ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 442 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Вычислите дискриминант уравнения и ответьте на следующие вопросы: 1) имеет ли уравнение корни; 2) если имеет, то сколько; 3) рациональными или иррациональными числами являются корни?
а) 4x^2-12x+9=0;
б) 2x^2+3x-9=0;
в) 5x^2-x+2=0;
г) x^2+7x-1=0;
д) x^2-3x+5=0;
е) 3x^2+2x-2=0;
ж) 3x^2-11x+10=0;
з) 25x^2+10x+1=0.

а)

$$4x^2 — 12x + 9 = 0$$ $$D = (-12)^2 — 4 \cdot 4 \cdot 9 = 144 — 144 = 0 \quad \text{— один рациональный корень.}$$

б)

$$2x^2 + 3x — 9 = 0$$ $$D = 3^2 + 4 \cdot 2 \cdot 9 = 9 + 72 = 81 > 0 \quad \text{— два рациональных корня.}$$

в)

$$5x^2 — x + 2 = 0$$ $$D = (-1)^2 — 4 \cdot 5 \cdot 2 = 1 — 40 = -39 < 0 \quad \text{— корней нет.}$$

г)

$$x^2 + 7x — 1 = 0$$ $$D = 7^2 + 4 \cdot 1 \cdot 1 = 49 + 4 = 53 > 0 \quad \text{— два иррациональных корня.}$$

д)

$$x^2 — 3x + 5 = 0$$ $$D = (-3)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 5 = 9 — 20 = -11 < 0 \quad \text{— корней нет.}$$

е)

$$3x^2 + 2x — 2 = 0$$ $$D = 2^2 + 4 \cdot 3 \cdot 2 = 4 + 24 = 28 > 0 \quad \text{— два иррациональных корня.}$$

ж)

$$3x^2 — 11x + 10 = 0$$ $$D = (-11)^2 — 4 \cdot 3 \cdot 10 = 121 — 120 = 1 > 0 \quad \text{— два рациональных корня.}$$

з)

$$25x^2 + 10x + 1 = 0$$ $$D = 10^2 — 4 \cdot 25 \cdot 1 = 100 — 100 = 0 \quad \text{— один рациональный корень.}$$

а)

Уравнение:

$$4x^2 — 12x + 9 = 0$$

Шаг 1: Для нахождения корней квадратного уравнения применяем формулу для дискриминанта:

$$D = b^2 — 4ac$$

Шаг 2: В данном уравнении $a = 4$, $b = -12$, $c = 9$. Подставим эти значения в формулу для дискриминанта:

$$D = (-12)^2 — 4 \cdot 4 \cdot 9$$

Шаг 3: Выполним вычисления:

$$D = 144 — 144 = 0$$

Шаг 4: Поскольку дискриминант равен нулю ($D = 0$), у уравнения один корень.

Шаг 5: Находим корень уравнения:

$$x = \frac{-b}{2a}$$

Подставляем значения $b = -12$, $a = 4$:

$$x = \frac{12}{8} = 1.5$$

Ответ: $x = 1.5$.

б)

Уравнение:

$$2x^2 + 3x — 9 = 0$$

Шаг 1: Для нахождения корней квадратного уравнения применяем формулу для дискриминанта:

$$D = b^2 — 4ac$$

Шаг 2: В данном уравнении $a = 2$, $b = 3$, $c = -9$. Подставим эти значения в формулу для дискриминанта:

$$D = 3^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-9)$$

Шаг 3: Выполним вычисления:

$$D = 9 + 72 = 81$$

Шаг 4: Поскольку дискриминант больше нуля ($D = 81 > 0$), у уравнения два корня.

Шаг 5: Находим корни уравнения:

$$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$

Подставляем значения $b = 3$, $D = 81$, $a = 2$:

$$x_1 = \frac{-3 — 9}{4} = \frac{-12}{4} = -3, \quad x_2 = \frac{-3 + 9}{4} = \frac{6}{4} = 1.5$$

Ответ: $x = -3; \, x = 1.5$.

в)

Уравнение:

$$5x^2 — x + 2 = 0$$

Шаг 1: Для нахождения корней квадратного уравнения применяем формулу для дискриминанта:

$$D = b^2 — 4ac$$

Шаг 2: В данном уравнении $a = 5$, $b = -1$, $c = 2$. Подставим эти значения в формулу для дискриминанта:

$$D = (-1)^2 — 4 \cdot 5 \cdot 2$$

Шаг 3: Выполним вычисления:

$$D = 1 — 40 = -39$$

Шаг 4: Поскольку дискриминант меньше нуля ($D = -39 < 0$), у уравнения нет действительных корней.

Ответ: корней нет.

г)

Уравнение:

$$x^2 + 7x — 1 = 0$$

Шаг 1: Для нахождения корней квадратного уравнения применяем формулу для дискриминанта:

$$D = b^2 — 4ac$$

Шаг 2: В данном уравнении $a = 1$, $b = 7$, $c = -1$. Подставим эти значения в формулу для дискриминанта:

$$D = 7^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-1)$$

Шаг 3: Выполним вычисления:

$$D = 49 + 4 = 53$$

Шаг 4: Поскольку дискриминант больше нуля ($D = 53 > 0$), у уравнения два корня, которые будут иррациональными (так как дискриминант не является полным квадратом).

Шаг 5: Находим корни уравнения:

$$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$

Подставляем значения $b = 7$, $D = 53$, $a = 1$:

$$x_1 = \frac{-7 — \sqrt{53}}{2}, \quad x_2 = \frac{-7 + \sqrt{53}}{2}$$

Ответ: $x = \frac{-7 \pm \sqrt{53}}{2}$.

д)

Уравнение:

$$x^2 — 3x + 5 = 0$$

Шаг 1: Для нахождения корней квадратного уравнения применяем формулу для дискриминанта:

$$D = b^2 — 4ac$$

Шаг 2: В данном уравнении $a = 1$, $b = -3$, $c = 5$. Подставим эти значения в формулу для дискриминанта:

$$D = (-3)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 5$$

Шаг 3: Выполним вычисления:

$$D = 9 — 20 = -11$$

Шаг 4: Поскольку дискриминант меньше нуля ($D = -11 < 0$), у уравнения нет действительных корней.

Ответ: корней нет.

е)

Уравнение:

$$3x^2 + 2x — 2 = 0$$

Шаг 1: Для нахождения корней квадратного уравнения применяем формулу для дискриминанта:

$$D = b^2 — 4ac$$

Шаг 2: В данном уравнении $a = 3$, $b = 2$, $c = -2$. Подставим эти значения в формулу для дискриминанта:

$$D = 2^2 — 4 \cdot 3 \cdot (-2)$$

Шаг 3: Выполним вычисления:

$$D = 4 + 24 = 28$$

Шаг 4: Поскольку дискриминант больше нуля ($D = 28 > 0$), у уравнения два корня, которые будут иррациональными (так как дискриминант не является полным квадратом).

Шаг 5: Находим корни уравнения:

$$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$

Подставляем значения $b = 2$, $D = 28$, $a = 3$:

$$x_1 = \frac{-2 — \sqrt{28}}{6}, \quad x_2 = \frac{-2 + \sqrt{28}}{6}$$

Ответ: $x = \frac{-2 \pm \sqrt{28}}{6}$.

ж)

Уравнение:

$$3x^2 — 11x + 10 = 0$$

Шаг 1: Для нахождения корней квадратного уравнения применяем формулу для дискриминанта:

$$D = b^2 — 4ac$$

Шаг 2: В данном уравнении $a = 3$, $b = -11$, $c = 10$. Подставим эти значения в формулу для дискриминанта:

$$D = (-11)^2 — 4 \cdot 3 \cdot 10$$

Шаг 3: Выполним вычисления:

$$D = 121 — 120 = 1$$

Шаг 4: Поскольку дискриминант больше нуля ($D = 1 > 0$), у уравнения два рациональных корня.

Шаг 5: Находим корни уравнения:

$$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$

Подставляем значения $b = -11$, $D = 1$, $a = 3$:

$$x_1 = \frac{11 — 1}{6} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}, \quad x_2 = \frac{11 + 1}{6} = \frac{12}{6} = 2$$

Ответ: $x = \frac{5}{3}; \, x = 2$.

з)

Уравнение:

$$25x^2 + 10x + 1 = 0$$

Шаг 1: Для нахождения корней квадратного уравнения применяем формулу для дискриминанта:

$$D = b^2 — 4ac$$

Шаг 2: В данном уравнении $a = 25$, $b = 10$, $c = 1$. Подставим эти значения в формулу для дискриминанта:

$$D = 10^2 — 4 \cdot 25 \cdot 1$$

Шаг 3: Выполним вычисления:

$$D = 100 — 100 = 0$$

Шаг 4: Поскольку дискриминант равен нулю ($D = 0$), у уравнения один корень.

Шаг 5: Находим корень уравнения:

$$x = \frac{-b}{2a}$$

Подставляем значения $b = 10$, $a = 25$:

$$x = \frac{-10}{50} = -\frac{1}{5}$$

Ответ: $x = -\frac{1}{5}$.