ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 416 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Упростите выражение:

а) $\frac{\sqrt{3}}{3 — \sqrt{6}} — \frac{\sqrt{2}}{3 + \sqrt{6}}$

б) $\sqrt{7} + \frac{\sqrt{7}}{2 + \sqrt{7}} \left( \frac{2 + \sqrt{7}}{2 — \sqrt{7}} — 2 — \sqrt{7} \right)$

в) $\left( \frac{\sqrt{5} — 5\sqrt{2}}{\sqrt{5} + \sqrt{2}} + \sqrt{10} \right) \left( \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} + \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} \right)$

г) $\frac{3\sqrt{3} — \sqrt{5}}{3\sqrt{3} + \sqrt{5}} \cdot \frac{3\sqrt{3} + \sqrt{5}}{3\sqrt{3} — \sqrt{5}}$

а) $\frac{\sqrt{3}}{3-\sqrt{6}}-\frac{\sqrt{2}}{3+\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{3}(3+\sqrt{6})-\sqrt{2}(3-\sqrt{6})}{(3-\sqrt{6})(3+\sqrt{6})}=$

$=\frac{3\sqrt{3}+\sqrt{18}-3\sqrt{2}+\sqrt{12}}{9-6}=\frac{3\sqrt{3}+3\sqrt{2}-3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}{3}=\frac{5\sqrt{3}}{3}\mathrm{.}$

б)  $\sqrt{7}+\frac{\sqrt{7}}{2+\sqrt{7}}\cdot \frac{2+\sqrt{7}-(2+\sqrt{7})(2-\sqrt{7})}{2-\sqrt{7}}=\sqrt{7}+\frac{\sqrt{7}}{2+\sqrt{7}}\cdot \frac{2+\sqrt{7}-4+7}{2-\sqrt{7}}=$

$=\sqrt{7}+\frac{\sqrt{7}}{2+\sqrt{7}}\cdot \frac{5+\sqrt{7}}{2-\sqrt{7}}=\sqrt{7}+\frac{\sqrt{7}(5+\sqrt{7})}{(2+\sqrt{7})(2-\sqrt{7})}=$

$=\sqrt{7}+\frac{5\sqrt{7}+7}{4-7}=\sqrt{7}+\frac{-3\sqrt{7}+5\sqrt{7}+7}{-3}=\frac{2\sqrt{7}(4-7)}{-3(2-\sqrt{7})}=$

$=\frac{\sqrt{7}(4-7)}{-3(2-\sqrt{7})}=\frac{-3\sqrt{7}}{-3(2-\sqrt{7})}=\frac{\sqrt{7}}{2-\sqrt{7}}\mathrm{.}$

в) $(\frac{\sqrt{5}-5\sqrt{2}}{\sqrt{5}+\sqrt{2}}+\sqrt{10})(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}+\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}})=$

$=\frac{\sqrt{5}-5\sqrt{2}+\sqrt{50}+\sqrt{20}}{\sqrt{5}+\sqrt{2}}\cdot \frac{(\sqrt{5}{)}^2+(\sqrt{2}{)}^2}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}-5\sqrt{2}+5\sqrt{2}+2\sqrt{5}}{\sqrt{5}+\sqrt{2}}\cdot \frac{5+2}{\sqrt{10}}=$

$=\frac{3\sqrt{5}}{\sqrt{5}+\sqrt{2}}\cdot \frac{7}{\sqrt{10}}=\frac{3\sqrt{5}\cdot 7}{\sqrt{10}(\sqrt{5}+\sqrt{2})}=\frac{21\sqrt{5}}{\sqrt{50}+\sqrt{20}}=\frac{21}{\sqrt{10}+2}\mathrm{.}$

г) $\frac{3\sqrt{3}-\sqrt{5}}{3\sqrt{3}+\sqrt{5}}-\frac{3\sqrt{3}+\sqrt{5}}{3\sqrt{3}-\sqrt{5}}=\frac{(3\sqrt{3}-\sqrt{5}{)}^2-(3\sqrt{3}+\sqrt{5}{)}^2}{(3\sqrt{3}+\sqrt{5})(3\sqrt{3}-\sqrt{5})}=$

$=\frac{9\cdot 3-6\sqrt{15}+5-9\cdot 3-6\sqrt{15}-5}{9\cdot 3-5}=\frac{-12\sqrt{15}}{27-5}=\frac{-12\sqrt{15}}{22}=-\frac{6\sqrt{15}}{11}\mathrm{.}$

а)  $\frac{\sqrt{3}}{3-\sqrt{6}}-\frac{\sqrt{2}}{3+\sqrt{6}}$

Нам нужно упростить выражение:

$$\frac{\sqrt{3}}{3-\sqrt{6}}-\frac{\sqrt{2}}{3+\sqrt{6}}\mathrm{.}$$

Шаг 1: Умножение на сопряжённое выражение

Для удобства, умножим числитель и знаменатель каждого выражения на сопряжённое выражение:

Для первого дроби умножим на $3+\sqrt{6}$.

Для второго дроби умножим на $3-\sqrt{6}$.

Получаем:

$$\frac{\sqrt{3}}{3-\sqrt{6}}\cdot \frac{3+\sqrt{6}}{3+\sqrt{6}}-\frac{\sqrt{2}}{3+\sqrt{6}}\cdot \frac{3-\sqrt{6}}{3-\sqrt{6}}\mathrm{.}$$

Шаг 2: Упрощение

Теперь упростим выражения числителей и знаменателей.

Числитель для первой дроби:

$$\sqrt{3}(3+\sqrt{6})=3\sqrt{3}+\sqrt{18}=3\sqrt{3}+3\sqrt{2}\mathrm{.}$$

Числитель для второй дроби:

$$\sqrt{2}(3-\sqrt{6})=3\sqrt{2}-\sqrt{12}=3\sqrt{2}-2\sqrt{3}\mathrm{.}$$

Знаменатели:

$$(3-\sqrt{6})(3+\sqrt{6})=3^2-(\sqrt{6}{)}^2=9-6=3.$$

Теперь подставим полученные выражения в итоговое выражение:

$$\frac{3\sqrt{3}+3\sqrt{2}}{3}-\frac{3\sqrt{2}-2\sqrt{3}}{3}\mathrm{.}$$

Шаг 3: Упрощение

Теперь вычитаем дроби:

$$\frac{3\sqrt{3}+3\sqrt{2}-3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}{3}=\frac{5\sqrt{3}}{3}\mathrm{.}$$

Ответ:

$$\frac{\sqrt{3}}{3-\sqrt{6}}-\frac{\sqrt{2}}{3+\sqrt{6}}=\frac{5\sqrt{3}}{3}\mathrm{.}$$

б) $\sqrt{7}+\frac{\sqrt{7}}{2+\sqrt{7}}\cdot \frac{2+\sqrt{7}-(2+\sqrt{7})(2-\sqrt{7})}{2-\sqrt{7}}$

Нам нужно упростить выражение:

$$\sqrt{7}+\frac{\sqrt{7}}{2+\sqrt{7}}\cdot \frac{2+\sqrt{7}-(2+\sqrt{7})(2-\sqrt{7})}{2-\sqrt{7}}\mathrm{.}$$

Шаг 1: Умножение на сопряжённое выражение

Для упрощения умножим числитель и знаменатель на сопряжённое выражение. Мы начнём с раскрытия выражений в числителе.

Вычислим $(2+\sqrt{7})(2-\sqrt{7})$:

$$(2+\sqrt{7})(2-\sqrt{7})=2^2-(\sqrt{7}{)}^2=4-7=-3.$$

Теперь подставим это в исходное выражение:

$$\frac{\sqrt{7}}{2+\sqrt{7}}\cdot \frac{2+\sqrt{7}-(-3)}{2-\sqrt{7}}=\frac{\sqrt{7}}{2+\sqrt{7}}\cdot \frac{2+\sqrt{7}+3}{2-\sqrt{7}}\mathrm{.}$$

Шаг 2: Упростим числитель

Числитель:

$$2+\sqrt{7}+3=5+\sqrt{7}\mathrm{.}$$

Теперь подставим это в выражение:

$$\frac{\sqrt{7}}{2+\sqrt{7}}\cdot \frac{5+\sqrt{7}}{2-\sqrt{7}}\mathrm{.}$$

Шаг 3: Умножение и упрощение

Теперь умножим числители и знаменатели:

$$=\sqrt{7}\cdot \frac{5+\sqrt{7}}{(2+\sqrt{7})(2-\sqrt{7})}\mathrm{.}$$

Знаменатель:

$$(2+\sqrt{7})(2-\sqrt{7})=4-7=-3.$$

Теперь подставим это в выражение:

$$\frac{\sqrt{7}(5+\sqrt{7})}{-3}\mathrm{.}$$

Шаг 4: Упрощение

Раскроем числитель:

$$=\frac{5\sqrt{7}+7}{-3}\mathrm{.}$$

Теперь выразим:

$$=\frac{-5\sqrt{7}-7}{3}=\frac{5\sqrt{7}+7}{3}\mathrm{.}$$

Ответ:

$$\sqrt{7}+\frac{\sqrt{7}}{2+\sqrt{7}}\cdot \frac{2+\sqrt{7}-(2+\sqrt{7})(2-\sqrt{7})}{2-\sqrt{7}}=\frac{5\sqrt{7}+7}{3}\mathrm{.}$$

в) $(\frac{\sqrt{5}-5\sqrt{2}}{\sqrt{5}+\sqrt{2}}+\sqrt{10})(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}+\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}})$

Нам нужно упростить выражение:

$$(\frac{\sqrt{5}-5\sqrt{2}}{\sqrt{5}+\sqrt{2}}+\sqrt{10})(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}+\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}})\mathrm{.}$$

Шаг 1: Умножение первой части

Рассмотрим первую часть:

$$\frac{\sqrt{5}-5\sqrt{2}}{\sqrt{5}+\sqrt{2}}+\sqrt{10}\mathrm{.}$$

Преобразуем $\sqrt{10}$:

$$\sqrt{10}=\sqrt{5\cdot 2}=\sqrt{5}\cdot \sqrt{2}\mathrm{.}$$

Теперь подставим это в выражение:

$$\frac{\sqrt{5}-5\sqrt{2}}{\sqrt{5}+\sqrt{2}}+\sqrt{5}\cdot \sqrt{2}\mathrm{.}$$

Шаг 2: Умножение второй части

Вторая часть выражения:

$$(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}+\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}})\mathrm{.}$$

Рассмотрим это:

$$=\frac{\sqrt{5}\cdot \sqrt{2}+\sqrt{2}\cdot \sqrt{5}}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{5}}=\frac{5+2}{\sqrt{10}}\mathrm{.}$$

Теперь у нас есть:

$$\frac{7}{\sqrt{10}}\mathrm{.}$$

Шаг 3: Умножаем обе части

Теперь умножаем обе части:

$$(\frac{\sqrt{5}-5\sqrt{2}}{\sqrt{5}+\sqrt{2}}+\sqrt{10})\cdot \frac{7}{\sqrt{10}}\mathrm{.}$$

Ответ:

$$\frac{21}{\sqrt{10}+2}\mathrm{.}$$

г) $\frac{3\sqrt{3}-\sqrt{5}}{3\sqrt{3}+\sqrt{5}}-\frac{3\sqrt{3}+\sqrt{5}}{3\sqrt{3}-\sqrt{5}}$

Нам нужно упростить выражение:

$$\frac{3\sqrt{3}-\sqrt{5}}{3\sqrt{3}+\sqrt{5}}-\frac{3\sqrt{3}+\sqrt{5}}{3\sqrt{3}-\sqrt{5}}\mathrm{.}$$

Шаг 1: Разность квадратов

Используем формулу разности квадратов:

$$\frac{(3\sqrt{3}-\sqrt{5}{)}^2-(3\sqrt{3}+\sqrt{5}{)}^2}{(3\sqrt{3}+\sqrt{5})(3\sqrt{3}-\sqrt{5})}\mathrm{.}$$

Шаг 2: Упрощение числителя

Раскроем квадрат разности и суммы:

$(3\sqrt{3}-\sqrt{5}{)}^2=9\cdot 3-6\sqrt{15}+5=27-6\sqrt{15}+5=32-6\sqrt{15}$,

$(3\sqrt{3}+\sqrt{5}{)}^2=9\cdot 3+6\sqrt{15}+5=27+6\sqrt{15}+5=32+6\sqrt{15}$.

Теперь вычислим разность:

$$(32-6\sqrt{15})-(32+6\sqrt{15})=-12\sqrt{15}\mathrm{.}$$

Шаг 3: Упрощение знаменателя

Используем формулу разности квадратов для знаменателя:

$$(3\sqrt{3}+\sqrt{5})(3\sqrt{3}-\sqrt{5})=(3\sqrt{3}{)}^2-(\sqrt{5}{)}^2=27-5=22.$$

Шаг 4: Итоговое выражение

Теперь получаем:

$$\frac{-12\sqrt{15}}{22}=-\frac{6\sqrt{15}}{11}\mathrm{.}$$

Ответ:

$$\frac{3\sqrt{3}-\sqrt{5}}{3\sqrt{3}+\sqrt{5}}-\frac{3\sqrt{3}+\sqrt{5}}{3\sqrt{3}-\sqrt{5}}=-\frac{6\sqrt{15}}{11}\mathrm{.}$$

Итоговые ответы:

• $\frac{\sqrt{3}}{3-\sqrt{6}}-\frac{\sqrt{2}}{3+\sqrt{6}}=\frac{5\sqrt{3}}{3}$
• $\sqrt{7}+\frac{\sqrt{7}}{2+\sqrt{7}}\cdot \frac{2+\sqrt{7}-(2+\sqrt{7})(2-\sqrt{7})}{2-\sqrt{7}}=\frac{5\sqrt{7}+7}{3}$
• $(\frac{\sqrt{5}-5\sqrt{2}}{\sqrt{5}+\sqrt{2}}+\sqrt{10})(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}+\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}})=\frac{21}{\sqrt{10}+2}$
• $\frac{3\sqrt{3}-\sqrt{5}}{3\sqrt{3}+\sqrt{5}}-\frac{3\sqrt{3}+\sqrt{5}}{3\sqrt{3}-\sqrt{5}}=-\frac{6\sqrt{15}}{11}$