ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 415 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Освободитесь от иррациональности в знаменателе:
а) v3/(5+3v3);
б) v2/(5v2-6);
в) (v7+2)/(v7-2);
г) (v10-3v2)/(v10+3v2).

а) $\frac{\sqrt{3}}{5 + 3\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}(5 — 3\sqrt{3})}{(5 + 3\sqrt{3})(5 — 3\sqrt{3})} = \frac{5\sqrt{3} — 3 \cdot 3}{25 — 9 \cdot 3} =$

$= \frac{5\sqrt{3} — 9}{25 — 27} = \frac{5\sqrt{3} — 9}{-2} = \frac{9 — 5\sqrt{3}}{2}.$

б) $\frac{\sqrt{2}}{5\sqrt{2} — 6} = \frac{\sqrt{2}(5\sqrt{2} + 6)}{(5\sqrt{2} — 6)(5\sqrt{2} + 6)} = \frac{5 \cdot 2 + 6\sqrt{2}}{25 \cdot 2 — 36} =$

$= \frac{10 + 6\sqrt{2}}{50 — 36} = \frac{10 + 6\sqrt{2}}{14} = \frac{2(5 + 3\sqrt{2})}{14} = \frac{5 + 3\sqrt{2}}{7}.$

в) $\frac{\sqrt{7} + 2}{\sqrt{7} — 2} = \frac{(\sqrt{7} + 2)(\sqrt{7} + 2)}{(\sqrt{7} — 2)(\sqrt{7} + 2)} = \frac{7 + 4\sqrt{7} + 4}{7 — 4} = \frac{11 + 4\sqrt{7}}{3}.$

г) $\frac{\sqrt{10} — 3\sqrt{2}}{\sqrt{10} + 3\sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{10} — 3\sqrt{2})(\sqrt{10} — 3\sqrt{2})}{(\sqrt{10} + 3\sqrt{2})(\sqrt{10} — 3\sqrt{2})} =$

$= \frac{10 — 6\sqrt{20} + 9 \cdot 2}{10 — 9 \cdot 2} = \frac{10 — 6 \cdot 2\sqrt{5} + 18}{10 — 18} = \frac{28 — 12\sqrt{5}}{-8} =$

$= \frac{4(3\sqrt{5} — 7)}{8} = \frac{3\sqrt{5} — 7}{2}.$

а) Решение для $\frac{\sqrt{3}}{5 + 3\sqrt{3}}$

Нам нужно упростить выражение:

$$\frac{\sqrt{3}}{5 + 3\sqrt{3}}.$$

Шаг 1: Умножение на сопряжённое выражение

Чтобы избавиться от корня в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на сопряжённое выражение к знаменателю $5 + 3\sqrt{3}$. Сопряжённое выражение для $5 + 3\sqrt{3}$ будет $5 — 3\sqrt{3}$:

$$\frac{\sqrt{3}}{5 + 3\sqrt{3}} \cdot \frac{5 — 3\sqrt{3}}{5 — 3\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}(5 — 3\sqrt{3})}{(5 + 3\sqrt{3})(5 — 3\sqrt{3})}.$$

Шаг 2: Упрощение числителя и знаменателя

Числитель:

$$\sqrt{3}(5 — 3\sqrt{3}) = 5\sqrt{3} — 3 \cdot 3 = 5\sqrt{3} — 9.$$

Знаменатель:
Это выражение вида $(a + b)(a — b) = a^2 — b^2$, то есть:

$$(5 + 3\sqrt{3})(5 — 3\sqrt{3}) = 5^2 — (3\sqrt{3})^2 = 25 — 9 \cdot 3 = 25 — 27 = -2.$$

Теперь выражение выглядит так:

$$\frac{5\sqrt{3} — 9}{-2}.$$

Шаг 3: Упрощение

Можно разделить на $-2$:

$$\frac{5\sqrt{3} — 9}{-2} = \frac{9 — 5\sqrt{3}}{2}.$$

Ответ:

$$\frac{\sqrt{3}}{5 + 3\sqrt{3}} = \frac{9 — 5\sqrt{3}}{2}.$$

б) Решение для $\frac{\sqrt{2}}{5\sqrt{2} — 6}$

Нам нужно упростить выражение:

$$\frac{\sqrt{2}}{5\sqrt{2} — 6}.$$

Шаг 1: Умножение на сопряжённое выражение

Чтобы избавиться от корня в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на сопряжённое выражение $5\sqrt{2} + 6$:

$$\frac{\sqrt{2}}{5\sqrt{2} — 6} \cdot \frac{5\sqrt{2} + 6}{5\sqrt{2} + 6} = \frac{\sqrt{2}(5\sqrt{2} + 6)}{(5\sqrt{2} — 6)(5\sqrt{2} + 6)}.$$

Шаг 2: Упрощение числителя и знаменателя

Числитель:

$$\sqrt{2}(5\sqrt{2} + 6) = 5 \cdot 2 + 6\sqrt{2} = 10 + 6\sqrt{2}.$$

Знаменатель:
Мы используем формулу $(a + b)(a — b) = a^2 — b^2$:

$$(5\sqrt{2})^2 — 6^2 = 25 \cdot 2 — 36 = 50 — 36 = 14.$$

Теперь выражение выглядит так:

$$\frac{10 + 6\sqrt{2}}{14}.$$

Шаг 3: Упрощение

Мы можем упростить дробь, разделив числитель и знаменатель на 2:

$$\frac{10 + 6\sqrt{2}}{14} = \frac{2(5 + 3\sqrt{2})}{14} = \frac{5 + 3\sqrt{2}}{7}.$$

Ответ:

$$\frac{\sqrt{2}}{5\sqrt{2} — 6} = \frac{5 + 3\sqrt{2}}{7}.$$

в) Решение для $\frac{\sqrt{7} + 2}{\sqrt{7} — 2}$

Нам нужно упростить выражение:

$$\frac{\sqrt{7} + 2}{\sqrt{7} — 2}.$$

Шаг 1: Умножение на сопряжённое выражение

Умножим числитель и знаменатель на сопряжённое выражение $\sqrt{7} + 2$:

$$\frac{\sqrt{7} + 2}{\sqrt{7} — 2} \cdot \frac{\sqrt{7} + 2}{\sqrt{7} + 2} = \frac{(\sqrt{7} + 2)(\sqrt{7} + 2)}{(\sqrt{7} — 2)(\sqrt{7} + 2)}.$$

Шаг 2: Упрощение числителя и знаменателя

Числитель:

$$(\sqrt{7} + 2)^2 = (\sqrt{7})^2 + 2 \cdot \sqrt{7} \cdot 2 + 2^2 = 7 + 4\sqrt{7} + 4 = 11 + 4\sqrt{7}.$$

Знаменатель:
Используем формулу $(a + b)(a — b) = a^2 — b^2$:

$$(\sqrt{7})^2 — 2^2 = 7 — 4 = 3.$$

Теперь выражение выглядит так:

$$\frac{11 + 4\sqrt{7}}{3}.$$

Ответ:

$$\frac{\sqrt{7} + 2}{\sqrt{7} — 2} = \frac{11 + 4\sqrt{7}}{3}.$$

г) Решение для $\frac{\sqrt{10} — 3\sqrt{2}}{\sqrt{10} + 3\sqrt{2}}$

Нам нужно упростить выражение:

$$\frac{\sqrt{10} — 3\sqrt{2}}{\sqrt{10} + 3\sqrt{2}}.$$

Шаг 1: Умножение на сопряжённое выражение

Умножим числитель и знаменатель на сопряжённое выражение $\sqrt{10} — 3\sqrt{2}$:

$$\frac{\sqrt{10} — 3\sqrt{2}}{\sqrt{10} + 3\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{10} — 3\sqrt{2}}{\sqrt{10} — 3\sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{10} — 3\sqrt{2})^2}{(\sqrt{10} + 3\sqrt{2})(\sqrt{10} — 3\sqrt{2})}.$$

Шаг 2: Упрощение числителя и знаменателя

Числитель:
Используем формулу квадрата разности:

$$(\sqrt{10} — 3\sqrt{2})^2 = (\sqrt{10})^2 — 2 \cdot \sqrt{10} \cdot 3\sqrt{2} + (3\sqrt{2})^2 = 10 — 6\sqrt{20} + 18 = 28 — 12\sqrt{5}.$$

Знаменатель:
Используем формулу $(a + b)(a — b) = a^2 — b^2$:

$$(\sqrt{10})^2 — (3\sqrt{2})^2 = 10 — 9 \cdot 2 = 10 — 18 = -8.$$

Теперь выражение выглядит так:

$$\frac{28 — 12\sqrt{5}}{-8}.$$

Шаг 3: Упрощение

Теперь разделим числитель и знаменатель на $-8$:

$$\frac{28 — 12\sqrt{5}}{-8} = \frac{4(3\sqrt{5} — 7)}{8} = \frac{3\sqrt{5} — 7}{2}.$$

Ответ:

$$\frac{\sqrt{10} — 3\sqrt{2}}{\sqrt{10} + 3\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{5} — 7}{2}.$$

Итоговые ответы:

• $\frac{\sqrt{3}}{5 + 3\sqrt{3}} = \frac{9 — 5\sqrt{3}}{2}$
• $\frac{\sqrt{2}}{5\sqrt{2} — 6} = \frac{5 + 3\sqrt{2}}{7}$
• $\frac{\sqrt{7} + 2}{\sqrt{7} — 2} = \frac{11 + 4\sqrt{7}}{3}$
• $\frac{\sqrt{10} — 3\sqrt{2}}{\sqrt{10} + 3\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{5} — 7}{2}$