ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 411 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Из клинописных табличек, найденных при раскопках, известен способ извлечения квадратных корней, которым пользовались древние вавилоняне еще за две тысячи лет до н.э. На современном математическом языке он может быть описан с помощью такого приближенного равенства:
vc=v(a^2+b)?a+b/2a.
Например, v28=v(25+3)?5+3/(2•5)=5,3. (С помощью калькулятора мы получили бы, что v28?5,29.) Пользуясь указанной приближенной формулой, найдите v39, v85. Сравните ответ с числом, полученным с помощью калькулятора.

$$\sqrt{c} = \sqrt{a^2 + b} \approx a + \frac{b}{2a};$$ $$\sqrt{39} = \sqrt{36 + 3} \approx 6 + \frac{3}{2 \cdot 6} = 6 + \frac{3}{12} = 6,25.$$

На калькуляторе: $\sqrt{39} \approx 6,245$.

$$\sqrt{85} = \sqrt{81 + 4} \approx 9 + \frac{4}{2 \cdot 9} = 9 + \frac{4}{18}.$$

На калькуляторе: $\sqrt{85} \approx 9,22$.

1) Формула для приближённого вычисления квадратного корня

Дано выражение:

$$\sqrt{c} = \sqrt{a^2 + b} \approx a + \frac{b}{2a},$$

где $a$ — число, близкое к $\sqrt{c}$, и $b$ — небольшое отклонение от $a^2$.

Это приближенная формула для вычисления квадратного корня, когда $b$ — небольшое число, добавляемое к $a^2$. Эта формула полезна для быстрого вычисления квадратных корней, когда $c$ близко к квадрату числа $a$.

Шаг 1: Подставляем $a$ и $b$

Предположим, что нам нужно вычислить $\sqrt{39}$, и мы подбираем число $a$, которое является приближённым квадратным корнем для 39. Видно, что $6^2 = 36$, и это ближайшее квадратное число, к которому мы можем подойти.

Теперь вычислим $b$:

$$b = 39 — 36 = 3.$$

Используя формулу:

$$\sqrt{39} \approx 6 + \frac{3}{2 \cdot 6} = 6 + \frac{3}{12} = 6 + 0,25 = 6,25.$$

Ответ:

$$\sqrt{39} \approx 6,25.$$

2) Проверка с использованием калькулятора

Для проверки на калькуляторе:

$$\sqrt{39} \approx 6,245.$$

Это значение близко к нашему приближённому значению 6,25, что подтверждает точность нашего приближения.

3) Пример с квадратным корнем $\sqrt{85}$

Используя аналогичную формулу для $\sqrt{85}$, подбираем $a$, ближайшее к $\sqrt{85}$. Мы знаем, что $9^2 = 81$, поэтому $a = 9$.

Теперь находим $b$:

$$b = 85 — 81 = 4.$$

Используя формулу:

$$\sqrt{85} \approx 9 + \frac{4}{2 \cdot 9} = 9 + \frac{4}{18} = 9 + 0,222 \approx 9,22.$$

Ответ:

$$\sqrt{85} \approx 9,22.$$

4) Проверка с использованием калькулятора

Для проверки на калькуляторе:

$$\sqrt{85} \approx 9,22.$$

Это значение совпадает с нашим приближённым значением 9,22, что подтверждает точность вычислений.

Заключение

Мы использовали приближённую формулу для вычисления квадратных корней, которая работает с точностью до нескольких знаков после запятой. В обоих примерах, для $\sqrt{39}$ и $\sqrt{85}$, наши приближённые результаты совпали с результатами, полученными на калькуляторе, что подтверждает правильность метода.

Итоговые ответы:

• $\sqrt{39} \approx 6,25$
• $\sqrt{85} \approx 9,22$