Учебник по Алгебре для 8-го класса авторов Дорофеева и Суворова — это современное и продуманное пособие, которое помогает школьникам не только освоить базовые математические понятия, но и развить логическое мышление и умение применять знания на практике. Книга построена так, чтобы учебный материал был доступен и интересен даже тем, кто раньше испытывал трудности с математикой.
Что выделяет этот учебник среди других:
- Понятное изложение материала. Каждая тема объясняется простым и доступным языком, что облегчает понимание даже сложных понятий.
- Большое количество примеров и задач. Учебник предлагает разнообразные упражнения — от простых до более сложных, что помогает закрепить пройденный материал.
- Интерактивный подход. В книге есть задания, которые побуждают учеников к самостоятельному поиску решений и развитию творческого мышления.
- Связь с реальной жизнью. Многие задачи связаны с практическими ситуациями, что делает математику более живой и понятной.
- Разнообразие форм подачи информации. Здесь используются таблицы, схемы, иллюстрации, что помогает лучше усваивать материал и удерживать внимание учащихся.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 422 Это Надо Знать Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы
1. Запишите формулу для нахождения стороны квадрата по его площади . Найдите , если ; ; .
2. Существует ли рациональное число, квадрат которого равен ? К какому классу чисел относится число ? Закончите равенство .
3. Приведите примеры натуральных чисел, которые нельзя представить в виде квадрата рационального числа. Запишите число, квадрат которого равен ; ; . Запишите число, противоположное каждому из них.
4. Покажите, как с помощью теоремы Пифагора построить отрезок, длина которого равна ; ; .
5. Дайте определение квадратных корней из положительного числа . Сколько они существуют? Как они обозначаются? Существует ли квадратный корень из отрицательного числа? Какой квадратный корень называют арифметическим?
6. Сколько корней имеет уравнение , если: ; ; ? Решите уравнения: ; ; ; .
7. Запишите с помощью букв теорему о корне из произведения. Примените её к выражению .
8. Запишите с помощью букв теорему о корне из частного. Примените её к выражению .
9. Объясните:
а) как вынести множитель из-под знака корня в выражении ;
б) как внести множитель под знак корня в выражении .
№1.
При :
При :
При :
№2.
Не существует рационального числа, квадрат которого равен 2.
относится к иррациональным числам.
№3.
Нельзя представить в виде квадрата рационального числа, числа:
2; 3; 5; 7; 10; 13; 17 …
№4.
№5.
Число называют квадратным корнем из числа , если .
Из положительного числа существует два противоположных корня, то есть, они равны по модулю, и один из них положителен, а другой — отрицателен.
Квадратного корня из отрицательного числа не существует.
Арифметическим квадратным корнем из числа называют неотрицательный квадратный корень из числа .
№6.
№7.
№8.
№9.
а)
б)
№1.
Задано выражение:
Нам нужно найти значения при разных значениях .
При :
Используем формулу для вычисления :
При :
При :
Ответ: , , .
№2.
Задано утверждение, что — иррациональное число.
Это означает, что нет рационального числа, квадрат которого равен 2.
Рассмотрим:
Если бы было рациональным, то могло бы быть представлено как квадрат какого-либо рационального числа, но этого не существует. Таким образом, — иррациональное число.
Ответ: иррационально.
№3.
Перечислим числа, которые нельзя представить в виде квадрата рационального числа:
Для проверки, можно ли представить число в виде квадрата рационального числа, рассмотрим:
Эти числа — не квадраты рациональных чисел, так как их корни иррациональны.
Теперь рассмотрим отрицательные числа:
Отрицательные числа не могут быть квадратами чисел, так как квадрат любого числа всегда неотрицателен.
Ответ: числа, такие как 2, 3, 5, 7, 10, 13, 17 и т.д. нельзя представить в виде квадрата рационального числа.
№4.
Задано выражение с использованием теоремы Пифагора:
Вычислим несколько значений:
При и :
При и :
При и :
Ответ: , , .
№5.
Задано определение квадратного корня из числа:
Рассмотрим два примера:
При :
При :
Это означает, что для положительного числа существует два противоположных корня, один положительный, другой отрицательный. Квадратного корня из отрицательного числа не существует.
Арифметический квадратный корень из числа — это неотрицательный квадратный корень.
Ответ: , .
№6.
Задано правило для квадратных уравнений:
- При — два корня.
- При — один корень.
- При — корней нет.
Рассмотрим несколько примеров:
1) При :
Для этого уравнения корни находятся как :
Таким образом, у нас два корня: и .
2) При :
Здесь корни будут:
Это два корня: и .
3) При :
В этом случае у нас будет только один корень:
4) При :
Здесь нет решения, потому что квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным. Таким образом, корней нет.
Ответ:
- ,
- ,
- ,
- Корней нет для .
№7.
Задано свойство квадратных корней для произведений:
Проверим это на примере:
Пример 1:
Мы можем разделить это на два корня:
Вычислим квадратные корни:
Теперь умножим эти результаты:
Ответ: .
№8.
Задано свойство квадратных корней для дробей:
Проверим это на примере:
Пример:
Используем правило для дробей:
Теперь вычислим квадратные корни числителя и знаменателя:
Теперь разделим:
Ответ: .
№9.
а)
Задано выражение:
Мы можем представить как произведение :
Теперь извлечем корень из и :
Таким образом:
Ответ: .
б)
Задано выражение:
Представим это как квадратный корень:
Вычислим:
Таким образом:
Ответ: .
Алгебра