ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 434 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Покажите, что:

а) Числа $m$ и $n$ являются корнями уравнения

$$x^2 — (m + n)x + mn = 0.$$

б) Числа $m + n$ и $m — n$ являются корнями уравнения

$$x^2 — 2mx + m^2 — n^2 = 0.$$

Составьте уравнения такого вида, подставив вместо $m$ и $n$ конкретные числа, и укажите корни каждого составленного уравнения.

а)

$$x^2-(m+n)x+mn=0,x=m\text{ и }x=n;$$

$$$$$$m^2-(m+n)m+mn=0$$

$$$$$$m^2-m^2-mn+mn=0$$

$$$$$$n^2-(m+n)n+mn=0$$

$$$$$$n^2-mn-n^2+mn=0$$

$$$$$$0=0\text{— корень уравнения.}$$

Пусть $m=3$; $n=4$:

$$x^2-(3+4)x+3\cdot 4=0$$

$$$$$$x^2-7x+12=0$$

$$$$$$x=3;x=4.$$

б)

$$x^2-2mx+m^2-n^2=0,x=m+n\text{ и }x=m-n;$$

$$$$$$(m+n{)}^2-2m(m+n)+m^2-n^2=0$$

$$$$$$m^2+2mn+n^2-2m^2-2mn+m^2-n^2=0$$

$$$$$$0=0\text{— корень уравнения.}$$

$$$$$$(m-n{)}^2-2m(m-n)+m^2-n^2=0$$

$$$$$$m^2-2mn+n^2-2m^2+2mn+m^2-n^2=0$$

$$$$$$0=0\text{— корень уравнения.}$$

Пусть $m=4$; $n=3$, тогда: $m+n=7$; $m-n=1$;

$$x^2-2\cdot 4x+4^2-3^2=0$$

$$$$$$x^2-8x+16-9=0$$

$$$$$$x^2-8x+7=0$$

$$$$$$x=1;x=7.$$

а)

Уравнение:

$$x^2-(m+n)x+mn=0,x=m\text{ и }x=n;$$

Шаг 1: Начнем с того, что выразим уравнение в разложенной форме:

$$x^2-(m+n)x+mn=0$$

Это уравнение квадратное и имеет вид стандартного уравнения второй степени $a{x}^2+bx+c=0$, где $a=1$, $b=-(m+n)$, и $c=mn$.

Шаг 2: Проверим, что $x=m$ и $x=n$ являются корнями этого уравнения, подставив их в уравнение.

Подставим $x=m$:

$$m^2-(m+n)m+mn=0$$

Раскроем скобки:

$$m^2-m^2-mn+mn=0$$

Получаем:

$$0=0$$

Таким образом, $x=m$ является корнем уравнения.

Подставим $x=n$:

$$n^2-(m+n)n+mn=0$$

Раскроем скобки:

$$n^2-mn-n^2+mn=0$$

Получаем:

$$0=0$$

Таким образом, $x=n$ также является корнем уравнения.

Шаг 3: Проверим пример, подставив конкретные значения для $m$ и $n$. Пусть $m=3$ и $n=4$:

Подставим значения в уравнение:

$$x^2-(3+4)x+3\cdot 4=0$$

Упростим:

$$x^2-7x+12=0$$

Шаг 4: Найдем корни этого уравнения. Для этого используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

$$x=\frac{-(-7)\pm \sqrt{(-7{)}^2-4\cdot 1\cdot 12}}{2\cdot 1}$$$$x=\frac{7\pm \sqrt{49-48}}{2}$$$$x=\frac{7\pm \sqrt{1}}{2}$$$$x=\frac{7\pm 1}{2}$$

Шаг 5: Получаем два корня:

$$x=\frac{7+1}{2}=4,x=\frac{7-1}{2}=3$$

Ответ: $x=3$; $x=4$.

б)

Уравнение:

$$x^2-2mx+m^2-n^2=0,x=m+n\text{ и }x=m-n;$$

Шаг 1: Начнем с того, что преобразуем первое уравнение:

$$(m+n{)}^2-2m(m+n)+m^2-n^2=0$$

Шаг 2: Раскроем скобки и упростим:

$$(m+n{)}^2=m^2+2mn+n^2$$$$-2m(m+n)=-2m^2-2mn$$

Получаем:

$$m^2+2mn+n^2-2m^2-2mn+m^2-n^2=0$$

Шаг 3: Упростим выражение:

$$m^2-m^2+m^2-2m^2+2mn-2mn+n^2-n^2=0$$

Получаем:

$$0=0$$

Таким образом, $x=m+n$ является корнем уравнения.

Шаг 4: Теперь рассмотрим второе уравнение:

$$(m-n{)}^2-2m(m-n)+m^2-n^2=0$$

Шаг 5: Раскроем скобки:

$$(m-n{)}^2=m^2-2mn+n^2$$$$-2m(m-n)=-2m^2+2mn$$

Получаем:

$$m^2-2mn+n^2-2m^2+2mn+m^2-n^2=0$$

Шаг 6: Упростим выражение:

$$m^2-2m^2+m^2-2mn+2mn+n^2-n^2=0$$

Получаем:

$$0=0$$

Таким образом, $x=m-n$ является корнем уравнения.

Шаг 7: Подставим конкретные значения для $m=4$ и $n=3$:

Пусть $m+n=7$ и $m-n=1$.

Подставим значения в уравнение:

$$x^2-2\cdot 4x+4^2-3^2=0$$

Упростим:

$$x^2-8x+16-9=0$$

$$$$$$x^2-8x+7=0$$

Шаг 8: Найдем корни этого уравнения. Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

$$x=\frac{-(-8)\pm \sqrt{(-8{)}^2-4\cdot 1\cdot 7}}{2\cdot 1}$$$$x=\frac{8\pm \sqrt{64-28}}{2}$$$$x=\frac{8\pm \sqrt{36}}{2}$$$$x=\frac{8\pm 6}{2}$$

Шаг 9: Получаем два корня:

$$x=\frac{8+6}{2}=7,x=\frac{8-6}{2}=1$$

Ответ: $x=1$; $x=7$.