ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 416 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Упростите выражение:
а) v3/(3-v6)-v2/(3+v6);
б) v7+v7/(2+v7) ((2+v7)/(2-v7)-2-v7);
в) ((v5-5v2)/(v5+v2)+v10)(v5/v2+v2/v5);
г) (3v3-v5)/(3v3+v5)-(3v3+v5)/(3v3-v5).

Переписанный точный текст:

а) $\frac{\sqrt{3}}{3 — \sqrt{6}} — \frac{\sqrt{2}}{3 + \sqrt{6}} = \frac{\sqrt{3}(3 + \sqrt{6}) — \sqrt{2}(3 — \sqrt{6})}{(3 — \sqrt{6})(3 + \sqrt{6})} =$

$= \frac{3\sqrt{3} + \sqrt{18} — 3\sqrt{2} + \sqrt{12}}{9 — 6} = \frac{3\sqrt{3} + 3\sqrt{2} — 3\sqrt{2} + 2\sqrt{3}}{3} = \frac{5\sqrt{3}}{3}.$

б) $\sqrt{7} + \frac{\sqrt{7}}{2 + \sqrt{7}} \cdot \frac{2 + \sqrt{7} — (2 + \sqrt{7})(2 — \sqrt{7})}{2 — \sqrt{7}} = \sqrt{7} + \frac{\sqrt{7}}{2 + \sqrt{7}} \cdot \frac{2 + \sqrt{7} — 4 + 7}{2 — \sqrt{7}} =$

$= \sqrt{7} + \frac{\sqrt{7}}{2 + \sqrt{7}} \cdot \frac{5 + \sqrt{7}}{2 — \sqrt{7}} = \sqrt{7} + \frac{\sqrt{7}(5 + \sqrt{7})}{(2 + \sqrt{7})(2 — \sqrt{7})} =$

$= \sqrt{7} + \frac{5\sqrt{7} + 7}{4 — 7} = \sqrt{7} + \frac{-3\sqrt{7} + 5\sqrt{7} + 7}{-3} = \frac{2\sqrt{7}(4 — 7)}{-3(2 — \sqrt{7})} =$

$= \frac{\sqrt{7}(4 — 7)}{-3(2 — \sqrt{7})} = \frac{-3\sqrt{7}}{-3(2 — \sqrt{7})} = \frac{\sqrt{7}}{2 — \sqrt{7}}.$

в) $\left( \frac{\sqrt{5} — 5\sqrt{2}}{\sqrt{5} + \sqrt{2}} + \sqrt{10} \right) \left( \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} + \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} \right) =$

$= \frac{\sqrt{5} — 5\sqrt{2} + \sqrt{50} + \sqrt{20}}{\sqrt{5} + \sqrt{2}} \cdot \frac{(\sqrt{5})^2 + (\sqrt{2})^2}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5} — 5\sqrt{2} + 5\sqrt{2} + 2\sqrt{5}}{\sqrt{5} + \sqrt{2}} \cdot \frac{5 + 2}{\sqrt{10}} =$

$= \frac{3\sqrt{5}}{\sqrt{5} + \sqrt{2}} \cdot \frac{7}{\sqrt{10}} = \frac{3\sqrt{5} \cdot 7}{\sqrt{10}(\sqrt{5} + \sqrt{2})} = \frac{21\sqrt{5}}{\sqrt{50} + \sqrt{20}} = \frac{21}{\sqrt{10} + 2}.$

г) $\frac{3\sqrt{3} — \sqrt{5}}{3\sqrt{3} + \sqrt{5}} — \frac{3\sqrt{3} + \sqrt{5}}{3\sqrt{3} — \sqrt{5}} = \frac{(3\sqrt{3} — \sqrt{5})^2 — (3\sqrt{3} + \sqrt{5})^2}{(3\sqrt{3} + \sqrt{5})(3\sqrt{3} — \sqrt{5})} =$

$= \frac{9 \cdot 3 — 6\sqrt{15} + 5 — 9 \cdot 3 — 6\sqrt{15} — 5}{9 \cdot 3 — 5} = \frac{-12\sqrt{15}}{27 — 5} = \frac{-12\sqrt{15}}{22} = -\frac{6\sqrt{15}}{11}.$

а) $\frac{\sqrt{3}}{3 — \sqrt{6}} — \frac{\sqrt{2}}{3 + \sqrt{6}}$

Нам нужно упростить выражение:

$$\frac{\sqrt{3}}{3 — \sqrt{6}} — \frac{\sqrt{2}}{3 + \sqrt{6}}.$$

Шаг 1: Умножение на сопряжённое выражение

Для удобства, умножим числитель и знаменатель каждого выражения на сопряжённое выражение:

Для первого дроби умножим на $3 + \sqrt{6}$.

Для второго дроби умножим на $3 — \sqrt{6}$.

Получаем:

$$\frac{\sqrt{3}}{3 — \sqrt{6}} \cdot \frac{3 + \sqrt{6}}{3 + \sqrt{6}} — \frac{\sqrt{2}}{3 + \sqrt{6}} \cdot \frac{3 — \sqrt{6}}{3 — \sqrt{6}}.$$

Шаг 2: Упрощение

Теперь упростим выражения числителей и знаменателей.

Числитель для первой дроби:

$$\sqrt{3}(3 + \sqrt{6}) = 3\sqrt{3} + \sqrt{18} = 3\sqrt{3} + 3\sqrt{2}.$$

Числитель для второй дроби:

$$\sqrt{2}(3 — \sqrt{6}) = 3\sqrt{2} — \sqrt{12} = 3\sqrt{2} — 2\sqrt{3}.$$

Знаменатели:

$$(3 — \sqrt{6})(3 + \sqrt{6}) = 3^2 — (\sqrt{6})^2 = 9 — 6 = 3.$$

Теперь подставим полученные выражения в итоговое выражение:

$$\frac{3\sqrt{3} + 3\sqrt{2}}{3} — \frac{3\sqrt{2} — 2\sqrt{3}}{3}.$$

Шаг 3: Упрощение

Теперь вычитаем дроби:

$$\frac{3\sqrt{3} + 3\sqrt{2} — 3\sqrt{2} + 2\sqrt{3}}{3} = \frac{5\sqrt{3}}{3}.$$

Ответ:

$$\frac{\sqrt{3}}{3 — \sqrt{6}} — \frac{\sqrt{2}}{3 + \sqrt{6}} = \frac{5\sqrt{3}}{3}.$$

б) $\sqrt{7} + \frac{\sqrt{7}}{2 + \sqrt{7}} \cdot \frac{2 + \sqrt{7} — (2 + \sqrt{7})(2 — \sqrt{7})}{2 — \sqrt{7}}$

Нам нужно упростить выражение:

$$\sqrt{7} + \frac{\sqrt{7}}{2 + \sqrt{7}} \cdot \frac{2 + \sqrt{7} — (2 + \sqrt{7})(2 — \sqrt{7})}{2 — \sqrt{7}}.$$

Шаг 1: Умножение на сопряжённое выражение

Для упрощения умножим числитель и знаменатель на сопряжённое выражение. Мы начнём с раскрытия выражений в числителе.

Вычислим $(2 + \sqrt{7})(2 — \sqrt{7})$:

$$(2 + \sqrt{7})(2 — \sqrt{7}) = 2^2 — (\sqrt{7})^2 = 4 — 7 = -3.$$

Теперь подставим это в исходное выражение:

$$\frac{\sqrt{7}}{2 + \sqrt{7}} \cdot \frac{2 + \sqrt{7} — (-3)}{2 — \sqrt{7}} = \frac{\sqrt{7}}{2 + \sqrt{7}} \cdot \frac{2 + \sqrt{7} + 3}{2 — \sqrt{7}}.$$

Шаг 2: Упростим числитель

Числитель:

$$2 + \sqrt{7} + 3 = 5 + \sqrt{7}.$$

Теперь подставим это в выражение:

$$\frac{\sqrt{7}}{2 + \sqrt{7}} \cdot \frac{5 + \sqrt{7}}{2 — \sqrt{7}}.$$

Шаг 3: Умножение и упрощение

Теперь умножим числители и знаменатели:

$$= \sqrt{7} \cdot \frac{5 + \sqrt{7}}{(2 + \sqrt{7})(2 — \sqrt{7})}.$$

Знаменатель:

$$(2 + \sqrt{7})(2 — \sqrt{7}) = 4 — 7 = -3.$$

Теперь подставим это в выражение:

$$\frac{\sqrt{7}(5 + \sqrt{7})}{-3}.$$

Шаг 4: Упрощение

Раскроем числитель:

$$= \frac{5\sqrt{7} + 7}{-3}.$$

Теперь выразим:

$$= \frac{-5\sqrt{7} — 7}{3} = \frac{5\sqrt{7} + 7}{3}.$$

Ответ:

$$\sqrt{7} + \frac{\sqrt{7}}{2 + \sqrt{7}} \cdot \frac{2 + \sqrt{7} — (2 + \sqrt{7})(2 — \sqrt{7})}{2 — \sqrt{7}} = \frac{5\sqrt{7} + 7}{3}.$$

в) $\left( \frac{\sqrt{5} — 5\sqrt{2}}{\sqrt{5} + \sqrt{2}} + \sqrt{10} \right) \left( \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} + \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} \right)$

Нам нужно упростить выражение:

$$\left( \frac{\sqrt{5} — 5\sqrt{2}}{\sqrt{5} + \sqrt{2}} + \sqrt{10} \right) \left( \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} + \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} \right).$$

Шаг 1: Умножение первой части

Рассмотрим первую часть:

$$\frac{\sqrt{5} — 5\sqrt{2}}{\sqrt{5} + \sqrt{2}} + \sqrt{10}.$$

Преобразуем $\sqrt{10}$:

$$\sqrt{10} = \sqrt{5 \cdot 2} = \sqrt{5} \cdot \sqrt{2}.$$

Теперь подставим это в выражение:

$$\frac{\sqrt{5} — 5\sqrt{2}}{\sqrt{5} + \sqrt{2}} + \sqrt{5} \cdot \sqrt{2}.$$

Шаг 2: Умножение второй части

Вторая часть выражения:

$$\left( \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} + \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} \right).$$

Рассмотрим это:

$$= \frac{\sqrt{5} \cdot \sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot \sqrt{5}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{5}} = \frac{5 + 2}{\sqrt{10}}.$$

Теперь у нас есть:

$$\frac{7}{\sqrt{10}}.$$

Шаг 3: Умножаем обе части

Теперь умножаем обе части:

$$\left( \frac{\sqrt{5} — 5\sqrt{2}}{\sqrt{5} + \sqrt{2}} + \sqrt{10} \right) \cdot \frac{7}{\sqrt{10}}.$$

Ответ:

$$\frac{21}{\sqrt{10} + 2}.$$

г) Решение для $\frac{3\sqrt{3} — \sqrt{5}}{3\sqrt{3} + \sqrt{5}} — \frac{3\sqrt{3} + \sqrt{5}}{3\sqrt{3} — \sqrt{5}}$

Нам нужно упростить выражение:

$$\frac{3\sqrt{3} — \sqrt{5}}{3\sqrt{3} + \sqrt{5}} — \frac{3\sqrt{3} + \sqrt{5}}{3\sqrt{3} — \sqrt{5}}.$$

Шаг 1: Разность квадратов

Используем формулу разности квадратов:

$$\frac{(3\sqrt{3} — \sqrt{5})^2 — (3\sqrt{3} + \sqrt{5})^2}{(3\sqrt{3} + \sqrt{5})(3\sqrt{3} — \sqrt{5})}.$$

Шаг 2: Упрощение числителя

Раскроем квадрат разности и суммы:

$(3\sqrt{3} — \sqrt{5})^2 = 9 \cdot 3 — 6\sqrt{15} + 5 = 27 — 6\sqrt{15} + 5 = 32 — 6\sqrt{15}$,

$(3\sqrt{3} + \sqrt{5})^2 = 9 \cdot 3 + 6\sqrt{15} + 5 = 27 + 6\sqrt{15} + 5 = 32 + 6\sqrt{15}$.

Теперь вычислим разность:

$$(32 — 6\sqrt{15}) — (32 + 6\sqrt{15}) = -12\sqrt{15}.$$

Шаг 3: Упрощение знаменателя

Используем формулу разности квадратов для знаменателя:

$$(3\sqrt{3} + \sqrt{5})(3\sqrt{3} — \sqrt{5}) = (3\sqrt{3})^2 — (\sqrt{5})^2 = 27 — 5 = 22.$$

Шаг 4: Итоговое выражение

Теперь получаем:

$$\frac{-12\sqrt{15}}{22} = -\frac{6\sqrt{15}}{11}.$$

Ответ:

$$\frac{3\sqrt{3} — \sqrt{5}}{3\sqrt{3} + \sqrt{5}} — \frac{3\sqrt{3} + \sqrt{5}}{3\sqrt{3} — \sqrt{5}} = -\frac{6\sqrt{15}}{11}.$$

Итоговые ответы:

• $\frac{\sqrt{3}}{3 — \sqrt{6}} — \frac{\sqrt{2}}{3 + \sqrt{6}} = \frac{5\sqrt{3}}{3}$
• $\sqrt{7} + \frac{\sqrt{7}}{2 + \sqrt{7}} \cdot \frac{2 + \sqrt{7} — (2 + \sqrt{7})(2 — \sqrt{7})}{2 — \sqrt{7}} = \frac{5\sqrt{7} + 7}{3}$
• $\left( \frac{\sqrt{5} — 5\sqrt{2}}{\sqrt{5} + \sqrt{2}} + \sqrt{10} \right) \left( \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} + \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} \right) = \frac{21}{\sqrt{10} + 2}$
• $\frac{3\sqrt{3} — \sqrt{5}}{3\sqrt{3} + \sqrt{5}} — \frac{3\sqrt{3} + \sqrt{5}}{3\sqrt{3} — \sqrt{5}} = -\frac{6\sqrt{15}}{11}$