ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 417 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Сократите дробь:
а) (2vab)/(bva+avb);
б) (bva-avb)/(vb-va);
в) (x-1)/(1+2vx+x);
г) (4-4va+a)/(4-a);
д) (1-(va)^3)/(1-va);
е) (9-3vx+x)/(27+(vx)^3 ).

а) $\frac{2\sqrt{ab}}{b\sqrt{a} + a\sqrt{b}} = \frac{2\sqrt{ab}}{\sqrt{ab}(\sqrt{b} + \sqrt{a})} = \frac{2}{\sqrt{b} + \sqrt{a}}.$

б) $\frac{b\sqrt{a} — a\sqrt{b}}{\sqrt{b} — \sqrt{a}} = \frac{\sqrt{ab}(\sqrt{b} — \sqrt{a})}{\sqrt{b} — \sqrt{a}} = \sqrt{ab}.$

в) $\frac{x — 1}{1 + 2\sqrt{x} + x} = \frac{x — 1}{(\sqrt{x} + 1)^2} = \frac{(\sqrt{x} — 1)(\sqrt{x} + 1)}{(\sqrt{x} + 1)^2} = \frac{\sqrt{x} — 1}{\sqrt{x} + 1}.$

г) $\frac{4 — 4\sqrt{a} + a}{4 — a} = \frac{(2 — \sqrt{a})^2}{(2 — \sqrt{a})(2 + \sqrt{a})} = \frac{2 — \sqrt{a}}{2 + \sqrt{a}}.$

д) $\frac{1 — (\sqrt{a})^3}{1 — \sqrt{a}} = \frac{(1 — \sqrt{a})(1 + \sqrt{a} + a)}{1 — \sqrt{a}} = 1 + \sqrt{a} + a.$

е) $\frac{9 — 3\sqrt{x} + x}{27 + (\sqrt{x})^3} = \frac{9 — 3\sqrt{x} + x}{(3 + \sqrt{x})(9 — 3\sqrt{x} + x)} = \frac{1}{3 + \sqrt{x}}.$

а) $\frac{2\sqrt{ab}}{b\sqrt{a} + a\sqrt{b}} = \frac{2\sqrt{ab}}{\sqrt{ab}(\sqrt{b} + \sqrt{a})} = \frac{2}{\sqrt{b} + \sqrt{a}}.$

Начнем с исходного выражения:

$$\frac{2\sqrt{ab}}{b\sqrt{a} + a\sqrt{b}}.$$

Заметим, что числитель уже содержит $2\sqrt{ab}$. В знаменателе выражение $b\sqrt{a} + a\sqrt{b}$. Попробуем вынести общий множитель из знаменателя.

Из выражения $b\sqrt{a} + a\sqrt{b}$ можно вынести $\sqrt{ab}$, так как у обоих слагаемых есть общий множитель $\sqrt{ab}$:

$$b\sqrt{a} + a\sqrt{b} = \sqrt{ab} (\sqrt{b} + \sqrt{a}).$$

Подставляем это в исходное выражение:

$$\frac{2\sqrt{ab}}{b\sqrt{a} + a\sqrt{b}} = \frac{2\sqrt{ab}}{\sqrt{ab}(\sqrt{b} + \sqrt{a})}.$$

Теперь, можно сократить $\sqrt{ab}$ в числителе и знаменателе:

$$\frac{2\sqrt{ab}}{\sqrt{ab}(\sqrt{b} + \sqrt{a})} = \frac{2}{\sqrt{b} + \sqrt{a}}.$$

Ответ: $\frac{2}{\sqrt{b} + \sqrt{a}}$.

б) $\frac{b\sqrt{a} — a\sqrt{b}}{\sqrt{b} — \sqrt{a}} = \frac{\sqrt{ab}(\sqrt{b} — \sqrt{a})}{\sqrt{b} — \sqrt{a}} = \sqrt{ab}.$

Рассмотрим исходное выражение:

$$\frac{b\sqrt{a} — a\sqrt{b}}{\sqrt{b} — \sqrt{a}}.$$

В числителе можно выделить общий множитель $\sqrt{ab}$:

$$b\sqrt{a} — a\sqrt{b} = \sqrt{ab}(\sqrt{b} — \sqrt{a}).$$

Подставляем это в исходное выражение:

$$\frac{b\sqrt{a} — a\sqrt{b}}{\sqrt{b} — \sqrt{a}} = \frac{\sqrt{ab}(\sqrt{b} — \sqrt{a})}{\sqrt{b} — \sqrt{a}}.$$

Теперь замечаем, что $\sqrt{b} — \sqrt{a}$ в числителе и знаменателе можно сократить:

$$\frac{\sqrt{ab}(\sqrt{b} — \sqrt{a})}{\sqrt{b} — \sqrt{a}} = \sqrt{ab}.$$

Ответ: $\sqrt{ab}$.

в) $\frac{x — 1}{1 + 2\sqrt{x} + x} = \frac{x — 1}{(\sqrt{x} + 1)^2} = \frac{(\sqrt{x} — 1)(\sqrt{x} + 1)}{(\sqrt{x} + 1)^2} = \frac{\sqrt{x} — 1}{\sqrt{x} + 1}.$

Начнем с исходного выражения:

$$\frac{x — 1}{1 + 2\sqrt{x} + x}.$$

Заметим, что $1 + 2\sqrt{x} + x$ — это полное квадратное выражение. Мы можем его представить как:

$$1 + 2\sqrt{x} + x = (\sqrt{x} + 1)^2.$$

Подставляем это в исходное выражение:

$$\frac{x — 1}{1 + 2\sqrt{x} + x} = \frac{x — 1}{(\sqrt{x} + 1)^2}.$$

Теперь, числитель $x — 1$ можно преобразовать в форму произведения:

$$x — 1 = (\sqrt{x} — 1)(\sqrt{x} + 1).$$

Подставляем это в выражение:

$$\frac{x — 1}{(\sqrt{x} + 1)^2} = \frac{(\sqrt{x} — 1)(\sqrt{x} + 1)}{(\sqrt{x} + 1)^2}.$$

Теперь, сокращаем $(\sqrt{x} + 1)$ в числителе и знаменателе:

$$\frac{(\sqrt{x} — 1)(\sqrt{x} + 1)}{(\sqrt{x} + 1)^2} = \frac{\sqrt{x} — 1}{\sqrt{x} + 1}.$$

Ответ: $\frac{\sqrt{x} — 1}{\sqrt{x} + 1}$.

г) $\frac{4 — 4\sqrt{a} + a}{4 — a} = \frac{(2 — \sqrt{a})^2}{(2 — \sqrt{a})(2 + \sqrt{a})} = \frac{2 — \sqrt{a}}{2 + \sqrt{a}}.$

Рассмотрим исходное выражение:

$$\frac{4 — 4\sqrt{a} + a}{4 — a}.$$

Попробуем представить числитель как полный квадрат:

$$4 — 4\sqrt{a} + a = (2 — \sqrt{a})^2.$$

Подставляем это в исходное выражение:

$$\frac{4 — 4\sqrt{a} + a}{4 — a} = \frac{(2 — \sqrt{a})^2}{4 — a}.$$

Заметим, что знаменатель $4 — a$ можно разложить как разность квадратов:

$$4 — a = (2 — \sqrt{a})(2 + \sqrt{a}).$$

Подставляем это в выражение:

$$\frac{(2 — \sqrt{a})^2}{(2 — \sqrt{a})(2 + \sqrt{a})}.$$

Теперь можно сократить $(2 — \sqrt{a})$ в числителе и знаменателе:

$$\frac{2 — \sqrt{a}}{2 + \sqrt{a}}.$$

Ответ: $\frac{2 — \sqrt{a}}{2 + \sqrt{a}}$.

д) $\frac{1 — (\sqrt{a})^3}{1 — \sqrt{a}} = \frac{(1 — \sqrt{a})(1 + \sqrt{a} + a)}{1 — \sqrt{a}} = 1 + \sqrt{a} + a.$

Начнем с исходного выражения:

$$\frac{1 — (\sqrt{a})^3}{1 — \sqrt{a}}.$$

Заметим, что $1 — (\sqrt{a})^3$ — это разность кубов, и можно разложить по формуле разности кубов:

$$1 — (\sqrt{a})^3 = (1 — \sqrt{a})(1 + \sqrt{a} + a).$$

Подставляем это в исходное выражение:

$$\frac{1 — (\sqrt{a})^3}{1 — \sqrt{a}} = \frac{(1 — \sqrt{a})(1 + \sqrt{a} + a)}{1 — \sqrt{a}}.$$

Теперь можно сократить $1 — \sqrt{a}$ в числителе и знаменателе:

$$\frac{(1 — \sqrt{a})(1 + \sqrt{a} + a)}{1 — \sqrt{a}} = 1 + \sqrt{a} + a.$$

Ответ: $1 + \sqrt{a} + a$.

е) $\frac{9 — 3\sqrt{x} + x}{27 + (\sqrt{x})^3} = \frac{9 — 3\sqrt{x} + x}{(3 + \sqrt{x})(9 — 3\sqrt{x} + x)} = \frac{1}{3 + \sqrt{x}}.$

Рассмотрим исходное выражение:

$$\frac{9 — 3\sqrt{x} + x}{27 + (\sqrt{x})^3}.$$

Заметим, что $27 + (\sqrt{x})^3$ — это сумма кубов, и можем разложить ее как разность кубов:

$$27 + (\sqrt{x})^3 = (3 + \sqrt{x})(9 — 3\sqrt{x} + x).$$

Подставляем это в исходное выражение:

$$\frac{9 — 3\sqrt{x} + x}{27 + (\sqrt{x})^3} = \frac{9 — 3\sqrt{x} + x}{(3 + \sqrt{x})(9 — 3\sqrt{x} + x)}.$$

Теперь сокращаем $(9 — 3\sqrt{x} + x)$ в числителе и знаменателе:

$$\frac{1}{3 + \sqrt{x}}.$$

Ответ: $\frac{1}{3 + \sqrt{x}}$.