ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 422 Проверьте Себя (Тест) Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

1. Найдите значение выражения $2\sqrt{n+1}$ при $n=-\frac{3}{4}$.

2. Известно, что $\sqrt{a}=b$. Какое из следующих равенств верно?

$a^2=b$

$a^2=b^2$

$a=b^2$

$a=\sqrt{b}$

3. Расстояние $h$, которое пролетает тело при свободном падении, вычисляется по формуле $h=\frac{g{t}^2}{2}$, где $g$ — ускорение свободного падения, $t$ — время падения. Выразите из этой формулы время $t$.

4. Какое из чисел $\sqrt{121}$, $\sqrt{0,4}$, $\sqrt{\frac{1}{4}}$ является иррациональным?

5. Одна из точек $K$, $L$, $M$ и $N$ на координатной прямой соответствует числу $\sqrt{86}$. Какая это точка?

6. Какое из чисел заключено между числами $\sqrt{5}$ и $\sqrt{10}$?

6

4

3

2

7. При каком значении $m$ выражение $\sqrt{1-m}$ не имеет смысла?

при $m=-2$

при $m=0$

при $m=1$

при $m=2$

8. Соотнесите уравнение с числом его корней.

Уравнения:

• А) $x^2=120$
• Б) $x^2=0$
• В) $x^2=-100$

Число корней:

нет корней

2 корня

1 корень

9. Решите уравнение $x^2-\frac{3}{4}=0$.

10. Какая точка принадлежит графику функции $y=\sqrt{x}$?

$M(225;-15)$

$N(64;10)$

$P(196;14)$

$Q(12;144)$

11. Расположите в порядке возрастания числа $0,3$; $\sqrt{0,3}$; $1,5$; $\sqrt{1,5}$.

12. Найдите значение выражения $\sqrt{15\cdot 240}$.

13. Зная, что ${33}^2=1089$, определите, какое из следующих равенств неверно.

$\sqrt{1089}=33$

$\sqrt{108900}=330$

$\sqrt{10,89}=3,3$

$\sqrt{1,089}=0,33$

14. Найдите значение выражения $\frac{2\sqrt{21}\cdot 6\sqrt{35}}{7\sqrt{60}}$.

15. Выберите выражение, равное $\sqrt{(1-\sqrt{3}{)}^2}$.

$1-\sqrt{3}$

$\sqrt{3}-1$

$(1-\sqrt{3}{)}^2$

$(\sqrt{3}-1{)}^2$

16. Сократите дробь $\frac{2\sqrt{8}+3\sqrt{20}-6\sqrt{5}}{4\sqrt{3}-2\sqrt{12}+\sqrt{18}}$.

17. Какое из следующих выражений не равно $\frac{2}{\sqrt{18}}$?

$\sqrt{\frac{1}{9}}$

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{9}}$

$\frac{\sqrt{2}}{3}$

$\frac{2}{3\sqrt{2}}$

18. Упростите выражение $(\sqrt{5}+\sqrt{3}{)}^2-\sqrt{2}\cdot \sqrt{32}$.

19. Найдите значение выражения $\sqrt[4]{\frac{1}{81}}$.

20. Укажите два последовательных целых числа, между которыми заключено число $\sqrt[3]{30}$.

№ 1.
при $n=-\frac{3}{4}$:

$$2\sqrt{n+1}=2\sqrt{-\frac{3}{4}+1}=2\sqrt{\frac{1}{4}}=2\cdot \frac{1}{2}=1.$$

№ 2.

$$\sqrt{a}=b;a=b^2\mathrm{.}$$

Ответ: 3).

№ 3.

$$h=\frac{g{t}^2}{2}$$$$g{t}^2=2h$$$$t^2=\frac{2h}{g}$$$$t=\sqrt{\frac{2h}{g}}\mathrm{.}$$

№ 4.

$$\sqrt{121}=11\text{ — рациональное};$$

$$$$$$\sqrt{0,4}\text{ — иррациональное};$$

$$$$$$\sqrt{2\frac{1}{4}}=\sqrt{\frac{9}{4}}=\frac{3}{2}\text{ — рациональное}\mathrm{.}$$

Ответ: $\sqrt{0,4}$.

№ 5.

$$\sqrt{86}\approx 9,27\text{ — точка L}\mathrm{.}$$

Ответ: L.

№ 6.

$6=\sqrt{36}$;

$4=\sqrt{16}$;

$3=\sqrt{9}$;

$2=\sqrt{4}$.
Значит:

$$\sqrt{5}<3<\sqrt{10}\mathrm{.}$$

Ответ: 3).

№ 7.

$$\sqrt{1-m};$$

при $m=-2$:

$$\sqrt{1-(-2)}=\sqrt{3}\text{ — имеет смысл.}$$

при $m=0$:

$$\sqrt{1-0}=\sqrt{1}\text{ — имеет смысл.}$$

при $m=1$:

$$\sqrt{1-1}=\sqrt{0}\text{ — имеет смысл.}$$

при $m=2$:

$$\sqrt{1-2}=\sqrt{-1}\text{ — не имеет смысла.}$$

Ответ: 4).

№ 8.
А) $x^2=120>0$ — два корня $(-2)$;
Б) $x^2=0=0$ — один корень $(-3)$;
В) $x^2=-100<0$ — корней нет $(-1)$.
Ответ: А — 2; Б — 3; В — 1.

№ 9.

$$x^2-\frac{3}{4}=0$$$$x^2=\frac{3}{4}$$$$x=\pm \sqrt{\frac{3}{4}}$$$$x=\pm \frac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{.}$$

Ответ: $x=\pm \frac{\sqrt{3}}{2}$.

№ 10.

$$y=\sqrt{x}$$

М $(225;-15)$:

$$-15\mathrm{\ne }\sqrt{225}\text{ — не принадлежит.}$$

N $(64;10)$:

$$10\mathrm{\ne }\sqrt{64}\text{ — не принадлежит.}$$

Р $(196;14)$:

$$14=\sqrt{196}\text{ — принадлежит.}$$

Q $(12;144)$:

$$144\mathrm{\ne }\sqrt{12}\text{ — не принадлежит.}$$

Ответ: 3).

№ 11.

$$0,3=\sqrt{0,09};\sqrt{0,3};1,5=\sqrt{2,25};\sqrt{1,5}\mathrm{.}$$

В порядке возрастания:

$$0,3<\sqrt{0,3}<\sqrt{1,5}<1,5.$$

№ 12.

$$\sqrt{15\cdot 240}=\sqrt{5\cdot 3\cdot 3\cdot 80}=\sqrt{400\cdot 3^2}=20\cdot 3=60.$$

№ 13.

$${33}^2=1089$$

$\sqrt{1089}=33$ — верно;

$\sqrt{108900}=330$ — верно;

$\sqrt{10,89}=3,3$ — верно;

$\sqrt{1,089}=0,33$ — неверно.
Ответ: 4).

№ 14.

$$\frac{2\sqrt{21}\cdot 6\sqrt{35}}{7\sqrt{60}}=\frac{2\sqrt{7\cdot 3}\cdot 6\sqrt{5\cdot 7}}{7\sqrt{60}}=\frac{2\cdot 6\cdot \sqrt{7^2\cdot 3\cdot 5}}{7\sqrt{60}}=$$$$=\frac{12\cdot 7\sqrt{15}}{7\sqrt{15\cdot 4}}=\frac{12\sqrt{15}}{2\sqrt{15}}=6.$$

№ 15.

$$\sqrt{(1-\sqrt{3}{)}^2}=\mathrm{\mid }1-\sqrt{3}\mathrm{\mid }=\sqrt{3}-1.$$

Ответ: 2).

№ 16.

$$2\sqrt{8}+3\sqrt{20}-6\sqrt{5}=\frac{2\cdot 2\sqrt{2}+3\cdot 2\sqrt{5}-6\sqrt{5}}{4\sqrt{3}-2\sqrt{12}+\sqrt{18}}=$$

$$$$$$=\frac{4\sqrt{2}+6\sqrt{5}-6\sqrt{5}}{4\sqrt{3}-2\cdot 2\sqrt{3}+3\sqrt{2}}=\frac{4\sqrt{2}}{4\sqrt{3}-4\sqrt{3}+3\sqrt{2}}=\frac{4\sqrt{2}}{3\sqrt{2}}=\frac{4}{3}=1\frac{1}{3}\mathrm{.}$$

№ 17.

$$\frac{2}{\sqrt{18}}=\frac{2}{3\sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{2}}{3\sqrt{2}\sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{2}}{3\cdot 2}=\frac{\sqrt{2}}{3}\mathrm{.}$$

$\sqrt{\frac{1}{9}}=\frac{1}{3}\mathrm{\ne }\frac{2}{\sqrt{18}}$.

$\sqrt{\frac{2}{9}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{9}}=\frac{\sqrt{2}}{3}=\frac{2}{\sqrt{18}}$

$\frac{\sqrt{2}}{3}=\frac{2}{\sqrt{18}}$.

$\frac{2}{3\sqrt{2}}=\frac{2}{\sqrt{18}}$.
Ответ: 1).

№ 18.

$$(\sqrt{5}+\sqrt{3}{)}^2-\sqrt{2}\cdot \sqrt{32}=5+2\sqrt{15}+3-\sqrt{2}\cdot \sqrt{16\cdot 2}=$$

$$$$$$=8+2\sqrt{15}-4\cdot 2=8+2\sqrt{15}-8=2\sqrt{15}\mathrm{.}$$

№ 19.

$$\sqrt[4]{\frac{1}{81}}=\frac{1}{3}\mathrm{.}$$

№ 20.

$$\sqrt[3]{30}\approx 3,11.$$

$$$$$$3<\sqrt[3]{30}<4.$$

№ 1.
При $n=-\frac{3}{4}$:

$$2\sqrt{n+1}=2\sqrt{-\frac{3}{4}+1}=2\sqrt{-\frac{3}{4}+\frac{4}{4}}=2\sqrt{\frac{1}{4}}=2\cdot \frac{1}{2}=1.$$

№ 2.
Известно, что $\sqrt{a}=b$, тогда возводим обе стороны в квадрат:

$$(\sqrt{a}{)}^2=b^2⟹a=b^2\mathrm{.}$$

Ответ: 3).

№ 3.
Дано уравнение $h=\frac{g{t}^2}{2}$. Чтобы выразить время $t$, умножим обе части уравнения на 2:

$$2h=g{t}^2\mathrm{.}$$

Теперь разделим обе части на $g$:

$$\frac{2h}{g}=t^2\mathrm{.}$$

И, наконец, извлечем квадратный корень из обеих частей:

$$t=\sqrt{\frac{2h}{g}}\mathrm{.}$$

№ 4.
Рассмотрим каждое выражение:

• $\sqrt{121}=11$ — рациональное число, так как 11 — целое.
• $\sqrt{0,4}$ — иррациональное число, так как корень из 0,4 не может быть выражен в виде конечной десятичной дроби или дроби.
• $\sqrt{2\frac{1}{4}}=\sqrt{\frac{9}{4}}=\frac{3}{2}$ — рациональное число, так как это конечная дробь.

Ответ: $\sqrt{0,4}$.

№ 5.
Приблизительное значение $\sqrt{86}$ равно 9,27, что наиболее близко к точке L на координатной прямой.

Ответ: L.

№ 6.
Проверим корни:

• $6=\sqrt{36}$;
• $4=\sqrt{16}$;
• $3=\sqrt{9}$;
• $2=\sqrt{4}$.

Следовательно, $\sqrt{5}<3<\sqrt{10}$.

Ответ: 3).

№ 7.

• При $m=-2$: $\sqrt{1-(-2)}=\sqrt{3}$, выражение имеет смысл.
• При $m=0$: $\sqrt{1-0}=\sqrt{1}$, выражение имеет смысл.
• При $m=1$: $\sqrt{1-1}=\sqrt{0}$, выражение имеет смысл.
• При $m=2$: $\sqrt{1-2}=\sqrt{-1}$, выражение не имеет смысла, так как корень из отрицательного числа в области действительных чисел не существует.

Ответ: 4).

№ 8.

• А) $x^2=120$ — два корня: $x=\pm \sqrt{120}$.
• Б) $x^2=0$ — один корень: $x=0$.
• В) $x^2=-100$ — корней нет, так как квадрат любого числа не может быть отрицательным.

Ответ: А — 2; Б — 3; В — 1.

№ 9.
Решим уравнение:

$$x^2-\frac{3}{4}=0⟹x^2=\frac{3}{4}\mathrm{.}$$

Теперь извлечем корень из обеих частей:

$$x=\pm \sqrt{\frac{3}{4}}=\pm \frac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{.}$$

Ответ: $x=\pm \frac{\sqrt{3}}{2}$.

№ 10.

Задание: Какая точка принадлежит графику функции $y=\sqrt{x}$?

М $(225;-15)$:

$$-15\mathrm{\ne }\sqrt{225}\text{(не принадлежит графику, так как корень из 225 равен 15, а не -15)}\mathrm{.}$$

N $(64;10)$:

$$10\mathrm{\ne }\sqrt{64}\text{(не принадлежит графику, так как корень из 64 равен 8, а не 10)}\mathrm{.}$$

P $(196;14)$:

$$14=\sqrt{196}\text{(принадлежит графику, так как корень из 196 равен 14)}\mathrm{.}$$

Q $(12;144)$:

$$144\mathrm{\ne }\sqrt{12}\text{(не принадлежит графику, так как корень из 12 примерно равен 3.464, а не 144)}\mathrm{.}$$

Ответ: 3).

№ 11.

Задание: Расположите в порядке возрастания числа $0,3$; $\sqrt{0,3}$; $1,5$; $\sqrt{1,5}$.

• $0,3$ — это просто число.
• $\sqrt{0,3}$ — корень из 0,3. Приблизительно это значение равно 0,5477.
• $1,5$ — это число.
• $\sqrt{1,5}$ — корень из 1,5. Приблизительно это значение равно 1,2247.

Теперь располагаем числа:

$$0,3<\sqrt{0,3}<\sqrt{1,5}<1,5.$$

№ 12.

Задание: Найдите значение выражения $\sqrt{15\cdot 240}$.

Упростим выражение:

$$\sqrt{15\cdot 240}=\sqrt{3600}\mathrm{.}$$

Корень из 3600 равен 60:

$$\sqrt{3600}=60.$$

Ответ: 60.

№ 13.

Задание: Зная, что ${33}^2=1089$, определите, какое из следующих равенств неверно.

$\sqrt{1089}=33$ — верно, так как ${33}^2=1089$.

$\sqrt{108900}=330$ — верно, так как ${330}^2=108900$.

$\sqrt{10,89}=3,3$ — верно, так как $3,3^2=10,89$.

$\sqrt{1,089}=0,33$ — неверно, так как $0,{33}^2=0,1089$, а не 1,089.

Ответ: 4).

№ 14.

Задание: Найдите значение выражения $\frac{2\sqrt{21}\cdot 6\sqrt{35}}{7\sqrt{60}}$.

Умножим числитель:

$$2\sqrt{21}\cdot 6\sqrt{35}=12\cdot \sqrt{21\cdot 35}=12\cdot \sqrt{735}\mathrm{.}$$

Упростим знаменатель:

$$7\sqrt{60}=7\cdot \sqrt{60}\mathrm{.}$$

Пишем дробь:

$$\frac{12\cdot \sqrt{735}}{7\cdot \sqrt{60}}=\frac{12}{7}\cdot \frac{\sqrt{735}}{\sqrt{60}}=\frac{12}{7}\cdot \sqrt{\frac{735}{60}}\mathrm{.}$$

Упростим дробь под корнем:

$$\frac{735}{60}=12,25,\sqrt{12,25}=3,5.$$

Умножим:

$$\frac{12}{7}\cdot 3,5=\frac{12\cdot 3,5}{7}=\frac{42}{7}=6.$$

Ответ: 6.

№ 15.

Задание: Выберите выражение, равное $\sqrt{(1-\sqrt{3}{)}^2}$.

$1-\sqrt{3}$ — это не верно, так как извлечение корня и квадрат не отменяют друг друга.

$\sqrt{3}-1$ — это не верно, так как корень и квадрат также не отменяются.

$(1-\sqrt{3}{)}^2$ — это не верно, так как в данном выражении нет извлечения корня.

$(\sqrt{3}-1{)}^2$ — это также не верно.

Рассмотрим правильный вариант:

$$\sqrt{(1-\sqrt{3}{)}^2}=\mathrm{\mid }1-\sqrt{3}\mathrm{\mid }=\sqrt{3}-1\text{(по определению модуля)}\mathrm{.}$$

Ответ: 2).

№ 16.

Задание: Упростите выражение $2\sqrt{8}+3\sqrt{20}-6\sqrt{5}$.

Упростим каждый корень:

$$2\sqrt{8}=2\cdot 2\sqrt{2}=4\sqrt{2},$$

$$$$$$3\sqrt{20}=3\cdot 2\sqrt{5}=6\sqrt{5},$$

$$$$$$-6\sqrt{5}\text{(оставляем без изменений)}\mathrm{.}$$

Подставляем:

$$4\sqrt{2}+6\sqrt{5}-6\sqrt{5}=4\sqrt{2}\mathrm{.}$$

Ответ: $4\sqrt{2}$.

№ 17.

Задание: Упростите выражение $\frac{2}{\sqrt{18}}$.

Преобразуем дробь:

$$\frac{2}{\sqrt{18}}=\frac{2}{\sqrt{9\cdot 2}}=\frac{2}{3\sqrt{2}}\mathrm{.}$$

Умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$:

$$\frac{2}{3\sqrt{2}}\cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{2}}{3\cdot 2}=\frac{\sqrt{2}}{3}\mathrm{.}$$

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{3}$.

№ 18.

Задание: Упростите выражение $(\sqrt{5}+\sqrt{3}{)}^2-\sqrt{2}\cdot \sqrt{32}$.

Раскроем квадрат:

$$(\sqrt{5}+\sqrt{3}{)}^2=5+2\sqrt{15}+3=8+2\sqrt{15}\mathrm{.}$$

Упростим произведение:

$$\sqrt{2}\cdot \sqrt{32}=\sqrt{64}=8.$$

Подставляем:

$$8+2\sqrt{15}-8=2\sqrt{15}\mathrm{.}$$

Ответ: $2\sqrt{15}$.

№ 19.

Задание: Найдите значение выражения $\sqrt[4]{\frac{1}{81}}$.

Мы знаем, что $81=3^4$, значит:

$$\sqrt[4]{\frac{1}{81}}=\frac{1}{\sqrt[4]{81}}=\frac{1}{3}\mathrm{.}$$

Ответ: $\frac{1}{3}$.

№ 20.

Задание: Найдите два последовательных целых числа, между которыми заключено число $\sqrt[3]{30}$.

Приблизительное значение кубического корня из 30:

$$\sqrt[3]{30}\approx 3,107.$$

Это число находится между 3 и 4.

Ответ: $3$ и $4$.