ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 429 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Решите уравнение, выделив квадрат двучлена:
а) x^2+12x+20=0;
б) y^2+14y+24=0;
в) z^2-6z+9=0;
г) y^2-2y+3=0.

а) $x^2 + 12x + 20 = 0$

$x^2 + 2 \cdot 6x + 36 — 36 + 20 = 0$

$(x + 6)^2 — 16 = 0$

$(x + 6)^2 — 4^2 = 0$

$(x + 6 — 4)(x + 6 + 4) = 0$

$(x + 2)(x + 10) = 0$

$x + 2 = 0, \quad x + 10 = 0$

$x = -2, \quad x = -10.$

Ответ: $x = -10; \, x = -2.$

б) $y^2 + 14y + 24 = 0$

$y^2 + 2 \cdot 7y + 49 — 49 + 24 = 0$

$(y + 7)^2 — 25 = 0$

$(y + 7)^2 — 5^2 = 0$

$(y + 7 — 5)(y + 7 + 5) = 0$

$(y + 2)(y + 12) = 0$

$y + 2 = 0, \quad y + 12 = 0$

$y = -2, \quad y = -12.$

Ответ: $y = -12; \, y = -2.$

в) $z^2 — 6z + 9 = 0$

$(z — 3)^2 = 0$

$z — 3 = 0$

$z = 3.$

Ответ: $z = 3.$

г)$y^2 — 2y + 3 = 0$

$y^2 — 2 \cdot y + 1 — 1 + 3 = 0$

$(y — 1)^2 + 2 = 0$

$(y — 1)^2 = -2 < 0$

Ответ: корней нет.

а) $x^2 + 12x + 20 = 0$

Начнем с исходного уравнения:

$$x^2 + 12x + 20 = 0.$$

Нам нужно привести это выражение к форме полного квадрата. Для этого воспользуемся методом дополнения:

Разделим коэффициент при $x$ пополам: $\frac{12}{2} = 6$.

Возведем это число в квадрат: $6^2 = 36$.

Теперь преобразуем выражение:

$$x^2 + 12x = (x + 6)^2 — 36.$$

Подставляем это обратно в уравнение:

$$(x + 6)^2 — 36 + 20 = 0.$$

Упростим:

$$(x + 6)^2 — 16 = 0.$$

Теперь используем разность квадратов:

$$(x + 6)^2 — 4^2 = 0.$$

Разлагаем на два множителя:

$$(x + 6 — 4)(x + 6 + 4) = 0.$$

Получаем два уравнения:

$$x + 2 = 0 \quad \text{или} \quad x + 10 = 0.$$

Решаем их:

$$x = -2 \quad \text{или} \quad x = -10.$$

Ответ: $x = -10; \, x = -2.$

б) $y^2 + 14y + 24 = 0$

Начнем с исходного уравнения:

$$y^2 + 14y + 24 = 0.$$

Применим метод дополнения:

Разделим коэффициент при $y$ пополам: $\frac{14}{2} = 7$.

Возведем это число в квадрат: $7^2 = 49$.

Преобразуем выражение:

$$y^2 + 14y = (y + 7)^2 — 49.$$

Подставляем это обратно в уравнение:

$$(y + 7)^2 — 49 + 24 = 0.$$

Упростим:

$$(y + 7)^2 — 25 = 0.$$

Применяем разность квадратов:

$$(y + 7)^2 — 5^2 = 0.$$

Разлагаем на два множителя:

$$(y + 7 — 5)(y + 7 + 5) = 0.$$

Получаем два уравнения:

$$y + 2 = 0 \quad \text{или} \quad y + 12 = 0.$$

Решаем их:

$$y = -2 \quad \text{или} \quad y = -12.$$

Ответ: $y = -12; \, y = -2.$

в) $z^2 — 6z + 9 = 0$

Начнем с исходного уравнения:

$$z^2 — 6z + 9 = 0.$$

Это уже полный квадрат, так как:

$$z^2 — 6z = (z — 3)^2 — 9.$$

Подставляем это обратно в уравнение:

$$(z — 3)^2 — 9 + 9 = 0.$$

Упростим:

$$(z — 3)^2 = 0.$$

Решаем:

$$z — 3 = 0.$$

Получаем:

$$z = 3.$$

Ответ: $z = 3.$

г) $y^2 — 2y + 3 = 0$

Начнем с исходного уравнения:

$$y^2 — 2y + 3 = 0.$$

Применим метод дополнения:

Разделим коэффициент при $y$ пополам: $\frac{-2}{2} = -1$.

Возведем это число в квадрат: $(-1)^2 = 1$.

Преобразуем выражение:

$$y^2 — 2y = (y — 1)^2 — 1.$$

Подставляем это обратно в уравнение:

$$(y — 1)^2 — 1 + 3 = 0.$$

Упростим:

$$(y — 1)^2 + 2 = 0.$$

Видим, что квадрат числа не может быть отрицательным, а это означает, что корней среди действительных чисел нет:

$$(y — 1)^2 = -2 < 0.$$

Ответ: корней нет.

2. Итоговое решение:

$x^2 + 12x + 20 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -10; \, x = -2.$

$y^2 + 14y + 24 = 0 \quad \Rightarrow \quad y = -12; \, y = -2.$

$z^2 — 6z + 9 = 0 \quad \Rightarrow \quad z = 3.$

$y^2 — 2y + 3 = 0 \quad \Rightarrow \quad \text{корней нет.}$