ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 444 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Найдите корни уравнения и укажите их приближенные значения с двумя знаками после запятой (воспользуйтесь калькулятором):

а) $x^2 — 6x = 1$

б) $3x^2 = 7x + 3$

в) $x^2 + 11x = x — 2$

г) $5x — 2 = 3x^2$

д) $2x^2 + 4x + 1 = 0$

е) $4 — 4x = x^2$

а) $x^2 — 6x = 1$
$x^2 — 6x — 1 = 0$
$D = 36 + 4 = 40 = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}$.
$x_1 = \frac{6 — 2\sqrt{10}}{2} = \frac{2(3 — \sqrt{10})}{2} = 3 — \sqrt{10} \approx 3 — 3.16 = -0.16$;
$x_2 = \frac{6 + 2\sqrt{10}}{2} = \frac{2(3 + \sqrt{10})}{2} = 3 + \sqrt{10} \approx 3 + 3.16 = 6.16$.
Ответ: $x = -0.16; \, x = 6.16$.

б) $3x^2 = 7x + 3$
$3x^2 — 7x — 3 = 0$
$D = 49 + 4 \cdot 3 \cdot 3 = 49 + 36 = 85 = \sqrt{85}$.
$x_1 = \frac{7 — \sqrt{85}}{2 \cdot 3} \approx \frac{7 — 9.22}{6} = \frac{-2.22}{6} = -0.37$;
$x_2 = \frac{7 + \sqrt{85}}{6} \approx \frac{7 + 9.22}{6} = \frac{16.22}{6} = 2.70$.
Ответ: $x = -0.37; \, x = 2.70$.

в) $x^2 + 11x = x — 2$
$x^2 + 11x — x + 2 = 0$
$x^2 + 10x + 2 = 0$
$D = 100 — 4 \cdot 2 = 92 = \sqrt{92} = 2\sqrt{23}$.
$x_1 = \frac{-10 — 2\sqrt{23}}{2} = \frac{2(-5 — \sqrt{23})}{2} \approx -5 — 4.80 = -9.80$;
$x_2 = \frac{-10 + 2\sqrt{23}}{2} \approx -5 + 4.80 = -0.20$.
Ответ: $x = -9.80; \, x = -0.20$.

г) $5x — 2 = 3x^2$
$3x^2 — 5x + 2 = 0$
$D = 25 — 4 \cdot 3 \cdot 2 = 25 — 24 = 1 = \sqrt{1} = 1$.
$x_1 = \frac{5 — 1}{2 \cdot 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \approx 0.67$;
$x_2 = \frac{5 + 1}{6} = \frac{6}{6} = 1$.
Ответ: $x = 0.67; \, x = 1$.

д) $2x^2 + 4x + 1 = 0$
$D = 16 — 4 \cdot 2 = 8 = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.
$x_1 = \frac{-4 — 2\sqrt{2}}{2 \cdot 2} = \frac{2(-2 — \sqrt{2})}{2 \cdot 2} \approx \frac{-2 — 1.41}{2} = -1.71$;
$x_2 = \frac{-4 + 2\sqrt{2}}{2 \cdot 2} \approx \frac{-2 + 1.41}{2} = -0.30$.
Ответ: $x = -1.71; \, x = -0.30$.

е) $4 — 4x = x^2$
$x^2 + 4x — 4 = 0$
$D = 16 + 4 \cdot 4 = 32 = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$.
$x_1 = \frac{-4 — 4\sqrt{2}}{2} = \frac{2(-2 — 2\sqrt{2})}{2} \approx -2 — 2 \cdot 1.41 = -4.82$;
$x_2 = \frac{-4 + 4\sqrt{2}}{2} \approx -2 + 2 \cdot 1.41 = 0.82$.
Ответ: $x = -4.82; \, x = 0.82$.

а) $x^2 — 6x = 1$

Переносим $1$ влево:

$$x^2 — 6x — 1 = 0$$

Для нахождения дискриминанта используем формулу:

$$D = b^2 — 4ac$$

где $a = 1$, $b = -6$, $c = -1$.

Подставляем значения:

$$D = (-6)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 36 + 4 = 40$$

Дискриминант $D = 40$ положительный, следовательно, у уравнения два корня. Для нахождения корней используем формулу:

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$

Подставляем значения:

$$x_1 = \frac{-(-6) — \sqrt{40}}{2 \cdot 1} = \frac{6 — \sqrt{40}}{2}$$ $$x_2 = \frac{-(-6) + \sqrt{40}}{2 \cdot 1} = \frac{6 + \sqrt{40}}{2}$$

Вычисляем $\sqrt{40} = 2\sqrt{10}$, тогда:

$$x_1 = \frac{6 — 2\sqrt{10}}{2} = 3 — \sqrt{10} \approx 3 — 3.16 = -0.16$$ $$x_2 = \frac{6 + 2\sqrt{10}}{2} = 3 + \sqrt{10} \approx 3 + 3.16 = 6.16$$

Ответ: $x = -0.16; \, x = 6.16$.

б) $3x^2 = 7x + 3$

Переносим все элементы на одну сторону:

$$3x^2 — 7x — 3 = 0$$

Для нахождения дискриминанта используем формулу:

$$D = b^2 — 4ac$$

где $a = 3$, $b = -7$, $c = -3$.

Подставляем значения:

$$D = (-7)^2 — 4 \cdot 3 \cdot (-3) = 49 + 36 = 85$$

Дискриминант $D = 85$ положительный, следовательно, у уравнения два корня. Для нахождения корней используем формулу:

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$

Подставляем значения:

$$x_1 = \frac{-(-7) — \sqrt{85}}{2 \cdot 3} = \frac{7 — \sqrt{85}}{6}$$ $$x_2 = \frac{-(-7) + \sqrt{85}}{2 \cdot 3} = \frac{7 + \sqrt{85}}{6}$$

Приближенно вычисляем $\sqrt{85} \approx 9.22$:

$$x_1 = \frac{7 — 9.22}{6} = \frac{-2.22}{6} \approx -0.37$$ $$x_2 = \frac{7 + 9.22}{6} = \frac{16.22}{6} \approx 2.70$$

Ответ: $x = -0.37; \, x = 2.70$.

в) $x^2 + 11x = x — 2$

Переносим все элементы на одну сторону:

$$x^2 + 11x — x + 2 = 0$$ $$x^2 + 10x + 2 = 0$$

Для нахождения дискриминанта используем формулу:

$$D = b^2 — 4ac$$

где $a = 1$, $b = 10$, $c = 2$.

Подставляем значения:

$$D = 10^2 — 4 \cdot 1 \cdot 2 = 100 — 8 = 92$$

Дискриминант $D = 92$ положительный, следовательно, у уравнения два корня. Для нахождения корней используем формулу:

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$

Подставляем значения:

$$x_1 = \frac{-10 — \sqrt{92}}{2 \cdot 1} = \frac{-10 — \sqrt{92}}{2}$$ $$x_2 = \frac{-10 + \sqrt{92}}{2 \cdot 1} = \frac{-10 + \sqrt{92}}{2}$$

Приближенно вычисляем $\sqrt{92} \approx 9.59$:

$$x_1 = \frac{-10 — 9.59}{2} = \frac{-19.59}{2} \approx -9.80$$ $$x_2 = \frac{-10 + 9.59}{2} = \frac{-0.41}{2} \approx -0.20$$

Ответ: $x = -9.80; \, x = -0.20$.

г) $5x — 2 = 3x^2$

Переносим все элементы на одну сторону:

$$3x^2 — 5x + 2 = 0$$

Для нахождения дискриминанта используем формулу:

$$D = b^2 — 4ac$$

где $a = 3$, $b = -5$, $c = 2$.

Подставляем значения:

$$D = (-5)^2 — 4 \cdot 3 \cdot 2 = 25 — 24 = 1$$

Дискриминант $D = 1$ положительный, следовательно, у уравнения два корня. Для нахождения корней используем формулу:

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$

Подставляем значения:

$$x_1 = \frac{-(-5) — \sqrt{1}}{2 \cdot 3} = \frac{5 — 1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \approx 0.67$$ $$x_2 = \frac{-(-5) + \sqrt{1}}{2 \cdot 3} = \frac{5 + 1}{6} = \frac{6}{6} = 1$$

Ответ: $x = 0.67; \, x = 1$.

д) $2x^2 + 4x + 1 = 0$

Для нахождения дискриминанта используем формулу:

$$D = b^2 — 4ac$$

где $a = 2$, $b = 4$, $c = 1$.

Подставляем значения:

$$D = 4^2 — 4 \cdot 2 \cdot 1 = 16 — 8 = 8$$

Дискриминант $D = 8$ положительный, следовательно, у уравнения два корня. Для нахождения корней используем формулу:

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$

Подставляем значения:

$$x_1 = \frac{-4 — \sqrt{8}}{2 \cdot 2} = \frac{-4 — 2\sqrt{2}}{4} = \frac{-2 — \sqrt{2}}{2} \approx -1.71$$ $$x_2 = \frac{-4 + \sqrt{8}}{4} = \frac{-4 + 2\sqrt{2}}{4} \approx -0.30$$

Ответ: $x = -1.71; \, x = -0.30$.

е) $4 — 4x = x^2$

Переносим все элементы на одну сторону:

$$x^2 + 4x — 4 = 0$$

Для нахождения дискриминанта используем формулу:

$$D = b^2 — 4ac$$

где $a = 1$, $b = 4$, $c = -4$.

Подставляем значения:

$$D = 4^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 16 + 16 = 32$$

Дискриминант $D = 32$ положительный, следовательно, у уравнения два корня. Для нахождения корней используем формулу:

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$

Подставляем значения:

$$x_1 = \frac{-4 — \sqrt{32}}{2} = \frac{-4 — 4\sqrt{2}}{2} = -2 — 2\sqrt{2} \approx -4.82$$ $$x_2 = \frac{-4 + \sqrt{32}}{2} = \frac{-4 + 4\sqrt{2}}{2} \approx 0.82$$

Ответ: $x = -4.82; \, x = 0.82$.