ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 449 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Решите уравнение, используя формулу корней квадратного уравнения с чётным коэффициентом при $x$:

а) $x^2 + 6x — 27 = 0$;

б) $3x^2 + 10x — 8 = 0$;

в) $5x^2 = 6x + 8$;

г) $3x^2 + 13x = 2x^2 — x — 49$;

д) $2x^2 + 3x = 42 — 5x$;

е) $6x + 24 = 9x^2$;

ж) $16x^2 = 16x + 5$;

з) $-5x^2 + 20 = 14x — 4$.

а) $x^2 + 6x — 27 = 0$

$D = 9 + 27 = 36 = \sqrt{36} = 6$.

$x_1 = -3 + 6 = 3; \quad x_2 = -3 — 6 = -9$.

Ответ: $x = -9; \, x = 3$.

б) $3x^2 + 10x — 8 = 0$

$D = 25 + 3 \cdot 8 = 49 = \sqrt{49} = 7$.

$x_1 = \frac{-5 — 7}{3} = \frac{-12}{3} = -4; \quad x_2 = \frac{-5 + 7}{3} = \frac{2}{3}$.

Ответ: $x = -4; \, x = \frac{2}{3}$.

в) $5x^2 = 6x + 8$

$5x^2 — 6x — 8 = 0$

$D = 9 + 5 \cdot 8 = 49 = \sqrt{49} = 7$.

$x_1 = \frac{3 — 7}{5} = \frac{-4}{5} = -0,8; \quad x_2 = \frac{3 + 7}{5} = \frac{10}{5} = 2$.

Ответ: $x = -0,8; \, x = 2$.

г) $3x^2 + 13x = 2x^2 — x — 49$

$3x^2 + 13x — 2x^2 + x + 49 = 0$

$x^2 + 14x + 49 = 0$

$D = 49 — 49 = 0$.

$x = -7$.

Ответ: $x = -7$.

д) $2x^2 + 3x = 42 — 5x$

$2x^2 + 3x + 5x — 42 = 0$

$2x^2 + 8x — 42 = 0 \quad | : 2$

$x^2 + 4x — 21 = 0$

$D = 4 + 21 = 25 = \sqrt{25} = 5$.

$x_1 = -2 — 5 = -7; \quad x_2 = -2 + 5 = 3$.

Ответ: $x = -7; \, x = 3$.

е) $6x + 24 = 9x^2$

$9x^2 — 6x — 24 = 0 \quad | : 3$

$3x^2 — 2x — 8 = 0$

$D = 1 + 3 \cdot 8 = 25 = \sqrt{25} = 5$.

$x_1 = \frac{1 — 5}{3} = \frac{-4}{3}; \quad x_2 = \frac{1 + 5}{3} = \frac{6}{3} = 2$.

Ответ: $x = -\frac{4}{3}; \, x = 2$.

ж) $16x^2 = 16x + 5$

$16x^2 — 16x — 5 = 0$

$D = 64 + 16 \cdot 5 = 64 + 80 = 144 = \sqrt{144} = 12$.

$x_1 = \frac{8 — 12}{16} = \frac{-4}{16} = -\frac{1}{4}; \quad x_2 = \frac{8 + 12}{16} = \frac{20}{16} = \frac{5}{4}$.

Ответ: $x = -\frac{1}{4}; \, x = \frac{5}{4}$.

з) $-5x^2 + 20 = 14x — 4$

$-5x^2 — 14x + 24 = 0$

$D = 49 + 5 \cdot 24 = 49 + 120 = 169 = \sqrt{169} = 13$.

$x_1 = \frac{7 — 13}{-5} = \frac{-6}{-5} = 1.2; \quad x_2 = \frac{7 + 13}{-5} = \frac{20}{-5} = -4$.

Ответ: $x = -4; \, x = 1.2$.

а) $x^2 + 6x — 27 = 0$

Найдем дискриминант для уравнения $x^2 + 6x — 27 = 0$. В данном уравнении коэффициенты равны: $a = 1$, $b = 6$, $c = -27$. Формула для дискриминанта:

$$D = b^2 — 4ac$$

Подставляем значения:

$$D = 6^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-27) = 36 + 108 = 144$$

Дискриминант равен 144, что больше нуля, следовательно, у уравнения два корня.

Найдем корни уравнения с помощью формулы:

$$x_1 = \frac{-b — \sqrt{D}}{2a}, \quad x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}$$

Подставляем значения:

$$x_1=\frac{-6-\sqrt{144}}{2\cdot 1}=\frac{-6-12}{2}=\frac{-18}{2}=-9$$

$$x_1 = \frac{-6 — \sqrt{144}}{2 \cdot 1} = \frac{-6 — 12}{2} = \frac{-18}{2} = -9$$ $$x_2 = \frac{-6 + \sqrt{144}}{2 \cdot 1} = \frac{-6 + 12}{2} = \frac{6}{2} = 3$$

Ответ: $x = -9; \, x = 3$

б) $3x^2 + 10x — 8 = 0$

Найдем дискриминант для уравнения $3x^2 + 10x — 8 = 0$. Здесь $a = 3$, $b = 10$, $c = -8$. Формула для дискриминанта:

$$D = b^2 — 4ac$$

Подставляем значения:

$$D = 10^2 — 4 \cdot 3 \cdot (-8) = 100 + 96 = 196$$

Дискриминант равен 196, что больше нуля, следовательно, у уравнения два корня.

Найдем корни уравнения:

$$x_1=\frac{-10-\sqrt{196}}{2\cdot 3}=\frac{-10-14}{6}=\frac{-24}{6}=-4$$

$$x_1 = \frac{-10 — \sqrt{196}}{2 \cdot 3} = \frac{-10 — 14}{6} = \frac{-24}{6} = -4$$ $$x_2 = \frac{-10 + \sqrt{196}}{2 \cdot 3} = \frac{-10 + 14}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$$

Ответ: $x = -4; \, x = \frac{2}{3}$

в) $5x^2 = 6x + 8$

Преобразуем уравнение $5x^2 = 6x + 8$ в стандартную форму:

$$5x^2 — 6x — 8 = 0$$

Теперь, для уравнения $5x^2 — 6x — 8 = 0$, $a = 5$, $b = -6$, $c = -8$. Формула для дискриминанта:

$$D = b^2 — 4ac$$

Подставляем значения:

$$D = (-6)^2 — 4 \cdot 5 \cdot (-8) = 36 + 160 = 196$$

Дискриминант равен 196, что больше нуля, следовательно, у уравнения два корня.

Найдем корни уравнения:

$$x_1=\frac{6-\sqrt{196}}{2\cdot 5}=\frac{6-14}{10}=\frac{-8}{10}=-0.8$$

$$x_1 = \frac{6 — \sqrt{196}}{2 \cdot 5} = \frac{6 — 14}{10} = \frac{-8}{10} = -0.8$$ $$x_2 = \frac{6 + \sqrt{196}}{2 \cdot 5} = \frac{6 + 14}{10} = \frac{20}{10} = 2$$

Ответ: $x = -0.8; \, x = 2$

г) $3x^2 + 13x = 2x^2 — x — 49$

Преобразуем уравнение $3x^2 + 13x = 2x^2 — x — 49$ в стандартную форму:

$$3x^2+13x-2x^2+x+49=0$$

$$3x^2 + 13x — 2x^2 + x + 49 = 0$$ $$x^2 + 14x + 49 = 0$$

Теперь для уравнения $x^2 + 14x + 49 = 0$, $a = 1$, $b = 14$, $c = 49$. Формула для дискриминанта:

$$D = b^2 — 4ac$$

Подставляем значения:

$$D = 14^2 — 4 \cdot 1 \cdot 49 = 196 — 196 = 0$$

Дискриминант равен 0, что означает, что у уравнения есть один корень.

Находим корень уравнения:

$$x = \frac{-14}{2 \cdot 1} = \frac{-14}{2} = -7$$

Ответ: $x = -7$

д) $2x^2 + 3x = 42 — 5x$

Преобразуем уравнение $2x^2 + 3x = 42 — 5x$ в стандартную форму:

$$2x^2+3x+5x-42=0$$

$$2x^2 + 3x + 5x — 42 = 0$$ $$2x^2+8x-42=0\mathrm{\mid }:2$$

$$2x^2 + 8x — 42 = 0 \quad | : 2$$ $$x^2 + 4x — 21 = 0$$

Теперь для уравнения $x^2 + 4x — 21 = 0$, $a = 1$, $b = 4$, $c = -21$. Формула для дискриминанта:

$$D = b^2 — 4ac$$

Подставляем значения:

$$D = 4^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-21) = 16 + 84 = 100$$

Дискриминант равен 100, что больше нуля, следовательно, у уравнения два корня.

Находим корни уравнения:

$$x_1=\frac{-4-\sqrt{100}}{2\cdot 1}=\frac{-4-10}{2}=\frac{-14}{2}=-7$$

$$x_1 = \frac{-4 — \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 — 10}{2} = \frac{-14}{2} = -7$$ $$x_2 = \frac{-4 + \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 + 10}{2} = \frac{6}{2} = 3$$

Ответ: $x = -7; \, x = 3$

е) $6x + 24 = 9x^2$

Преобразуем уравнение $6x + 24 = 9x^2$ в стандартную форму:

$$9x^2 — 6x — 24 = 0 \quad | : 3$$ $$3x^2 — 2x — 8 = 0$$

Теперь для уравнения $3x^2 — 2x — 8 = 0$, $a = 3$, $b = -2$, $c = -8$. Формула для дискриминанта:

$$D = b^2 — 4ac$$

Подставляем значения:

$$D = (-2)^2 — 4 \cdot 3 \cdot (-8) = 4 + 96 = 100$$

Дискриминант равен 100, что больше нуля, следовательно, у уравнения два корня.

Находим корни уравнения:

$$x_1=\frac{2-\sqrt{100}}{2\cdot 3}=\frac{2-10}{6}=\frac{-8}{6}=-\frac{4}{3}$$

$$x_1 = \frac{2 — \sqrt{100}}{2 \cdot 3} = \frac{2 — 10}{6} = \frac{-8}{6} = -\frac{4}{3}$$ $$x_2 = \frac{2 + \sqrt{100}}{2 \cdot 3} = \frac{2 + 10}{6} = \frac{12}{6} = 2$$

Ответ: $x = -\frac{4}{3}; \, x = 2$

ж) $16x^2 = 16x + 5$

Преобразуем уравнение $16x^2 = 16x + 5$ в стандартную форму:

$$16x^2 — 16x — 5 = 0$$

Теперь для уравнения $16x^2 — 16x — 5 = 0$, $a = 16$, $b = -16$, $c = -5$. Формула для дискриминанта:

$$D = b^2 — 4ac$$

Подставляем значения:

$$D = (-16)^2 — 4 \cdot 16 \cdot (-5) = 256 + 320 = 576$$

Дискриминант равен 576, что больше нуля, следовательно, у уравнения два корня.

Находим корни уравнения:

$$x_1=\frac{16-\sqrt{576}}{2\cdot 16}=\frac{16-24}{32}=\frac{-8}{32}=-\frac{1}{4}$$

$$x_1 = \frac{16 — \sqrt{576}}{2 \cdot 16} = \frac{16 — 24}{32} = \frac{-8}{32} = -\frac{1}{4}$$ $$x_2 = \frac{16 + \sqrt{576}}{2 \cdot 16} = \frac{16 + 24}{32} = \frac{40}{32} = \frac{5}{4}$$

Ответ: $x = -\frac{1}{4}; \, x = \frac{5}{4}$

з) $-5x^2 + 20 = 14x — 4$

Преобразуем уравнение $-5x^2 + 20 = 14x — 4$ в стандартную форму:

$$-5x^2 — 14x + 24 = 0$$

Теперь для уравнения $-5x^2 — 14x + 24 = 0$, $a = -5$, $b = -14$, $c = 24$. Формула для дискриминанта:

$$D = b^2 — 4ac$$

Подставляем значения:

$$D = (-14)^2 — 4 \cdot (-5) \cdot 24 = 196 + 480 = 676$$

Дискриминант равен 676, что больше нуля, следовательно, у уравнения два корня.

Находим корни уравнения:

$$x_1=\frac{14-\sqrt{676}}{-5}=\frac{14-26}{-5}=\frac{-12}{-5}=1.2$$

$$x_1 = \frac{14 — \sqrt{676}}{-5} = \frac{14 — 26}{-5} = \frac{-12}{-5} = 1.2$$ $$x_2 = \frac{14 + \sqrt{676}}{-5} = \frac{14 + 26}{-5} = \frac{40}{-5} = -4$$

Ответ: $x = -4; \, x = 1.2$