ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 415 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Освободитесь от иррациональности в знаменателе:

а) $\frac{\sqrt{3}}{5 + 3\sqrt{3}}$

б) $\frac{\sqrt{2}}{5\sqrt{2} — 6}$

в) $\frac{\sqrt{7} + 2}{\sqrt{7} — 2}$

г) $\frac{\sqrt{10} — 3\sqrt{2}}{\sqrt{10} + 3\sqrt{2}}$

а) $\frac{\sqrt{3}}{5+3\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}(5-3\sqrt{3})}{(5+3\sqrt{3})(5-3\sqrt{3})}=\frac{5\sqrt{3}-3\cdot 3}{25-9\cdot 3}=$

$=\frac{5\sqrt{3}-9}{25-27}=\frac{5\sqrt{3}-9}{-2}=\frac{9-5\sqrt{3}}{2}\mathrm{.}$

б) $\frac{\sqrt{2}}{5\sqrt{2}-6}=\frac{\sqrt{2}(5\sqrt{2}+6)}{(5\sqrt{2}-6)(5\sqrt{2}+6)}=\frac{5\cdot 2+6\sqrt{2}}{25\cdot 2-36}=$

$=\frac{10+6\sqrt{2}}{50-36}=\frac{10+6\sqrt{2}}{14}=\frac{2(5+3\sqrt{2})}{14}=\frac{5+3\sqrt{2}}{7}\mathrm{.}$

в) $\frac{\sqrt{7}+2}{\sqrt{7}-2}=\frac{(\sqrt{7}+2)(\sqrt{7}+2)}{(\sqrt{7}-2)(\sqrt{7}+2)}=\frac{7+4\sqrt{7}+4}{7-4}=\frac{11+4\sqrt{7}}{3}\mathrm{.}$

г) $\frac{\sqrt{10}-3\sqrt{2}}{\sqrt{10}+3\sqrt{2}}=\frac{(\sqrt{10}-3\sqrt{2})(\sqrt{10}-3\sqrt{2})}{(\sqrt{10}+3\sqrt{2})(\sqrt{10}-3\sqrt{2})}=$

$=\frac{10-6\sqrt{20}+9\cdot 2}{10-9\cdot 2}=\frac{10-6\cdot 2\sqrt{5}+18}{10-18}=\frac{28-12\sqrt{5}}{-8}=$

$=\frac{4(3\sqrt{5}-7)}{8}=\frac{3\sqrt{5}-7}{2}\mathrm{.}$

а) Решение для $\frac{\sqrt{3}}{5+3\sqrt{3}}$

Нам нужно упростить выражение:

$$\frac{\sqrt{3}}{5+3\sqrt{3}}\mathrm{.}$$

Шаг 1: Умножение на сопряжённое выражение

Чтобы избавиться от корня в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на сопряжённое выражение к знаменателю $5+3\sqrt{3}$. Сопряжённое выражение для $5+3\sqrt{3}$ будет $5-3\sqrt{3}$:

$$\frac{\sqrt{3}}{5+3\sqrt{3}}\cdot \frac{5-3\sqrt{3}}{5-3\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}(5-3\sqrt{3})}{(5+3\sqrt{3})(5-3\sqrt{3})}\mathrm{.}$$

Шаг 2: Упрощение числителя и знаменателя

Числитель:

$$\sqrt{3}(5-3\sqrt{3})=5\sqrt{3}-3\cdot 3=5\sqrt{3}-9.$$

Знаменатель:
Это выражение вида $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$, то есть:

$$(5+3\sqrt{3})(5-3\sqrt{3})=5^2-(3\sqrt{3}{)}^2=25-9\cdot 3=25-27=-2.$$

Теперь выражение выглядит так:

$$\frac{5\sqrt{3}-9}{-2}\mathrm{.}$$

Шаг 3: Упрощение

Можно разделить на $-2$:

$$\frac{5\sqrt{3}-9}{-2}=\frac{9-5\sqrt{3}}{2}\mathrm{.}$$

Ответ:

$$\frac{\sqrt{3}}{5+3\sqrt{3}}=\frac{9-5\sqrt{3}}{2}\mathrm{.}$$

б) Решение для $\frac{\sqrt{2}}{5\sqrt{2}-6}$

Нам нужно упростить выражение:

$$\frac{\sqrt{2}}{5\sqrt{2}-6}\mathrm{.}$$

Шаг 1: Умножение на сопряжённое выражение

Чтобы избавиться от корня в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на сопряжённое выражение $5\sqrt{2}+6$:

$$\frac{\sqrt{2}}{5\sqrt{2}-6}\cdot \frac{5\sqrt{2}+6}{5\sqrt{2}+6}=\frac{\sqrt{2}(5\sqrt{2}+6)}{(5\sqrt{2}-6)(5\sqrt{2}+6)}\mathrm{.}$$

Шаг 2: Упрощение числителя и знаменателя

Числитель:

$$\sqrt{2}(5\sqrt{2}+6)=5\cdot 2+6\sqrt{2}=10+6\sqrt{2}\mathrm{.}$$

Знаменатель:
Мы используем формулу $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$:

$$(5\sqrt{2}{)}^2-6^2=25\cdot 2-36=50-36=14.$$

Теперь выражение выглядит так:

$$\frac{10+6\sqrt{2}}{14}\mathrm{.}$$

Шаг 3: Упрощение

Мы можем упростить дробь, разделив числитель и знаменатель на 2:

$$\frac{10+6\sqrt{2}}{14}=\frac{2(5+3\sqrt{2})}{14}=\frac{5+3\sqrt{2}}{7}\mathrm{.}$$

Ответ:

$$\frac{\sqrt{2}}{5\sqrt{2}-6}=\frac{5+3\sqrt{2}}{7}\mathrm{.}$$

в) Решение для $\frac{\sqrt{7}+2}{\sqrt{7}-2}$

Нам нужно упростить выражение:

$$\frac{\sqrt{7}+2}{\sqrt{7}-2}\mathrm{.}$$

Шаг 1: Умножение на сопряжённое выражение

Умножим числитель и знаменатель на сопряжённое выражение $\sqrt{7}+2$:

$$\frac{\sqrt{7}+2}{\sqrt{7}-2}\cdot \frac{\sqrt{7}+2}{\sqrt{7}+2}=\frac{(\sqrt{7}+2)(\sqrt{7}+2)}{(\sqrt{7}-2)(\sqrt{7}+2)}\mathrm{.}$$

Шаг 2: Упрощение числителя и знаменателя

Числитель:

$$(\sqrt{7}+2{)}^2=(\sqrt{7}{)}^2+2\cdot \sqrt{7}\cdot 2+2^2=7+4\sqrt{7}+4=11+4\sqrt{7}\mathrm{.}$$

Знаменатель:
Используем формулу $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$:

$$(\sqrt{7}{)}^2-2^2=7-4=3.$$

Теперь выражение выглядит так:

$$\frac{11+4\sqrt{7}}{3}\mathrm{.}$$

Ответ:

$$\frac{\sqrt{7}+2}{\sqrt{7}-2}=\frac{11+4\sqrt{7}}{3}\mathrm{.}$$

г) Решение для $\frac{\sqrt{10}-3\sqrt{2}}{\sqrt{10}+3\sqrt{2}}$

Нам нужно упростить выражение:

$$\frac{\sqrt{10}-3\sqrt{2}}{\sqrt{10}+3\sqrt{2}}\mathrm{.}$$

Шаг 1: Умножение на сопряжённое выражение

Умножим числитель и знаменатель на сопряжённое выражение $\sqrt{10}-3\sqrt{2}$:

$$\frac{\sqrt{10}-3\sqrt{2}}{\sqrt{10}+3\sqrt{2}}\cdot \frac{\sqrt{10}-3\sqrt{2}}{\sqrt{10}-3\sqrt{2}}=\frac{(\sqrt{10}-3\sqrt{2}{)}^2}{(\sqrt{10}+3\sqrt{2})(\sqrt{10}-3\sqrt{2})}\mathrm{.}$$

Шаг 2: Упрощение числителя и знаменателя

Числитель:
Используем формулу квадрата разности:

$$(\sqrt{10}-3\sqrt{2}{)}^2=(\sqrt{10}{)}^2-2\cdot \sqrt{10}\cdot 3\sqrt{2}+(3\sqrt{2}{)}^2=10-6\sqrt{20}+18=28-12\sqrt{5}\mathrm{.}$$

Знаменатель:
Используем формулу $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$:

$$(\sqrt{10}{)}^2-(3\sqrt{2}{)}^2=10-9\cdot 2=10-18=-8.$$

Теперь выражение выглядит так:

$$\frac{28-12\sqrt{5}}{-8}\mathrm{.}$$

Шаг 3: Упрощение

Теперь разделим числитель и знаменатель на $-8$:

$$\frac{28-12\sqrt{5}}{-8}=\frac{4(3\sqrt{5}-7)}{8}=\frac{3\sqrt{5}-7}{2}\mathrm{.}$$

Ответ:

$$\frac{\sqrt{10}-3\sqrt{2}}{\sqrt{10}+3\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{5}-7}{2}\mathrm{.}$$

Итоговые ответы:

• $\frac{\sqrt{3}}{5+3\sqrt{3}}=\frac{9-5\sqrt{3}}{2}$
• $\frac{\sqrt{2}}{5\sqrt{2}-6}=\frac{5+3\sqrt{2}}{7}$
• $\frac{\sqrt{7}+2}{\sqrt{7}-2}=\frac{11+4\sqrt{7}}{3}$
• $\frac{\sqrt{10}-3\sqrt{2}}{\sqrt{10}+3\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{5}-7}{2}$