ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 435 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Вычислив дискриминант, определите, имеет ли уравнение корни и сколько:
а) x^2+7x-18=0;
б) a^2+a+6=0;
в) 4x^2-4x+1=0;
г) 5y^2-3y+2=0;
д) 9x^2+12x+4=0;
е) z^2-z-3=0.

а)

$$x^2 + 7x — 18 = 0$$ $$D = 7^2 + 4 \cdot 18 = 49 + 72 = 121 > 0 \quad \text{— два корня.}$$

б)

$$a^2 + a + 6 = 0$$ $$D = 1^2 — 4 \cdot 6 = 1 — 24 = -23 < 0 \quad \text{— корней нет.}$$

в)

$$4x^2 — 4x + 1 = 0$$ $$D = (-4)^2 — 4 \cdot 4 \cdot 1 = 16 — 16 = 0 \quad \text{— один корень.}$$

г)

$$5y^2 — 3y + 2 = 0$$ $$D = (-3)^2 — 4 \cdot 5 \cdot 2 = 9 — 40 = -31 < 0 \quad \text{— корней нет.}$$

д)

$$9x^2 + 12x + 4 = 0$$ $$D = 12^2 — 4 \cdot 9 \cdot 4 = 144 — 144 = 0 \quad \text{— один корень.}$$

е)

$$z^2 — z — 3 = 0$$ $$D = (-1)^2 + 4 \cdot 3 = 1 + 12 = 13 > 0 \quad \text{— два корня.}$$

а)

Уравнение:

$$x^2 + 7x — 18 = 0$$

Шаг 1: Для нахождения корней квадратного уравнения применим дискриминант. Дискриминант для уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$ вычисляется по формуле:

$$D = b^2 — 4ac$$

Шаг 2: В данном уравнении $a = 1$, $b = 7$, $c = -18$. Подставим эти значения в формулу для дискриминанта:

$$D = 7^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-18)$$

Шаг 3: Выполним вычисления:

$$D = 49 + 72 = 121$$

Шаг 4: Поскольку дискриминант больше нуля ($D = 121 > 0$), у уравнения два корня.

Ответ: два корня.

б)

Уравнение:

$$a^2 + a + 6 = 0$$

Шаг 1: Для нахождения корней квадратного уравнения применим дискриминант:

$$D = b^2 — 4ac$$

Шаг 2: В данном уравнении $a = 1$, $b = 1$, $c = 6$. Подставим эти значения в формулу для дискриминанта:

$$D = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot 6$$

Шаг 3: Выполним вычисления:

$$D = 1 — 24 = -23$$

Шаг 4: Поскольку дискриминант меньше нуля ($D = -23 < 0$), у уравнения нет действительных корней.

Ответ: корней нет.

в)

Уравнение:

$$4x^2 — 4x + 1 = 0$$

Шаг 1: Для нахождения корней квадратного уравнения применим дискриминант:

$$D = b^2 — 4ac$$

Шаг 2: В данном уравнении $a = 4$, $b = -4$, $c = 1$. Подставим эти значения в формулу для дискриминанта:

$$D = (-4)^2 — 4 \cdot 4 \cdot 1$$

Шаг 3: Выполним вычисления:

$$D = 16 — 16 = 0$$

Шаг 4: Поскольку дискриминант равен нулю ($D = 0$), у уравнения один корень, который можно найти по формуле:

$$x = \frac{-b}{2a}$$

Подставим значения $b = -4$ и $a = 4$:

$$x = \frac{-(-4)}{2 \cdot 4} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$$

Ответ: один корень $x = \frac{1}{2}$.

г)

Уравнение:

$$5y^2 — 3y + 2 = 0$$

Шаг 1: Для нахождения корней квадратного уравнения применим дискриминант:

$$D = b^2 — 4ac$$

Шаг 2: В данном уравнении $a = 5$, $b = -3$, $c = 2$. Подставим эти значения в формулу для дискриминанта:

$$D = (-3)^2 — 4 \cdot 5 \cdot 2$$

Шаг 3: Выполним вычисления:

$$D = 9 — 40 = -31$$

Шаг 4: Поскольку дискриминант меньше нуля ($D = -31 < 0$), у уравнения нет действительных корней.

Ответ: корней нет.

д)

Уравнение:

$$9x^2 + 12x + 4 = 0$$

Шаг 1: Для нахождения корней квадратного уравнения применим дискриминант:

$$D = b^2 — 4ac$$

Шаг 2: В данном уравнении $a = 9$, $b = 12$, $c = 4$. Подставим эти значения в формулу для дискриминанта:

$$D = 12^2 — 4 \cdot 9 \cdot 4$$

Шаг 3: Выполним вычисления:

$$D = 144 — 144 = 0$$

Шаг 4: Поскольку дискриминант равен нулю ($D = 0$), у уравнения один корень, который можно найти по формуле:

$$x = \frac{-b}{2a}$$

Подставим значения $b = 12$ и $a = 9$:

$$x = \frac{-12}{2 \cdot 9} = \frac{-12}{18} = -\frac{2}{3}$$

Ответ: один корень $x = -\frac{2}{3}$.

е)

Уравнение:

$$z^2 — z — 3 = 0$$

Шаг 1: Для нахождения корней квадратного уравнения применим дискриминант:

$$D = b^2 — 4ac$$

Шаг 2: В данном уравнении $a = 1$, $b = -1$, $c = -3$. Подставим эти значения в формулу для дискриминанта:

$$D = (-1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-3)$$

Шаг 3: Выполним вычисления:

$$D = 1 + 12 = 13$$

Шаг 4: Поскольку дискриминант больше нуля ($D = 13 > 0$), у уравнения два корня. Для нахождения корней используем формулу:

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$

Подставим значения $b = -1$, $D = 13$, $a = 1$:

$$x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{13}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{2}$$

Ответ: два корня $x = \frac{1 + \sqrt{13}}{2}$ и $x = \frac{1 — \sqrt{13}}{2}$.