ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 43 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Учащиеся выполняли задания на сокращения дробей. Ниже показано, как начали преобразования Андрей (А) и Борис (Б). Правильно ли сделал первые шаги каждый из учащихся? Если нет, то исправьте ошибку. Доведите каждое решение до конца.

A) $\frac{(2a — 2b)^2}{8b — 8a} = \frac{2(a — b)^2}{8(b — a)} = \dots$

B) $\frac{4m^2 — 4n^2}{(4n — 4m)^2} = \frac{4(m^2 — n^2)}{16(n — m)^2} = -\frac{(m — n)(m + n)}{4(m — n)^2} = \dots$

А) $\frac{(2a-2b{)}^2}{8b-8a}=\frac{2(a-b{)}^2}{8(b-a)}=\dots$ — Андрей неверно начал преобразование:

$$\frac{(2a-2b{)}^2}{8b-8a}=\frac{2^2(a-b{)}^2}{8(b-a)}=\frac{4(a-b{)}^2}{8(b-a)}=\frac{(b-a{)}^2}{2(b-a)}=\frac{b-a}{2}\mathrm{.}$$

Б) $\frac{4m^2-4n^2}{(4n-4m{)}^2}=\frac{4(m^2-n^2)}{16(n-m{)}^2}=\dots$ — Борис неверно начал преобразование:

$$\frac{4m^2-4n^2}{(4n-4m{)}^2}=\frac{4(m^2-n^2)}{16(n-m{)}^2}=\frac{(m-n)(m+n)}{4(m-n{)}^2}=\frac{m+n}{4(m-n)}$$

А)

$$\frac{(2a-2b{)}^2}{8b-8a}$$

Шаг 1. Числитель — квадрат разности:

$$(2a-2b{)}^2=[2(a-b){]}^2=4(a-b{)}^2$$

Шаг 2. Знаменатель:

$$8b-8a=-8(a-b)$$

Шаг 3. Подставим:

$$\frac{4(a-b{)}^2}{-8(a-b)}=-\frac{4(a-b{)}^2}{8(a-b)}$$

Шаг 4. Сократим $(a-b)$ (при $a\mathrm{\ne }b$):

$$-\frac{4\cancel{(a-b)}(a-b)}{8\cancel{(a-b)}}=-\frac{4(a-b)}{8}$$

Шаг 5. Сократим дробь:

$$-\frac{4(a-b)}{8}=-\frac{1}{2}(a-b)$$

Шаг 6. Раскроем скобки:

$$-\frac{1}{2}(a-b)=-\frac{a}{2}+\frac{b}{2}=\frac{b-a}{2}$$

Вывод:
Андрей ошибся, потому что проигнорировал знак «минус» в знаменателе.
Он сократил $a-b$ и $b-a$, считая их равными, хотя $b-a=-(a-b)$.

Правильный ответ:

$$\frac{b-a}{2}$$

Б)

$$\frac{4m^2-4n^2}{(4n-4m{)}^2}$$

Шаг 1. Числитель:

$$4m^2-4n^2=4(m^2-n^2)=4(m-n)(m+n)$$

Шаг 2. Знаменатель:

$$(4n-4m{)}^2=[4(n-m){]}^2=16(n-m{)}^2$$

Шаг 3. Заметим:

$$n-m=-(m-n),\text{а значит }(n-m{)}^2=(m-n{)}^2$$

Шаг 4. Подставим всё вместе:

$$\frac{4(m-n)(m+n)}{16(m-n{)}^2}$$

Шаг 5. Сократим $m-n$ (при $m\mathrm{\ne }n$):

$$\frac{4\cancel{(m-n)}(m+n)}{16\cancel{(m-n)}(m-n)}=\frac{4(m+n)}{16(m-n)}$$

Шаг 6. Сократим:

$$\frac{4(m+n)}{16(m-n)}=\frac{m+n}{4(m-n)}$$

Вывод:
Борис ошибся, когда начал преобразование с $n-m$, а потом переписал числитель и знаменатель с противоположным знаком, не учтя знак минус от замены.

Правильный ответ:

$$\frac{m+n}{4(m-n)}$$