ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 417 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Сократите дробь:

а) $\frac{2\sqrt{ab}}{b\sqrt{a} + a\sqrt{b}}$

б) $\frac{b\sqrt{a} — a\sqrt{b}}{\sqrt{b} — \sqrt{a}}$

в) $\frac{x — 1}{1 + 2\sqrt{x} + x}$

г) $\frac{4 — 4\sqrt{a} + a}{4 — a}$

д) $\frac{1 — (\sqrt{a})^3}{1 — \sqrt{a}}$

е) $\frac{9 — 3\sqrt{x} + x}{27 + (\sqrt{x})^3}$

а) $\frac{2\sqrt{ab}}{b\sqrt{a}+a\sqrt{b}}=\frac{2\sqrt{ab}}{\sqrt{ab}(\sqrt{b}+\sqrt{a})}=\frac{2}{\sqrt{b}+\sqrt{a}}\mathrm{.}$

б) $\frac{b\sqrt{a}-a\sqrt{b}}{\sqrt{b}-\sqrt{a}}=\frac{\sqrt{ab}(\sqrt{b}-\sqrt{a})}{\sqrt{b}-\sqrt{a}}=\sqrt{ab}\mathrm{.}$

в) $\frac{x-1}{1+2\sqrt{x}+x}=\frac{x-1}{(\sqrt{x}+1{)}^2}=\frac{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}{(\sqrt{x}+1{)}^2}=\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}\mathrm{.}$

г) $\frac{4-4\sqrt{a}+a}{4-a}=\frac{(2-\sqrt{a}{)}^2}{(2-\sqrt{a})(2+\sqrt{a})}=\frac{2-\sqrt{a}}{2+\sqrt{a}}\mathrm{.}$

д) $\frac{1-(\sqrt{a}{)}^3}{1-\sqrt{a}}=\frac{(1-\sqrt{a})(1+\sqrt{a}+a)}{1-\sqrt{a}}=1+\sqrt{a}+a\mathrm{.}$

е) $\frac{9-3\sqrt{x}+x}{27+(\sqrt{x}{)}^3}=\frac{9-3\sqrt{x}+x}{(3+\sqrt{x})(9-3\sqrt{x}+x)}=\frac{1}{3+\sqrt{x}}\mathrm{.}$

а) $\frac{2\sqrt{ab}}{b\sqrt{a}+a\sqrt{b}}=\frac{2\sqrt{ab}}{\sqrt{ab}(\sqrt{b}+\sqrt{a})}=\frac{2}{\sqrt{b}+\sqrt{a}}\mathrm{.}$

Начнем с исходного выражения:

$$\frac{2\sqrt{ab}}{b\sqrt{a}+a\sqrt{b}}\mathrm{.}$$

Заметим, что числитель уже содержит $2\sqrt{ab}$. В знаменателе выражение $b\sqrt{a}+a\sqrt{b}$. Попробуем вынести общий множитель из знаменателя.

Из выражения $b\sqrt{a}+a\sqrt{b}$ можно вынести $\sqrt{ab}$, так как у обоих слагаемых есть общий множитель $\sqrt{ab}$:

$$b\sqrt{a}+a\sqrt{b}=\sqrt{ab}(\sqrt{b}+\sqrt{a})\mathrm{.}$$

Подставляем это в исходное выражение:

$$\frac{2\sqrt{ab}}{b\sqrt{a}+a\sqrt{b}}=\frac{2\sqrt{ab}}{\sqrt{ab}(\sqrt{b}+\sqrt{a})}\mathrm{.}$$

Теперь, можно сократить $\sqrt{ab}$ в числителе и знаменателе:

$$\frac{2\sqrt{ab}}{\sqrt{ab}(\sqrt{b}+\sqrt{a})}=\frac{2}{\sqrt{b}+\sqrt{a}}\mathrm{.}$$

Ответ: $\frac{2}{\sqrt{b}+\sqrt{a}}$.

б) $\frac{b\sqrt{a}-a\sqrt{b}}{\sqrt{b}-\sqrt{a}}=\frac{\sqrt{ab}(\sqrt{b}-\sqrt{a})}{\sqrt{b}-\sqrt{a}}=\sqrt{ab}\mathrm{.}$

Рассмотрим исходное выражение:

$$\frac{b\sqrt{a}-a\sqrt{b}}{\sqrt{b}-\sqrt{a}}\mathrm{.}$$

В числителе можно выделить общий множитель $\sqrt{ab}$:

$$b\sqrt{a}-a\sqrt{b}=\sqrt{ab}(\sqrt{b}-\sqrt{a})\mathrm{.}$$

Подставляем это в исходное выражение:

$$\frac{b\sqrt{a}-a\sqrt{b}}{\sqrt{b}-\sqrt{a}}=\frac{\sqrt{ab}(\sqrt{b}-\sqrt{a})}{\sqrt{b}-\sqrt{a}}\mathrm{.}$$

Теперь замечаем, что $\sqrt{b}-\sqrt{a}$ в числителе и знаменателе можно сократить:

$$\frac{\sqrt{ab}(\sqrt{b}-\sqrt{a})}{\sqrt{b}-\sqrt{a}}=\sqrt{ab}\mathrm{.}$$

Ответ: $\sqrt{ab}$.

в) $\frac{x-1}{1+2\sqrt{x}+x}=\frac{x-1}{(\sqrt{x}+1{)}^2}=\frac{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}{(\sqrt{x}+1{)}^2}=\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}\mathrm{.}$

Начнем с исходного выражения:

$$\frac{x-1}{1+2\sqrt{x}+x}\mathrm{.}$$

Заметим, что $1+2\sqrt{x}+x$ — это полное квадратное выражение. Мы можем его представить как:

$$1+2\sqrt{x}+x=(\sqrt{x}+1{)}^2\mathrm{.}$$

Подставляем это в исходное выражение:

$$\frac{x-1}{1+2\sqrt{x}+x}=\frac{x-1}{(\sqrt{x}+1{)}^2}\mathrm{.}$$

Теперь, числитель $x-1$ можно преобразовать в форму произведения:

$$x-1=(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)\mathrm{.}$$

Подставляем это в выражение:

$$\frac{x-1}{(\sqrt{x}+1{)}^2}=\frac{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}{(\sqrt{x}+1{)}^2}\mathrm{.}$$

Теперь, сокращаем $(\sqrt{x}+1)$ в числителе и знаменателе:

$$\frac{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}{(\sqrt{x}+1{)}^2}=\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}\mathrm{.}$$

Ответ: $\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}$.

г) $\frac{4-4\sqrt{a}+a}{4-a}=\frac{(2-\sqrt{a}{)}^2}{(2-\sqrt{a})(2+\sqrt{a})}=\frac{2-\sqrt{a}}{2+\sqrt{a}}\mathrm{.}$

Рассмотрим исходное выражение:

$$\frac{4-4\sqrt{a}+a}{4-a}\mathrm{.}$$

Попробуем представить числитель как полный квадрат:

$$4-4\sqrt{a}+a=(2-\sqrt{a}{)}^2\mathrm{.}$$

Подставляем это в исходное выражение:

$$\frac{4-4\sqrt{a}+a}{4-a}=\frac{(2-\sqrt{a}{)}^2}{4-a}\mathrm{.}$$

Заметим, что знаменатель $4-a$ можно разложить как разность квадратов:

$$4-a=(2-\sqrt{a})(2+\sqrt{a})\mathrm{.}$$

Подставляем это в выражение:

$$\frac{(2-\sqrt{a}{)}^2}{(2-\sqrt{a})(2+\sqrt{a})}\mathrm{.}$$

Теперь можно сократить $(2-\sqrt{a})$ в числителе и знаменателе:

$$\frac{2-\sqrt{a}}{2+\sqrt{a}}\mathrm{.}$$

Ответ: $\frac{2-\sqrt{a}}{2+\sqrt{a}}$.

д) $\frac{1-(\sqrt{a}{)}^3}{1-\sqrt{a}}=\frac{(1-\sqrt{a})(1+\sqrt{a}+a)}{1-\sqrt{a}}=1+\sqrt{a}+a\mathrm{.}$

Начнем с исходного выражения:

$$\frac{1-(\sqrt{a}{)}^3}{1-\sqrt{a}}\mathrm{.}$$

Заметим, что $1-(\sqrt{a}{)}^3$ — это разность кубов, и можно разложить по формуле разности кубов:

$$1-(\sqrt{a}{)}^3=(1-\sqrt{a})(1+\sqrt{a}+a)\mathrm{.}$$

Подставляем это в исходное выражение:

$$\frac{1-(\sqrt{a}{)}^3}{1-\sqrt{a}}=\frac{(1-\sqrt{a})(1+\sqrt{a}+a)}{1-\sqrt{a}}\mathrm{.}$$

Теперь можно сократить $1-\sqrt{a}$ в числителе и знаменателе:

$$\frac{(1-\sqrt{a})(1+\sqrt{a}+a)}{1-\sqrt{a}}=1+\sqrt{a}+a\mathrm{.}$$

Ответ: $1+\sqrt{a}+a$.

е) $\frac{9-3\sqrt{x}+x}{27+(\sqrt{x}{)}^3}=\frac{9-3\sqrt{x}+x}{(3+\sqrt{x})(9-3\sqrt{x}+x)}=\frac{1}{3+\sqrt{x}}\mathrm{.}$

Рассмотрим исходное выражение:

$$\frac{9-3\sqrt{x}+x}{27+(\sqrt{x}{)}^3}\mathrm{.}$$

Заметим, что $27+(\sqrt{x}{)}^3$ — это сумма кубов, и можем разложить ее как разность кубов:

$$27+(\sqrt{x}{)}^3=(3+\sqrt{x})(9-3\sqrt{x}+x)\mathrm{.}$$

Подставляем это в исходное выражение:

$$\frac{9-3\sqrt{x}+x}{27+(\sqrt{x}{)}^3}=\frac{9-3\sqrt{x}+x}{(3+\sqrt{x})(9-3\sqrt{x}+x)}\mathrm{.}$$

Теперь сокращаем $(9-3\sqrt{x}+x)$ в числителе и знаменателе:

$$\frac{1}{3+\sqrt{x}}\mathrm{.}$$

Ответ: $\frac{1}{3+\sqrt{x}}$.