ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 443 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Подберите какое-нибудь значение $c$, при котором уравнение имеет корни, и значение $c$, при котором оно не имеет корней:

а) $x^2 — 3x + c = 0$

б) $5x^2 — 2x + c = 0$

а) $x^2 — 3x + c = 0$

$D = 9 — 4c$,
тогда, при $c = -4; 0$, уравнение имеет корни,
а при $c = 7; 10; 15$ — корней нет.

б) $5x^2 — 2x + c = 0$

$D = 4 — 4 \cdot 5c = 4 — 20c$,
тогда, при $c = -7; -3; 0$, уравнение имеет корни,
а при $c = 5; 8; 13$ — корней нет.

а) $x^2 — 3x + c = 0$

Для нахождения дискриминанта используем формулу дискриминанта для квадратного уравнения:

$$D = b^2 — 4ac$$

где $a = 1$, $b = -3$, $c$ — коэффициент, который мы подбираем.

Подставляем значения:

$$D = (-3)^2 — 4 \cdot 1 \cdot c = 9 — 4c$$

Уравнение имеет корни, если дискриминант больше либо равен нулю ($D \geq 0$). Следовательно:

$$9 — 4c \geq 0$$

Решаем неравенство:

$$9 \geq 4c \quad \text{или} \quad c \leq \frac{9}{4} = 2.25$$

Таким образом, у уравнения есть корни, если $c \leq 2.25$.

Рассмотрим конкретные значения $c$:

При $c = -4$,

$$D = 9 — 4(-4) = 9 + 16 = 25 > 0$$

Корни существуют.

При $c = 0$,

$$D = 9 — 4(0) = 9 > 0$$

Корни существуют.

При $c = 7$,

$$D = 9 — 4(7) = 9 — 28 = -19 < 0$$

Корней нет.

При $c = 10$,

$$D = 9 — 4(10) = 9 — 40 = -31 < 0$$

Корней нет.

При $c = 15$,

$$D = 9 — 4(15) = 9 — 60 = -51 < 0$$

Корней нет.

Ответ: при $c = -4, 0$ у уравнения есть корни, при $c = 7, 10, 15$ корней нет.

б) $5x^2 — 2x + c = 0$

Для нахождения дискриминанта используем формулу дискриминанта:

$$D = b^2 — 4ac$$

где $a = 5$, $b = -2$, $c$ — коэффициент, который мы подбираем.

Подставляем значения:

$$D = (-2)^2 — 4 \cdot 5 \cdot c = 4 — 20c$$

Уравнение имеет корни, если дискриминант больше либо равен нулю ($D \geq 0$):

$$4 — 20c \geq 0$$

Решаем неравенство:

$$4 \geq 20c \quad \text{или} \quad c \leq \frac{4}{20} = 0.2$$

Таким образом, у уравнения есть корни, если $c \leq 0.2$.

Рассмотрим конкретные значения $c$:

При $c = -7$,

$$D = 4 — 20(-7) = 4 + 140 = 144 > 0$$

Корни существуют.

При $c = -3$,

$$D = 4 — 20(-3) = 4 + 60 = 64 > 0$$

Корни существуют.

При $c = 0$,

$$D = 4 — 20(0) = 4 > 0$$

Корни существуют.

При $c = 5$,

$$D = 4 — 20(5) = 4 — 100 = -96 < 0$$

Корней нет.

При $c = 8$,

$$D = 4 — 20(8) = 4 — 160 = -156 < 0$$

Корней нет.

При $c = 13$,

$$D = 4 — 20(13) = 4 — 260 = -256 < 0$$

Корней нет.

Ответ: при $c = -7, -3, 0$ у уравнения есть корни, при $c = 5, 8, 13$ корней нет.