ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 432 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Составьте какое-нибудь квадратное уравнение, которое:
а) не имеет корней;
б) имеет два целых корня;
в) имеет два иррациональных корня;
г) имеет один корень.

а)

$$x^2-5x+7=0$$

$$x^2 — 5x + 7 = 0$$ $$x^2-2\cdot \frac{5}{2}x+\frac{25}{4}-\frac{25}{4}+7=0$$

$$x^2 — 2 \cdot \frac{5}{2}x + \frac{25}{4} — \frac{25}{4} + 7 = 0$$ $${(x-\frac{5}{2})}^2+7-\frac{25}{4}=0$$

$$\left(x — \frac{5}{2}\right)^2 + 7 — \frac{25}{4} = 0$$ $${(x-\frac{5}{2})}^2+\frac{28}{4}-\frac{25}{4}=0$$

$$\left(x — \frac{5}{2}\right)^2 + \frac{28}{4} — \frac{25}{4} = 0$$ $${(x-\frac{5}{2})}^2+\frac{3}{4}=0$$

$$\left(x — \frac{5}{2}\right)^2 + \frac{3}{4} = 0$$ $$\left(x — \frac{5}{2}\right)^2 = -\frac{3}{4} < 0$$

Ответ: корней нет.

б)

$$x^2+2x-35=0$$

$$x^2 + 2x — 35 = 0$$ $$x^2+2x+1-1-35=0$$

$$x^2 + 2x + 1 — 1 — 35 = 0$$ $$(x+1{)}^2-36=0$$

$$(x + 1)^2 — 36 = 0$$ $$(x+1{)}^2=36$$

$$(x + 1)^2 = 36$$ $$x+1=6,x+1=-6$$

$$x + 1 = 6, \quad x + 1 = -6$$ $$x = 5, \quad x = -7.$$

Ответ: $x = -7; \, x = 5.$

в)

$$x^2-2x-1=0$$

$$x^2 — 2x — 1 = 0$$ $$x^2-2x+1-1-1=0$$

$$x^2 — 2x + 1 — 1 — 1 = 0$$ $$(x-1{)}^2-2=0$$

$$(x — 1)^2 — 2 = 0$$ $$(x-1{)}^2=2$$

$$(x — 1)^2 = 2$$ $$x-1=\sqrt{2},x-1=-\sqrt{2}$$

$$x — 1 = \sqrt{2}, \quad x — 1 = -\sqrt{2}$$ $$x = 1 + \sqrt{2}, \quad x = 1 — \sqrt{2}.$$

Ответ: $x = 1 \pm \sqrt{2}.$

г)

$$(x+9{)}^2=0$$

$$(x + 9)^2 = 0$$ $$x+9=0$$

$$x + 9 = 0$$ $$x = -9.$$

Ответ: $x = -9.$

а)

Уравнение:

$$x^2 — 5x + 7 = 0$$

Шаг 1: Применим метод выделения полного квадрата. Начнем с того, что приведем к стандартному виду с коэффициентом перед $x^2$ равным 1.

У нас есть уравнение:

$$x^2 — 5x + 7 = 0$$

Шаг 2: Для выделения полного квадрата добавим и вычтем нужное число. Половина от коэффициента при $x$ равна $-\frac{5}{2}$. Возводим его в квадрат:

$$\left(\frac{5}{2}\right)^2 = \frac{25}{4}$$

Теперь уравнение станет таким:

$$x^2 — 5x + \frac{25}{4} — \frac{25}{4} + 7 = 0$$

Шаг 3: Преобразуем и упростим выражение:

$$\left(x — \frac{5}{2}\right)^2 — \frac{25}{4} + 7 = 0$$

Переведем $7$ в дробь с общим знаменателем:

$$7 = \frac{28}{4}$$

Таким образом, уравнение примет вид:

$$\left(x — \frac{5}{2}\right)^2 + \frac{28}{4} — \frac{25}{4} = 0$$

Шаг 4: Приведем дроби:

$$\left(x — \frac{5}{2}\right)^2 + \frac{3}{4} = 0$$

Шаг 5: Изолируем квадратный член:

$$\left(x — \frac{5}{2}\right)^2 = -\frac{3}{4}$$

Однако квадрат числа всегда неотрицателен, и мы не можем иметь отрицательное значение для квадрата. Это означает, что у данного уравнения нет решений.

Ответ: корней нет.

б)

Уравнение:

$$x^2 + 2x — 35 = 0$$

Шаг 1: Применяем метод выделения полного квадрата. Начнем с того, что добавим и вычтем нужное число. Половина от коэффициента при $x$ равна $\frac{2}{2} = 1$, и его квадрат:

$$1^2 = 1$$

Шаг 2: Теперь уравнение можно переписать так:

$$x^2 + 2x + 1 — 1 — 35 = 0$$

Шаг 3: Преобразуем:

$$(x + 1)^2 — 36 = 0$$

Шаг 4: Переносим $-36$ в правую часть уравнения:

$$(x + 1)^2 = 36$$

Шаг 5: Теперь решаем для $x$:

$$x + 1 = 6 \quad \text{или} \quad x + 1 = -6$$

Шаг 6: Из каждого из уравнений получаем два корня:

$$x = 5 \quad \text{или} \quad x = -7$$

Ответ: $x = -7; \, x = 5.$

в)

Уравнение:

$$x^2 — 2x — 1 = 0$$

Шаг 1: Применяем метод выделения полного квадрата. Добавляем и вычитаем квадрат половины коэффициента при $x$. Половина от $-2$ равна $-1$, и его квадрат:

$$(-1)^2 = 1$$

Шаг 2: Теперь уравнение можно переписать:

$$x^2 — 2x + 1 — 1 — 1 = 0$$

Шаг 3: Преобразуем:

$$(x — 1)^2 — 2 = 0$$

Шаг 4: Переносим $-2$ в правую часть:

$$(x — 1)^2 = 2$$

Шаг 5: Решаем для $x$:

$$x — 1 = \sqrt{2} \quad \text{или} \quad x — 1 = -\sqrt{2}$$

Шаг 6: Из каждого уравнения получаем два корня:

$$x = 1 + \sqrt{2} \quad \text{или} \quad x = 1 — \sqrt{2}$$

Ответ: $x = 1 \pm \sqrt{2}.$

г)

Уравнение:

$$(x + 9)^2 = 0$$

Шаг 1: Извлекаем квадратный корень из обеих сторон:

$$x + 9 = 0$$

Шаг 2: Решаем для $x$:

$$x = -9$$

Ответ: $x = -9.$