ГДЗ по Алгебре 8 Класс Учебник 📕 Дорофеев, Суворова — Все Части

Алгебра

8 класс учебник Дорофеев

8 класс

Тип

ГДЗ, Решебник.

Авторы

Дорофеев Г.В., Шарыгин И.Ф., Суворова С.Б. и др.

Год

2022.

Издательство

Просвещение.

Описание

Учебник по Алгебре для 8-го класса авторов Дорофеева и Суворова — это современное и продуманное пособие, которое помогает школьникам не только освоить базовые математические понятия, но и развить логическое мышление и умение применять знания на практике. Книга построена так, чтобы учебный материал был доступен и интересен даже тем, кто раньше испытывал трудности с математикой.

Что выделяет этот учебник среди других:

Понятное изложение материала. Каждая тема объясняется простым и доступным языком, что облегчает понимание даже сложных понятий.
Большое количество примеров и задач. Учебник предлагает разнообразные упражнения — от простых до более сложных, что помогает закрепить пройденный материал.
Интерактивный подход. В книге есть задания, которые побуждают учеников к самостоятельному поиску решений и развитию творческого мышления.
Связь с реальной жизнью. Многие задачи связаны с практическими ситуациями, что делает математику более живой и понятной.
Разнообразие форм подачи информации. Здесь используются таблицы, схемы, иллюстрации, что помогает лучше усваивать материал и удерживать внимание учащихся.

ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 425 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Задача

Покажите, что:
а) числа -7 и 5 являются корнями уравнения x^2+2x-35=0;
б) число 2/3 является корнем уравнения 3x^2+x-2=0, а число -2 не является;
в) числа 1–v2 и 1+v2 являются корнями уравнения x^2-2x-1=0;
г) число (1+v5)/2 является корнем уравнения x^2-x-1=0, а число (v5-1)/2 нет.

Краткий ответ:

а) $x^2 + 2x — 35 = 0, \quad x = -7$ и $x = 5;$

$(- 7)^{2} + 2 \cdot (- 7) - 35 = 0 5^{2} + 2 \cdot 5 - 35 = 0$

$(-7)^2 + 2 \cdot (-7) — 35 = 0 \quad \quad 5^2 + 2 \cdot 5 — 35 = 0$ $49 - 14 - 35 = 0 25 + 10 - 35 = 0$

$49 — 14 — 35 = 0 \quad \quad 25 + 10 — 35 = 0$ $0 = 0 \quad \text{— является корнем.} \quad \quad 0 = 0 \quad \text{— является корнем.}$

б) $3x^2 + x — 2 = 0, \quad x = \frac{2}{3}$ и $x \neq -2;$

$3 {(\frac{2}{3})}^{2} + \frac{2}{3} - 2 = 0$

$3 \left( \frac{2}{3} \right)^2 + \frac{2}{3} — 2 = 0$ $3 \cdot \frac{4}{9} + \frac{2}{3} - 2 = 0$

$3 \cdot \frac{4}{9} + \frac{2}{3} — 2 = 0$ $\frac{4}{3} + \frac{2}{3} - 2 = 0$

$\frac{4}{3} + \frac{2}{3} — 2 = 0$ $\frac{6}{3} - 2 = 0$

$\frac{6}{3} — 2 = 0$ $2 - 2 = 0$

$2 — 2 = 0$ $0 = 0 — является корнем.$

$0 = 0 \quad \text{— является корнем.}$ $3 \cdot (- 2)^{2} + (- 2) - 2 = 0$

$3 \cdot (-2)^2 + (-2) — 2 = 0$ $3 \cdot 4 - 4 - 2 = 0$

$3 \cdot 4 — 4 — 2 = 0$ $12 - 4 - 2 = 0$

$12 — 4 — 2 = 0$ $8 \neq 0 \quad \text{— не является корнем.}$

в) $x^2 — 2x — 1 = 0, \quad x = 1 — \sqrt{2}$ и $x = 1 + \sqrt{2};$

$(1 - \sqrt{2})^{2} - 2 (1 - \sqrt{2}) - 1 = 0$

$(1 — \sqrt{2})^2 — 2(1 — \sqrt{2}) — 1 = 0$ $1 - 2 \sqrt{2} + 2 - 2 + 2 \sqrt{2} - 1 = 0$

$1 — 2\sqrt{2} + 2 — 2 + 2\sqrt{2} — 1 = 0$ $0 = 0 — является корнем.$

$0 = 0 \quad \text{— является корнем.}$ $(1 + \sqrt{2})^{2} - 2 (1 + \sqrt{2}) - 1 = 0$

$(1 + \sqrt{2})^2 — 2(1 + \sqrt{2}) — 1 = 0$ $1 + 2 \sqrt{2} + 2 - 2 - 2 \sqrt{2} - 1 = 0$

$1 + 2\sqrt{2} + 2 — 2 — 2\sqrt{2} — 1 = 0$ $0 = 0 \quad \text{— является корнем.}$

г) $x^2 — x — 1 = 0, \quad x = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ и $x \neq \frac{\sqrt{5} — 1}{2};$

$\left( \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \right)^2 — \frac{1 + \sqrt{5}}{2} — 1 = 0$ $\frac{(1 + \sqrt{5})^2}{4} — \frac{1 + \sqrt{5}}{2} — 1 = 0$ $\frac{1 + 2\sqrt{5} + 5}{4} — \frac{1 + \sqrt{5}}{2} — 1 = 0$ $\frac{6 + 2\sqrt{5}}{4} — \frac{1 + \sqrt{5}}{2} — 1 = 0$ $\frac{6 + 2\sqrt{5} — 2(1 + \sqrt{5}) — 4}{4} = 0$ $\frac{6 + 2\sqrt{5} — 2 — 2\sqrt{5} — 4}{4} = 0$ $\frac{0}{4} = 0$ $0 = 0 — является корнем.$

$0 = 0 \quad \text{— является корнем.}$ ${(\frac{\sqrt{5} - 1}{2})}^{2} - \frac{\sqrt{5} - 1}{2} - 1 \neq 0$

$\left( \frac{\sqrt{5} — 1}{2} \right)^2 — \frac{\sqrt{5} — 1}{2} — 1 \neq 0$ $\frac{(\sqrt{5} - 1)^{2}}{4} - \frac{\sqrt{5} - 1}{2} - 1 \neq 0$

$\frac{(\sqrt{5} — 1)^2}{4} — \frac{\sqrt{5} — 1}{2} — 1 \neq 0$ $\frac{5 - 2 \sqrt{5} + 1}{4} - \frac{\sqrt{5} - 1}{2} - 1 \neq 0$

$\frac{5 — 2\sqrt{5} + 1}{4} — \frac{\sqrt{5} — 1}{2} — 1 \neq 0$ $\frac{6 - 2 \sqrt{5}}{4} - \frac{\sqrt{5} - 1}{2} - 1 \neq 0$

$\frac{6 — 2\sqrt{5}}{4} — \frac{\sqrt{5} — 1}{2} — 1 \neq 0$ $\frac{6 - 2 \sqrt{5} - 2 (\sqrt{5} - 1) - 4}{4} \neq 0$

$\frac{6 — 2\sqrt{5} — 2(\sqrt{5} — 1) — 4}{4} \neq 0$ $\frac{6 - 2 \sqrt{5} - 2 \sqrt{5} + 2 - 4}{4} \neq 0$

$\frac{6 — 2\sqrt{5} — 2\sqrt{5} + 2 — 4}{4} \neq 0$ $\frac{4 - 4 \sqrt{5}}{4} \neq 0$

$\frac{4 — 4\sqrt{5}}{4} \neq 0$ $1 — \sqrt{5} \neq 0 \quad \text{— не является корнем.}$ $\boxed{}$

Подробный ответ:

а) $x^2 + 2x — 35 = 0, \quad x = -7$ и $x = 5;$

Уравнение:

$x^2 + 2x — 35 = 0$

Проверим для $x = -7$ :

$(- 7)^{2} + 2 \cdot (- 7) - 35 = 0$

$(-7)^2 + 2 \cdot (-7) — 35 = 0$ $49 - 14 - 35 = 0$

$49 — 14 — 35 = 0$ $0 = 0 \quad \text{— является корнем.}$

Теперь проверим для $x = 5$ :

$5^{2} + 2 \cdot 5 - 35 = 0$

$5^2 + 2 \cdot 5 — 35 = 0$ $25 + 10 - 35 = 0$

$25 + 10 — 35 = 0$ $0 = 0 \quad \text{— является корнем.}$

Ответ: $x = -7$ и $x = 5$ являются корнями.

б) $3x^2 + x — 2 = 0, \quad x = \frac{2}{3}$ и $x \neq -2;$

Уравнение:

$3x^2 + x — 2 = 0$

Проверим для $x = \frac{2}{3}$ :

$3 \left( \frac{2}{3} \right)^2 + \frac{2}{3} — 2 = 0$ $3 \cdot \frac{4}{9} + \frac{2}{3} - 2 = 0$

$3 \cdot \frac{4}{9} + \frac{2}{3} — 2 = 0$ $\frac{4}{3} + \frac{2}{3} - 2 = 0$

$\frac{4}{3} + \frac{2}{3} — 2 = 0$ $\frac{6}{3} - 2 = 0$

$\frac{6}{3} — 2 = 0$ $2 - 2 = 0$

$2 — 2 = 0$ $0 = 0 \quad \text{— является корнем.}$

Теперь проверим для $x = -2$ :

$3 \cdot (- 2)^{2} + (- 2) - 2 = 0$

$3 \cdot (-2)^2 + (-2) — 2 = 0$ $3 \cdot 4 - 4 - 2 = 0$

$3 \cdot 4 — 4 — 2 = 0$ $12 - 4 - 2 = 0$

$12 — 4 — 2 = 0$ $8 \neq 0 \quad \text{— не является корнем.}$

Ответ: $x = \frac{2}{3}$ является корнем, $x = -2$ не является корнем.

в) $x^2 — 2x — 1 = 0, \quad x = 1 — \sqrt{2}$ и $x = 1 + \sqrt{2};$

Уравнение:

$x^2 — 2x — 1 = 0$

Проверим для $x = 1 — \sqrt{2}$ :

$(1 - \sqrt{2})^{2} - 2 (1 - \sqrt{2}) - 1 = 0$

$(1 — \sqrt{2})^2 — 2(1 — \sqrt{2}) — 1 = 0$ $1 - 2 \sqrt{2} + 2 - 2 + 2 \sqrt{2} - 1 = 0$

$1 — 2\sqrt{2} + 2 — 2 + 2\sqrt{2} — 1 = 0$ $0 = 0 \quad \text{— является корнем.}$

Теперь проверим для $x = 1 + \sqrt{2}$ :

$(1 + \sqrt{2})^{2} - 2 (1 + \sqrt{2}) - 1 = 0$

$(1 + \sqrt{2})^2 — 2(1 + \sqrt{2}) — 1 = 0$ $1 + 2 \sqrt{2} + 2 - 2 - 2 \sqrt{2} - 1 = 0$

$1 + 2\sqrt{2} + 2 — 2 — 2\sqrt{2} — 1 = 0$ $0 = 0 \quad \text{— является корнем.}$

Ответ: $x = 1 — \sqrt{2}$ и $x = 1 + \sqrt{2}$ являются корнями.

г) $x^2 — x — 1 = 0, \quad x = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ и $x \neq \frac{\sqrt{5} — 1}{2};$

Уравнение:

$x^2 — x — 1 = 0$

Проверим для $x = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ :

$\left( \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \right)^2 — \frac{1 + \sqrt{5}}{2} — 1 = 0$ $\frac{(1 + \sqrt{5})^2}{4} — \frac{1 + \sqrt{5}}{2} — 1 = 0$ $\frac{1 + 2\sqrt{5} + 5}{4} — \frac{1 + \sqrt{5}}{2} — 1 = 0$ $\frac{6 + 2\sqrt{5}}{4} — \frac{1 + \sqrt{5}}{2} — 1 = 0$ $\frac{6 + 2\sqrt{5} — 2(1 + \sqrt{5}) — 4}{4} = 0$ $\frac{6 + 2\sqrt{5} — 2 — 2\sqrt{5} — 4}{4} = 0$ $\frac{0}{4} = 0$ $0 = 0 \quad \text{— является корнем.}$

Теперь проверим для $x = \frac{\sqrt{5} — 1}{2}$ :

${(\frac{\sqrt{5} - 1}{2})}^{2} - \frac{\sqrt{5} - 1}{2} - 1 \neq 0$

$\left( \frac{\sqrt{5} — 1}{2} \right)^2 — \frac{\sqrt{5} — 1}{2} — 1 \neq 0$ $\frac{(\sqrt{5} - 1)^{2}}{4} - \frac{\sqrt{5} - 1}{2} - 1 \neq 0$

$\frac{(\sqrt{5} — 1)^2}{4} — \frac{\sqrt{5} — 1}{2} — 1 \neq 0$ $\frac{5 - 2 \sqrt{5} + 1}{4} - \frac{\sqrt{5} - 1}{2} - 1 \neq 0$

$\frac{5 — 2\sqrt{5} + 1}{4} — \frac{\sqrt{5} — 1}{2} — 1 \neq 0$ $\frac{6 - 2 \sqrt{5}}{4} - \frac{\sqrt{5} - 1}{2} - 1 \neq 0$

$\frac{6 — 2\sqrt{5}}{4} — \frac{\sqrt{5} — 1}{2} — 1 \neq 0$ $\frac{6 - 2 \sqrt{5} - 2 (\sqrt{5} - 1) - 4}{4} \neq 0$

$\frac{6 — 2\sqrt{5} — 2(\sqrt{5} — 1) — 4}{4} \neq 0$ $\frac{6 - 2 \sqrt{5} - 2 \sqrt{5} + 2 - 4}{4} \neq 0$

$\frac{6 — 2\sqrt{5} — 2\sqrt{5} + 2 — 4}{4} \neq 0$ $\frac{4 — 4\sqrt{5}}{4} \neq 0$ $1 — \sqrt{5} \neq 0 \quad \text{— не является корнем.}$

Ответ: $x = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ является корнем, а $x = \frac{\sqrt{5} — 1}{2}$ не является корнем.

Оцени решение

← Предыдущий Следующий →

Сообщить об ошибке

Алгебра