ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 413 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Докажите, что:
а) 2v300+v45-5v48=3v5;
б) 3v54+v96-2v150=3v6;
в) v84-(3v7+2v3)•v7=-21;
г) v72-(2v6-4v3)•v3=12.

а) $2\sqrt{300} + \sqrt{45} — 5\sqrt{48} = 2 \cdot 10\sqrt{3} + 3\sqrt{5} — 5 \cdot 4\sqrt{3} =$

$= 20\sqrt{3} + 3\sqrt{5} — 20\sqrt{3} = 3\sqrt{5};$

б) $3\sqrt{54} + \sqrt{96} — 2\sqrt{150} = 3 \cdot 3\sqrt{6} + 4\sqrt{6} — 2 \cdot 5\sqrt{6} =$

$= 9\sqrt{6} + 4\sqrt{6} — 10\sqrt{6} = 3\sqrt{6};$

в) $\sqrt{74} — (3\sqrt{7} + 2\sqrt{3}) \cdot \sqrt{7} = 2\sqrt{21} — 3 \cdot 7 — 2\sqrt{21} = -21;$

г) $\sqrt{72} — (2\sqrt{6} — 4\sqrt{3}) \cdot \sqrt{3} = 6\sqrt{2} — 2 \cdot 3\sqrt{2} + 12 = 6\sqrt{2} — 6\sqrt{2} + 12 = 12.$

а) $2\sqrt{300} + \sqrt{45} — 5\sqrt{48}$

Шаг 1: Разложение квадратных корней

Нам нужно упростить выражение:

$$2\sqrt{300} + \sqrt{45} — 5\sqrt{48}.$$

Начнём с разложения каждого из квадратных корней на множители.

Для $\sqrt{300}$:

$$300 = 100 \times 3 \quad \Rightarrow \quad \sqrt{300} = \sqrt{100 \times 3} = \sqrt{100} \times \sqrt{3} = 10\sqrt{3}.$$

Для $\sqrt{45}$:

$$45 = 9 \times 5 \quad \Rightarrow \quad \sqrt{45} = \sqrt{9 \times 5} = \sqrt{9} \times \sqrt{5} = 3\sqrt{5}.$$

Для $\sqrt{48}$:

$$48 = 16 \times 3 \quad \Rightarrow \quad \sqrt{48} = \sqrt{16 \times 3} = \sqrt{16} \times \sqrt{3} = 4\sqrt{3}.$$

Шаг 2: Подставляем разложения в исходное выражение

Теперь подставим упрощённые выражения в исходное выражение:

$$2\sqrt{300} + \sqrt{45} — 5\sqrt{48} = 2 \cdot 10\sqrt{3} + 3\sqrt{5} — 5 \cdot 4\sqrt{3}.$$

Шаг 3: Умножение и упрощение

Выполним умножение:

$$= 20\sqrt{3} + 3\sqrt{5} — 20\sqrt{3}.$$

Теперь видим, что $20\sqrt{3} — 20\sqrt{3} = 0$, и остаётся:

$$= 3\sqrt{5}.$$

Ответ:

$$2\sqrt{300} + \sqrt{45} — 5\sqrt{48} = 3\sqrt{5}.$$

б) $3\sqrt{54} + \sqrt{96} — 2\sqrt{150}$

Шаг 1: Разложение квадратных корней

Для $\sqrt{54}$:

$$54 = 9 \times 6 \quad \Rightarrow \quad \sqrt{54} = \sqrt{9 \times 6} = \sqrt{9} \times \sqrt{6} = 3\sqrt{6}.$$

Для $\sqrt{96}$:

$$96 = 16 \times 6 \quad \Rightarrow \quad \sqrt{96} = \sqrt{16 \times 6} = \sqrt{16} \times \sqrt{6} = 4\sqrt{6}.$$

Для $\sqrt{150}$:

$$150 = 25 \times 6 \quad \Rightarrow \quad \sqrt{150} = \sqrt{25 \times 6} = \sqrt{25} \times \sqrt{6} = 5\sqrt{6}.$$

Шаг 2: Подставляем разложения в исходное выражение

Теперь подставим упрощённые выражения:

$$3\sqrt{54} + \sqrt{96} — 2\sqrt{150} = 3 \cdot 3\sqrt{6} + 4\sqrt{6} — 2 \cdot 5\sqrt{6}.$$

Шаг 3: Умножение и упрощение

Выполним умножение:

$$= 9\sqrt{6} + 4\sqrt{6} — 10\sqrt{6}.$$

Теперь собираем подобные слагаемые:

$$9\sqrt{6} + 4\sqrt{6} — 10\sqrt{6} = (9 + 4 — 10)\sqrt{6} = 3\sqrt{6}.$$

Ответ:

$$3\sqrt{54} + \sqrt{96} — 2\sqrt{150} = 3\sqrt{6}.$$

в) $\sqrt{74} — (3\sqrt{7} + 2\sqrt{3}) \cdot \sqrt{7}$

Шаг 1: Умножение внутри скобок

Нам нужно вычислить:

$$\sqrt{74} — (3\sqrt{7} + 2\sqrt{3}) \cdot \sqrt{7}.$$

Рассмотрим умножение:

$$(3\sqrt{7} + 2\sqrt{3}) \cdot \sqrt{7} = 3\sqrt{7} \cdot \sqrt{7} + 2\sqrt{3} \cdot \sqrt{7}.$$

$3\sqrt{7} \cdot \sqrt{7} = 3 \cdot 7 = 21$,

$2\sqrt{3} \cdot \sqrt{7} = 2\sqrt{21}$.

Итак, получаем:

$$(3\sqrt{7} + 2\sqrt{3}) \cdot \sqrt{7} = 21 + 2\sqrt{21}.$$

Шаг 2: Подставляем в исходное выражение

Теперь подставим результат в исходное выражение:

$$\sqrt{74} — (21 + 2\sqrt{21}).$$

Шаг 3: Упрощение

Заменим $\sqrt{74}$ на приближённое значение:

$$\sqrt{74} \approx 8,6.$$

Теперь подставим:

$$8,6 — 21 — 2\sqrt{21}.$$

У нас остаётся:

$$8,6 — 21 = -12,4,$$

и выражение станет:

$$-12,4 — 2\sqrt{21}.$$

Однако, поскольку это выражение не является завершённым без точного значения для $\sqrt{21}$, мы можем оставить его в таком виде, но предполагаем, что это значение приближённое.

Ответ:

$$\sqrt{74} — (3\sqrt{7} + 2\sqrt{3}) \cdot \sqrt{7} \approx -12,4 — 2\sqrt{21}.$$

г) $\sqrt{72} — (2\sqrt{6} — 4\sqrt{3}) \cdot \sqrt{3}$

Шаг 1: Умножение внутри скобок

Нам нужно вычислить:

$$\sqrt{72} — (2\sqrt{6} — 4\sqrt{3}) \cdot \sqrt{3}.$$

Выполним умножение:

$$(2\sqrt{6} — 4\sqrt{3}) \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{6} \cdot \sqrt{3} — 4\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}.$$

$2\sqrt{6} \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{18} = 2 \cdot 3\sqrt{2} = 6\sqrt{2}$,

$4\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 4 \cdot 3 = 12$.

Таким образом, получаем:

$$(2\sqrt{6} — 4\sqrt{3}) \cdot \sqrt{3} = 6\sqrt{2} — 12.$$

Шаг 2: Подставляем в исходное выражение

Теперь подставим в исходное выражение:

$$\sqrt{72} — (6\sqrt{2} — 12).$$

Шаг 3: Упрощение

Заменим $\sqrt{72}$ на приближённое значение:

$$\sqrt{72} = \sqrt{36 \times 2} = 6\sqrt{2}.$$

Теперь подставим:

$$6\sqrt{2} — (6\sqrt{2} — 12) = 6\sqrt{2} — 6\sqrt{2} + 12 = 12.$$

Ответ:

$$\sqrt{72} — (2\sqrt{6} — 4\sqrt{3}) \cdot \sqrt{3} = 12.$$

Итоговые ответы:

• $2\sqrt{300} + \sqrt{45} — 5\sqrt{48} = 3\sqrt{5}$
• $3\sqrt{54} + \sqrt{96} — 2\sqrt{150} = 3\sqrt{6}$
• $\sqrt{74} — (3\sqrt{7} + 2\sqrt{3}) \cdot \sqrt{7} \approx -12,4 — 2\sqrt{21}$
• $\sqrt{72} — (2\sqrt{6} — 4\sqrt{3}) \cdot \sqrt{3} = 12$