.$$

Находим корни с помощью формулы:

$$x_1 = \frac{-6 + 12}{2} = 3; \quad x_2 = \frac{-6 — 12}{2} = -9.$$

Ответ: $x = -9; \, x = 3.$

б)

Рассмотрим уравнение:

$$3x^2 + 10x — 8 = 0$$

Находим дискриминант:

$$D = 10^2 + 4 \cdot 3 \cdot 8 = 100 + 96 = 196 = \sqrt{196} = 14.$$

Применяем формулу для нахождения корней:

$$x_1 = \frac{-10 — 14}{6} = \frac{-24}{6} = -4; \quad x_2 = \frac{-10 + 14}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}.$$

Ответ: $x = -4; \, x = \frac{2}{3}.$

в)

Рассмотрим уравнение:

$$5x^2 = 6x + 8$$

Преобразуем его в стандартную форму:

$$5x^2 — 6x — 8 = 0$$

Находим дискриминант:

$$D = (-6)^2 + 4 \cdot 5 \cdot 8 = 36 + 160 = 196 = \sqrt{196} = 14.$$

Находим корни:

$$x_1 = \frac{6 — 14}{10} = \frac{-8}{10} = -0.8; \quad x_2 = \frac{6 + 14}{10} = \frac{20}{10} = 2.$$

Ответ: $x = -0.8; \, x = 2.$

г)

Рассмотрим уравнение:

$$3x^2 + 13x = 2x^2 — x — 49$$

Переносим все элементы на одну сторону:

$$3x^2 + 13x — 2x^2 + x + 49 = 0$$

Упрощаем:

$$x^2 + 14x + 49 = 0$$

Находим дискриминант:

$$D = 14^2 — 4 \cdot 1 \cdot 49 = 196 — 196 = 0.$$

Так как дискриминант равен нулю, уравнение имеет один корень:

$$x = -\frac{14}{2} = -7.$$

Ответ: $x = -7.$

д)

Рассмотрим уравнение:

$$2x^2 + 3x = 42 — 5x$$

Переносим все элементы на одну сторону:

$$2x^2 + 3x + 5x — 42 = 0$$

Упрощаем:

$$2x^2 + 8x — 42 = 0$$

Делим обе части на 2:

$$x^2 + 4x — 21 = 0$$

Находим дискриминант:

$$D = 4^2 + 4 \cdot 1 \cdot 21 = 16 + 84 = 100 = \sqrt{100} = 10.$$

Находим корни:

$$x_1 = \frac{-4 — 10}{2} = \frac{-14}{2} = -7; \quad x_2 = \frac{-4 + 10}{2} = \frac{6}{2} = 3.$$

Ответ: $x = -7; \, x = 3.$

е)

Рассмотрим уравнение:

$$6x + 24 = 9x^2$$

Переносим все элементы на одну сторону:

$$9x^2 — 6x — 24 = 0$$

Делим обе части на 3:

$$3x^2 — 2x — 8 = 0$$

Находим дискриминант:

$$D = (-2)^2 + 4 \cdot 3 \cdot 8 = 4 + 96 = 100 = \sqrt{100} = 10.$$

Находим корни:

$$x_1 = \frac{2 — 10}{6} = \frac{-8}{6} = -\frac{4}{3}; \quad x_2 = \frac{2 + 10}{6} = \frac{12}{6} = 2.$$

Ответ: $x = -\frac{4}{3}; \, x = 2.$

ж)

Рассмотрим уравнение:

$$16x^2 = 16x + 5$$

Переносим все элементы на одну сторону:

$$16x^2 — 16x — 5 = 0$$

Находим дискриминант:

$$D = (-16)^2 + 4 \cdot 16 \cdot 5 = 256 + 320 = 576 = \sqrt{576} = 24.$$

Находим корни:

$$x_1 = \frac{16 — 24}{32} = \frac{-8}{32} = -\frac{1}{4}; \quad x_2 = \frac{16 + 24}{32} = \frac{40}{32} = \frac{5}{4}.$$

Ответ: $x = -\frac{1}{4}; \, x = \frac{5}{4}.$

з)

Рассмотрим уравнение:

$$-5x^2 + 20 = 14x — 4$$

Переносим все элементы на одну сторону:

$$-5x^2 — 14x + 24 = 0$$

Находим дискриминант:

$$D = (-14)^2 + 4 \cdot 5 \cdot 24 = 196 + 480 = 676 = \sqrt{676} = 26.$$

Находим корни:

$$x_1 = \frac{14 — 26}{-10} = \frac{-12}{-10} = 1.2; \quad x_2 = \frac{14 + 26}{-10} = \frac{40}{-10} = -4.$$

Ответ: $x = -4; \, x = 1.2.$