ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 419 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Упростите выражение при a < 0, b > 0:

а) $2a^2 \sqrt{a^2 b^6} + b \sqrt{a^6 b^4}$

б) $a \sqrt{a^4 b^3} — 3b \sqrt{a^6 b}$

при $a<0$; $b>0$:

а) $2a^2\sqrt{a^2{b}^6}+b\sqrt{a^6{b}^4}=2a^2\mathrm{\mid }a{b}^3\mathrm{\mid }+b\mathrm{\mid }{a}^3{b}^2\mathrm{\mid }=-2a^3{b}^3-a^3{b}^3=-3a^3{b}^3\mathrm{.}$

б) $a\sqrt{a^4{b}^3}-3b\sqrt{a^{6}b}=a\mathrm{\mid }{a}^{2}b\mathrm{\mid }\sqrt{b}-3b\mathrm{\mid }{a}^3\mathrm{\mid }\sqrt{b}=a^{3}b\sqrt{b}+3a^{3}b\sqrt{b}=4a^{3}b\sqrt{b}\mathrm{}$

а) $2a^2\sqrt{a^2{b}^6}+b\sqrt{a^6{b}^4}$

Рассмотрим первый корень:

• $\sqrt{a^2{b}^6}$

Мы можем разделить выражение на два корня:

$$\sqrt{a^2{b}^6}=\sqrt{a^2}\cdot \sqrt{b^6}$$

Вычислим корни по частям:

$\sqrt{a^2}=\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }$ — поскольку  $a^2$ всегда неотрицательно, но поскольку  $a<0$, то  $\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }=-a$.

• $\sqrt{b^6}=b^{\mathrm{3 }}$

Так как $\mathrm{b }$положительно, корень четной степени из  $b^6$просто равен  $b^3$.

Таким образом:

$$\sqrt{a^2{b}^6}=(-a)\cdot b^3=-a{b}^3$$

Подставим это в исходное выражение:

$$2a^2\sqrt{a^2{b}^6}=2a^2\cdot (-a{b}^3)=-2a^3{b}^3$$

Рассмотрим второй корень:

$\sqrt{a^6{b}^4}$

Разделим его на два корня:

$$\sqrt{a^6{b}^4}=\sqrt{a^6}\cdot \sqrt{b^4}$$

Вычислим корни по частям:

• $\sqrt{a^6}=\mathrm{\mid }{a}^3\mathrm{\mid }$

Поскольку  $a^{\mathrm{6 }}$всегда положительно, но так как  $a<0$, то  $\mathrm{\mid }{a}^3\mathrm{\mid }=-a^3$.

• $\sqrt{b^4}=b^2$

Так как  $b>0$.

Таким образом:

$$\sqrt{a^6{b}^4}=(-a^3)\cdot b^2=-a^3{b}^2$$

Подставим это во второе слагаемое:

$$b\sqrt{a^6{b}^4}=b\cdot (-a^3{b}^2)=-a^3{b}^3$$

Сложим оба слагаемых:

$$-2a^3{b}^3-a^3{b}^3=-3a^3{b}^3$$

Ответ:

$$-3a^3{b}^3$$

б) $a\sqrt{a^4{b}^3}-3b\sqrt{a^{6}b}$

Рассмотрим первый корень:

$\sqrt{a^4{b}^3}$

Разделим его на два корня:

$$\sqrt{a^4{b}^3}=\sqrt{a^4}\cdot \sqrt{b^3}$$

Вычислим корни по частям:

• $\sqrt{a^4}=\mathrm{\mid }{a}^2\mathrm{\mid }$

Поскольку  $a^4$всегда положительно, а  $a^2>0$, то  $\mathrm{\mid }{a}^2\mathrm{\mid }=a^2$.

• $\sqrt{b^3}=b^{3\mathrm{/}2}$

Таким образом:

$$\sqrt{a^4{b}^3}=a^2{b}^{3\mathrm{/}2}$$

Подставим это в выражение:

$$a\sqrt{a^4{b}^3}=a\cdot a^2{b}^{3\mathrm{/}2}=a^3{b}^{3\mathrm{/}2}$$

Рассмотрим второй корень:

$\sqrt{a^{6}b}$

Разделим его на два корня:

$$\sqrt{a^{6}b}=\sqrt{a^6}\cdot \sqrt{b}$$

Вычислим корни по частям:

• $\sqrt{a^6}=\mathrm{\mid }{a}^3\mathrm{\mid }$

Так как  $a^6$всегда положительно, а  $a^3$отрицательно, то  $\mathrm{\mid }{a}^3\mathrm{\mid }=-a^3$.

• $\sqrt{b}=b^{1\mathrm{/}2}$

Таким образом:

$$\sqrt{a^{6}b}=-a^3{b}^{1\mathrm{/}2}$$

Подставим это во второе слагаемое:

$$-3b\sqrt{a^{6}b}=-3b\cdot (-a^3{b}^{1\mathrm{/}2})=3a^3{b}^{3\mathrm{/}2}$$

Сложим оба слагаемых:

$$a^3{b}^{3\mathrm{/}2}+3a^3{b}^{3\mathrm{/}2}=4a^3{b}^{3\mathrm{/}2}$$

Ответ:

$$4a^3{b}^{3\mathrm{/}2}$$

Итоговые ответы:

• Для а): 
  $-3a^3{b}^3$
• Для б): 
  $4a^3{b}^{3\mathrm{/}2}$