ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 413 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Докажите, что:

а) $2\sqrt{300} + \sqrt{45} — 5\sqrt{48} = 3\sqrt{5}$

б) $3\sqrt{54} + \sqrt{96} — 2\sqrt{150} = 3\sqrt{6}$

в) $\sqrt{84} — (3\sqrt{7} + 2\sqrt{3}) \cdot \sqrt{7} = -21$

г) $\sqrt{72} — (2\sqrt{6} — 4\sqrt{3}) \cdot \sqrt{3} = 12$

а) $2\sqrt{300}+\sqrt{45}-5\sqrt{48}=2\cdot 10\sqrt{3}+3\sqrt{5}-5\cdot 4\sqrt{3}=$

$=20\sqrt{3}+3\sqrt{5}-20\sqrt{3}=3\sqrt{5};$

б) $3\sqrt{54}+\sqrt{96}-2\sqrt{150}=3\cdot 3\sqrt{6}+4\sqrt{6}-2\cdot 5\sqrt{6}=$

$=9\sqrt{6}+4\sqrt{6}-10\sqrt{6}=3\sqrt{6};$

в) $\sqrt{74}-(3\sqrt{7}+2\sqrt{3})\cdot \sqrt{7}=2\sqrt{21}-3\cdot 7-2\sqrt{21}=-21;$

г) $\sqrt{72}-(2\sqrt{6}-4\sqrt{3})\cdot \sqrt{3}=6\sqrt{2}-2\cdot 3\sqrt{2}+12=6\sqrt{2}-6\sqrt{2}+12=12.$

а) $2\sqrt{300}+\sqrt{45}-5\sqrt{48}$

Шаг 1: Разложение квадратных корней

Нам нужно упростить выражение:

$$2\sqrt{300}+\sqrt{45}-5\sqrt{48}\mathrm{.}$$

Начнём с разложения каждого из квадратных корней на множители.

Для $\sqrt{300}$:

$$300=100\times 3\Rightarrow \sqrt{300}=\sqrt{100\times 3}=\sqrt{100}\times \sqrt{3}=10\sqrt{3}\mathrm{.}$$

Для $\sqrt{45}$:

$$45=9\times 5\Rightarrow \sqrt{45}=\sqrt{9\times 5}=\sqrt{9}\times \sqrt{5}=3\sqrt{5}\mathrm{.}$$

Для $\sqrt{48}$:

$$48=16\times 3\Rightarrow \sqrt{48}=\sqrt{16\times 3}=\sqrt{16}\times \sqrt{3}=4\sqrt{3}\mathrm{.}$$

Шаг 2: Подставляем разложения в исходное выражение

Теперь подставим упрощённые выражения в исходное выражение:

$$2\sqrt{300}+\sqrt{45}-5\sqrt{48}=2\cdot 10\sqrt{3}+3\sqrt{5}-5\cdot 4\sqrt{3}\mathrm{.}$$

Шаг 3: Умножение и упрощение

Выполним умножение:

$$=20\sqrt{3}+3\sqrt{5}-20\sqrt{3}\mathrm{.}$$

Теперь видим, что $20\sqrt{3}-20\sqrt{3}=0$, и остаётся:

$$=3\sqrt{5}\mathrm{.}$$

Ответ:

$$2\sqrt{300}+\sqrt{45}-5\sqrt{48}=3\sqrt{5}\mathrm{.}$$

б) $3\sqrt{54}+\sqrt{96}-2\sqrt{150}$

Шаг 1: Разложение квадратных корней

Для $\sqrt{54}$:

$$54=9\times 6\Rightarrow \sqrt{54}=\sqrt{9\times 6}=\sqrt{9}\times \sqrt{6}=3\sqrt{6}\mathrm{.}$$

Для $\sqrt{96}$:

$$96=16\times 6\Rightarrow \sqrt{96}=\sqrt{16\times 6}=\sqrt{16}\times \sqrt{6}=4\sqrt{6}\mathrm{.}$$

Для $\sqrt{150}$:

$$150=25\times 6\Rightarrow \sqrt{150}=\sqrt{25\times 6}=\sqrt{25}\times \sqrt{6}=5\sqrt{6}\mathrm{.}$$

Шаг 2: Подставляем разложения в исходное выражение

Теперь подставим упрощённые выражения:

$$3\sqrt{54}+\sqrt{96}-2\sqrt{150}=3\cdot 3\sqrt{6}+4\sqrt{6}-2\cdot 5\sqrt{6}\mathrm{.}$$

Шаг 3: Умножение и упрощение

Выполним умножение:

$$=9\sqrt{6}+4\sqrt{6}-10\sqrt{6}\mathrm{.}$$

Теперь собираем подобные слагаемые:

$$9\sqrt{6}+4\sqrt{6}-10\sqrt{6}=(9+4-10)\sqrt{6}=3\sqrt{6}\mathrm{.}$$

Ответ:

$$3\sqrt{54}+\sqrt{96}-2\sqrt{150}=3\sqrt{6}\mathrm{.}$$

в) $\sqrt{74}-(3\sqrt{7}+2\sqrt{3})\cdot \sqrt{7}$

Шаг 1: Умножение внутри скобок

Нам нужно вычислить:

$$\sqrt{74}-(3\sqrt{7}+2\sqrt{3})\cdot \sqrt{7}\mathrm{.}$$

Рассмотрим умножение:

$$(3\sqrt{7}+2\sqrt{3})\cdot \sqrt{7}=3\sqrt{7}\cdot \sqrt{7}+2\sqrt{3}\cdot \sqrt{7}\mathrm{.}$$

$3\sqrt{7}\cdot \sqrt{7}=3\cdot 7=21$,

$2\sqrt{3}\cdot \sqrt{7}=2\sqrt{21}$.

Итак, получаем:

$$(3\sqrt{7}+2\sqrt{3})\cdot \sqrt{7}=21+2\sqrt{21}\mathrm{.}$$

Шаг 2: Подставляем в исходное выражение

Теперь подставим результат в исходное выражение:

$$\sqrt{74}-(21+2\sqrt{21})\mathrm{.}$$

Шаг 3: Упрощение

Заменим $\sqrt{74}$ на приближённое значение:

$$\sqrt{74}\approx 8,6.$$

Теперь подставим:

$$8,6-21-2\sqrt{21}\mathrm{.}$$

У нас остаётся:

$$8,6-21=-12,4,$$

и выражение станет:

$$-12,4-2\sqrt{21}\mathrm{.}$$

Однако, поскольку это выражение не является завершённым без точного значения для $\sqrt{21}$, мы можем оставить его в таком виде, но предполагаем, что это значение приближённое.

Ответ:

$$\sqrt{74}-(3\sqrt{7}+2\sqrt{3})\cdot \sqrt{7}\approx -12,4-2\sqrt{21}\mathrm{.}$$

г) $\sqrt{72}-(2\sqrt{6}-4\sqrt{3})\cdot \sqrt{3}$

Шаг 1: Умножение внутри скобок

Нам нужно вычислить:

$$\sqrt{72}-(2\sqrt{6}-4\sqrt{3})\cdot \sqrt{3}\mathrm{.}$$

Выполним умножение:

$$(2\sqrt{6}-4\sqrt{3})\cdot \sqrt{3}=2\sqrt{6}\cdot \sqrt{3}-4\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}\mathrm{.}$$

$2\sqrt{6}\cdot \sqrt{3}=2\sqrt{18}=2\cdot 3\sqrt{2}=6\sqrt{2}$,

$4\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}=4\cdot 3=12$.

Таким образом, получаем:

$$(2\sqrt{6}-4\sqrt{3})\cdot \sqrt{3}=6\sqrt{2}-12.$$

Шаг 2: Подставляем в исходное выражение

Теперь подставим в исходное выражение:

$$\sqrt{72}-(6\sqrt{2}-12)\mathrm{.}$$

Шаг 3: Упрощение

Заменим $\sqrt{72}$ на приближённое значение:

$$\sqrt{72}=\sqrt{36\times 2}=6\sqrt{2}\mathrm{.}$$

Теперь подставим:

$$6\sqrt{2}-(6\sqrt{2}-12)=6\sqrt{2}-6\sqrt{2}+12=12.$$

Ответ:

$$\sqrt{72}-(2\sqrt{6}-4\sqrt{3})\cdot \sqrt{3}=12.$$

Итоговые ответы:

• $2\sqrt{300}+\sqrt{45}-5\sqrt{48}=3\sqrt{5}$
• $3\sqrt{54}+\sqrt{96}-2\sqrt{150}=3\sqrt{6}$
• $\sqrt{74}-(3\sqrt{7}+2\sqrt{3})\cdot \sqrt{7}\approx -12,4-2\sqrt{21}$
• $\sqrt{72}-(2\sqrt{6}-4\sqrt{3})\cdot \sqrt{3}=12$