ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 442 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Вычислите дискриминант уравнения и ответьте на следующие вопросы: 1) имеет ли уравнение корни; 2) если имеет, то сколько; 3) рациональными или иррациональными числами являются корни?

а) $4x^2 — 12x + 9 = 0$

б) $2x^2 + 3x — 9 = 0$

в) $5x^2 — x + 2 = 0$

г) $x^2 + 7x — 1 = 0$

д) $x^2 — 3x + 5 = 0$

е) $3x^2 + 2x — 2 = 0$

ж) $3x^2 — 11x + 10 = 0$

з) $25x^2 + 10x + 1 = 0$

а)

$$4x^2-12x+9=0$$$$D=(-12{)}^2-4\cdot 4\cdot 9=144-144=0\text{— один рациональный корень.}$$

б)

$$2x^2+3x-9=0$$$$D=3^2+4\cdot 2\cdot 9=9+72=81>0\text{— два рациональных корня.}$$

в)

$$5x^2-x+2=0$$$$D=(-1{)}^2-4\cdot 5\cdot 2=1-40=-39<0\text{— корней нет.}$$

г)

$$x^2+7x-1=0$$$$D=7^2+4\cdot 1\cdot 1=49+4=53>0\text{— два иррациональных корня.}$$

д)

$$x^2-3x+5=0$$$$D=(-3{)}^2-4\cdot 1\cdot 5=9-20=-11<0\text{— корней нет.}$$

е)

$$3x^2+2x-2=0$$$$D=2^2+4\cdot 3\cdot 2=4+24=28>0\text{— два иррациональных корня.}$$

ж)

$$3x^2-11x+10=0$$$$D=(-11{)}^2-4\cdot 3\cdot 10=121-120=1>0\text{— два рациональных корня.}$$

з)

$$25x^2+10x+1=0$$$$D={10}^2-4\cdot 25\cdot 1=100-100=0\text{— один рациональный корень.}$$

а) Уравнение $4x^2 — 12x + 9 = 0$.

Для нахождения дискриминанта используем формулу:

$$D = b^2 — 4ac$$

где $a = 4$, $b = -12$, $c = 9$.

Подставляем значения:

$$D = (-12)^2 — 4 \cdot 4 \cdot 9 = 144 — 144 = 0$$

Поскольку дискриминант равен нулю, уравнение имеет один корень, который является рациональным. Для нахождения корней используем формулу для корней квадратного уравнения:

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$

Подставляем значения:

$$x = \frac{-(-12) \pm \sqrt{0}}{2 \cdot 4} = \frac{12 \pm 0}{8} = \frac{12}{8} = 1.5$$

Ответ: один рациональный корень $x = 1.5$.

б) Уравнение $2x^2 + 3x — 9 = 0$.

Для нахождения дискриминанта используем формулу:

$$D = b^2 — 4ac$$

где $a = 2$, $b = 3$, $c = -9$.

Подставляем значения:

$$D = 3^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-9) = 9 + 72 = 81$$

Поскольку дискриминант положителен, у уравнения два корня. Для нахождения корней используем формулу:

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$

Подставляем значения:

$$x_1=\frac{-3-\sqrt{81}}{2\cdot 2}=\frac{-3-9}{4}=\frac{-12}{4}=-3$$

$$x_1 = \frac{-3 — \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 — 9}{4} = \frac{-12}{4} = -3$$ $$x_2 = \frac{-3 + \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 + 9}{4} = \frac{6}{4} = 1.5$$

Ответ: два рациональных корня $x = -3$ и $x = 1.5$.

в) Уравнение $5x^2 — x + 2 = 0$.

Для нахождения дискриминанта используем формулу:

$$D = b^2 — 4ac$$

где $a = 5$, $b = -1$, $c = 2$.

Подставляем значения:

$$D = (-1)^2 — 4 \cdot 5 \cdot 2 = 1 — 40 = -39$$

Поскольку дискриминант отрицателен, у уравнения нет корней.

Ответ: корней нет.

г) Уравнение $x^2 + 7x — 1 = 0$.

Для нахождения дискриминанта используем формулу:

$$D = b^2 — 4ac$$

где $a = 1$, $b = 7$, $c = -1$.

Подставляем значения:

$$D = 7^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 49 + 4 = 53$$

Поскольку дискриминант положителен, у уравнения два корня. Для нахождения корней используем формулу:

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$

Подставляем значения:

$$x_1 = \frac{-7 — \sqrt{53}}{2 \cdot 1} = \frac{-7 — \sqrt{53}}{2}$$ $$x_2 = \frac{-7 + \sqrt{53}}{2 \cdot 1} = \frac{-7 + \sqrt{53}}{2}$$

Ответ: два иррациональных корня.

д) Уравнение $x^2 — 3x + 5 = 0$.

Для нахождения дискриминанта используем формулу:

$$D = b^2 — 4ac$$

где $a = 1$, $b = -3$, $c = 5$.

Подставляем значения:

$$D = (-3)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 5 = 9 — 20 = -11$$

Поскольку дискриминант отрицателен, у уравнения нет корней.

Ответ: корней нет.

е) Уравнение $3x^2 + 2x — 2 = 0$.

Для нахождения дискриминанта используем формулу:

$$D = b^2 — 4ac$$

где $a = 3$, $b = 2$, $c = -2$.

Подставляем значения:

$$D = 2^2 — 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 4 + 24 = 28$$

Поскольку дискриминант положителен, у уравнения два корня. Для нахождения корней используем формулу:

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$

Подставляем значения:

$$x_1 = \frac{-2 — \sqrt{28}}{2 \cdot 3} = \frac{-2 — \sqrt{28}}{6}$$ $$x_2 = \frac{-2 + \sqrt{28}}{2 \cdot 3} = \frac{-2 + \sqrt{28}}{6}$$

Ответ: два иррациональных корня.

ж) Уравнение $3x^2 — 11x + 10 = 0$.

Для нахождения дискриминанта используем формулу:

$$D = b^2 — 4ac$$

где $a = 3$, $b = -11$, $c = 10$.

Подставляем значения:

$$D = (-11)^2 — 4 \cdot 3 \cdot 10 = 121 — 120 = 1$$

Поскольку дискриминант положителен, у уравнения два корня. Для нахождения корней используем формулу:

$$x_1=\frac{-(-11)-\sqrt{1}}{2\cdot 3}=\frac{11-1}{6}=\frac{10}{6}=\frac{5}{3}$$

$$x_1 = \frac{-(-11) — \sqrt{1}}{2 \cdot 3} = \frac{11 — 1}{6} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}$$ $$x_2 = \frac{-(-11) + \sqrt{1}}{2 \cdot 3} = \frac{11 + 1}{6} = \frac{12}{6} = 2$$

Ответ: два рациональных корня $x = \frac{5}{3}$ и $x = 2$.

з) Уравнение $25x^2 + 10x + 1 = 0$.

Для нахождения дискриминанта используем формулу:

$$D = b^2 — 4ac$$

где $a = 25$, $b = 10$, $c = 1$.

Подставляем значения:

$$D = 10^2 — 4 \cdot 25 \cdot 1 = 100 — 100 = 0$$

Поскольку дискриминант равен нулю, у уравнения один корень, который является рациональным. Для нахождения корней используем формулу:

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$

Подставляем значения:

$$x = \frac{-10 \pm \sqrt{0}}{2 \cdot 25} = \frac{-10}{50} = -\frac{1}{5}$$

Ответ: один рациональный корень $x = -\frac{1}{5}$.