ГДЗ по Алгебре 8 Класс Учебник 📕 Дорофеев, Суворова — Все Части

Алгебра

8 класс учебник Дорофеев

8 класс

Тип

ГДЗ, Решебник.

Авторы

Дорофеев Г.В., Шарыгин И.Ф., Суворова С.Б. и др.

Год

2022.

Издательство

Просвещение.

Описание

Учебник по Алгебре для 8-го класса авторов Дорофеева и Суворова — это современное и продуманное пособие, которое помогает школьникам не только освоить базовые математические понятия, но и развить логическое мышление и умение применять знания на практике. Книга построена так, чтобы учебный материал был доступен и интересен даже тем, кто раньше испытывал трудности с математикой.

Что выделяет этот учебник среди других:

Понятное изложение материала. Каждая тема объясняется простым и доступным языком, что облегчает понимание даже сложных понятий.
Большое количество примеров и задач. Учебник предлагает разнообразные упражнения — от простых до более сложных, что помогает закрепить пройденный материал.
Интерактивный подход. В книге есть задания, которые побуждают учеников к самостоятельному поиску решений и развитию творческого мышления.
Связь с реальной жизнью. Многие задачи связаны с практическими ситуациями, что делает математику более живой и понятной.
Разнообразие форм подачи информации. Здесь используются таблицы, схемы, иллюстрации, что помогает лучше усваивать материал и удерживать внимание учащихся.

ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 434 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Задача

Покажите, что:
а) числа m и n являются корнями уравнения x^2-(m+n)x+mn=0;
б) числа m+n и m-n являются корнями уравнения x^2-2mx+m^2-n^2=0.
Сократите уравнение такого вида, подставив вместо m и n конкретные числа, и укажите корни каждого составленного уравнения.

Краткий ответ:

а)

$x^{2} - (m + n) x + m n = 0, x = m и x = n;$

$x^2 — (m + n)x + mn = 0, \quad x = m \text{ и } x = n;$ $m^{2} - (m + n) m + m n = 0$

$m^2 — (m + n)m + mn = 0$ $m^{2} - m^{2} - m n + m n = 0$

$m^2 — m^2 — mn + mn = 0$ $n^{2} - (m + n) n + m n = 0$

$n^2 — (m + n)n + mn = 0$ $n^{2} - m n - n^{2} + m n = 0$

$n^2 — mn — n^2 + mn = 0$ $0 = 0 \quad \text{— корень уравнения.}$

Пусть $m = 3$ ; $n = 4$ :

$x^{2} - (3 + 4) x + 3 \cdot 4 = 0$

$x^2 — (3 + 4)x + 3 \cdot 4 = 0$ $x^{2} - 7 x + 12 = 0$

$x^2 — 7x + 12 = 0$ $x = 3; \, x = 4.$

б)

$x^{2} - 2 m x + m^{2} - n^{2} = 0, x = m + n и x = m - n;$

$x^2 — 2mx + m^2 — n^2 = 0, \quad x = m + n \text{ и } x = m — n;$ $(m + n)^{2} - 2 m (m + n) + m^{2} - n^{2} = 0$

$(m + n)^2 — 2m(m + n) + m^2 — n^2 = 0$ $m^{2} + 2 m n + n^{2} - 2 m^{2} - 2 m n + m^{2} - n^{2} = 0$

$m^2 + 2mn + n^2 — 2m^2 — 2mn + m^2 — n^2 = 0$ $0 = 0 — корень уравнения.$

$0 = 0 \quad \text{— корень уравнения.}$ $(m - n)^{2} - 2 m (m - n) + m^{2} - n^{2} = 0$

$(m — n)^2 — 2m(m — n) + m^2 — n^2 = 0$ $m^{2} - 2 m n + n^{2} - 2 m^{2} + 2 m n + m^{2} - n^{2} = 0$

$m^2 — 2mn + n^2 — 2m^2 + 2mn + m^2 — n^2 = 0$ $0 = 0 \quad \text{— корень уравнения.}$

Пусть $m = 4$ ; $n = 3$ , тогда: $m + n = 7$ ; $m — n = 1$ ;

$x^{2} - 2 \cdot 4 x + 4^{2} - 3^{2} = 0$

$x^2 — 2 \cdot 4x + 4^2 — 3^2 = 0$ $x^{2} - 8 x + 16 - 9 = 0$

$x^2 — 8x + 16 — 9 = 0$ $x^{2} - 8 x + 7 = 0$

$x^2 — 8x + 7 = 0$ $x = 1; \, x = 7.$

Подробный ответ:

а)

Уравнение:

$x^2 — (m + n)x + mn = 0, \quad x = m \text{ и } x = n;$

Шаг 1: Начнем с того, что выразим уравнение в разложенной форме:

$x^2 — (m + n)x + mn = 0$

Это уравнение квадратное и имеет вид стандартного уравнения второй степени $ax^2 + bx + c = 0$ , где $a = 1$ , $b = -(m + n)$ , и $c = mn$ .

Шаг 2: Проверим, что $x = m$ и $x = n$ являются корнями этого уравнения, подставив их в уравнение.

Подставим $x = m$ :

$m^2 — (m + n)m + mn = 0$

Раскроем скобки:

$m^2 — m^2 — mn + mn = 0$

Получаем:

$0 = 0$

Таким образом, $x = m$ является корнем уравнения.

Подставим $x = n$ :

$n^2 — (m + n)n + mn = 0$

Раскроем скобки:

$n^2 — mn — n^2 + mn = 0$

Получаем:

$0 = 0$

Таким образом, $x = n$ также является корнем уравнения.

Шаг 3: Проверим пример, подставив конкретные значения для $m$ и $n$ . Пусть $m = 3$ и $n = 4$ :

Подставим значения в уравнение:

$x^2 — (3 + 4)x + 3 \cdot 4 = 0$

Упростим:

$x^2 — 7x + 12 = 0$

Шаг 4: Найдем корни этого уравнения. Для этого используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

$x = \frac{-(-7) \pm \sqrt{(-7)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$ $x = \frac{7 \pm \sqrt{49 — 48}}{2}$ $x = \frac{7 \pm \sqrt{1}}{2}$ $x = \frac{7 \pm 1}{2}$

Шаг 5: Получаем два корня:

$x = \frac{7 + 1}{2} = 4, \quad x = \frac{7 — 1}{2} = 3$

Ответ: $x = 3$ ; $x = 4$ .

б)

Уравнение:

$x^2 — 2mx + m^2 — n^2 = 0, \quad x = m + n \text{ и } x = m — n;$

Шаг 1: Начнем с того, что преобразуем первое уравнение:

$(m + n)^2 — 2m(m + n) + m^2 — n^2 = 0$

Шаг 2: Раскроем скобки и упростим:

$(m + n)^2 = m^2 + 2mn + n^2$ $-2m(m + n) = -2m^2 — 2mn$

Получаем:

$m^2 + 2mn + n^2 — 2m^2 — 2mn + m^2 — n^2 = 0$

Шаг 3: Упростим выражение:

$m^2 — m^2 + m^2 — 2m^2 + 2mn — 2mn + n^2 — n^2 = 0$

Получаем:

$0 = 0$

Таким образом, $x = m + n$ является корнем уравнения.

Шаг 4: Теперь рассмотрим второе уравнение:

$(m — n)^2 — 2m(m — n) + m^2 — n^2 = 0$

Шаг 5: Раскроем скобки:

$(m — n)^2 = m^2 — 2mn + n^2$ $-2m(m — n) = -2m^2 + 2mn$

Получаем:

$m^2 — 2mn + n^2 — 2m^2 + 2mn + m^2 — n^2 = 0$

Шаг 6: Упростим выражение:

$m^2 — 2m^2 + m^2 — 2mn + 2mn + n^2 — n^2 = 0$

Получаем:

$0 = 0$

Таким образом, $x = m — n$ является корнем уравнения.

Шаг 7: Подставим конкретные значения для $m = 4$ и $n = 3$ :

Пусть $m + n = 7$ и $m — n = 1$ .

Подставим значения в уравнение:

$x^2 — 2 \cdot 4x + 4^2 — 3^2 = 0$

Упростим:

$x^{2} - 8 x + 16 - 9 = 0$

$x^2 — 8x + 16 — 9 = 0$ $x^2 — 8x + 7 = 0$

Шаг 8: Найдем корни этого уравнения. Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

$x = \frac{-(-8) \pm \sqrt{(-8)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 7}}{2 \cdot 1}$ $x = \frac{8 \pm \sqrt{64 — 28}}{2}$ $x = \frac{8 \pm \sqrt{36}}{2}$ $x = \frac{8 \pm 6}{2}$

Шаг 9: Получаем два корня:

$x = \frac{8 + 6}{2} = 7, \quad x = \frac{8 — 6}{2} = 1$

Ответ: $x = 1$ ; $x = 7$ .

Оцени решение

← Предыдущий Следующий →

Сообщить об ошибке

Алгебра