ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 410 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Известны формулы для вычисления площади S треугольника.
Равностороннего: S=(a^2 v3)/4, где a — сторона.
Равнобедренного: S=1/2 av(b^2-a^2/4), где a — основание, b — боковая сторона.
Любого: S=v(p(p-a)(p-b)(p-c) ), где a, b и с — сторона, p=(a+b+c)/2 — полупериметр.
Найдите приближенное значение площади каждого треугольника, изображенного на рисунке 2.35, используя соответствующую формулу. (Ответ дайте с одним знаком после запятой.)

$S_{ABC} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{5^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{25 \sqrt{3}}{4} \approx 10,8.$

$S_{NLM} = \frac{1}{2} a \sqrt{b^2 — \frac{a^2}{4}} = \frac{1}{2} \cdot 4 \sqrt{6^2 — \frac{4^2}{4}} =$

$= 2 \sqrt{32} \approx 11,3.$

$p = \frac{5 + 6 + 3}{2} = \frac{14}{2} = 7.$

$S_{PRO} = \sqrt{p(p — a)(p — b)(p — c)} = \sqrt{7 \cdot (7 — 5)(7 — 6)(7 — 3)} =$

$= \sqrt{7 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 4} = \sqrt{56} \approx 7,5.$

1) Площадь равностороннего треугольника $S_{ABC}$

Формула для площади равностороннего треугольника:

$$S_{ABC} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4},$$

где $a$ — длина стороны треугольника.

Дано:

$$a = 5.$$

Теперь подставим значение $a$ в формулу для площади:

$$S_{ABC} = \frac{5^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{25 \sqrt{3}}{4}.$$

Для получения приближенного значения, вычислим значение $\sqrt{3}$:

$$\sqrt{3} \approx 1,732.$$

Подставим это значение:

$$S_{ABC} = \frac{25 \times 1,732}{4} = \frac{43,3}{4} \approx 10,8.$$

Ответ:

$$S_{ABC} \approx 10,8.$$

2) Площадь треугольника $S_{NLM}$

Формула для площади треугольника с основанием $a$ и высотой $h$:

$$S_{NLM} = \frac{1}{2} a \sqrt{b^2 — \frac{a^2}{4}},$$

где $a$ — основание, $b$ — длина боковой стороны треугольника.

Дано:

$$a = 4, \quad b = 6.$$

Теперь подставим значения $a$ и $b$ в формулу для площади:

$$S_{NLM} = \frac{1}{2} \cdot 4 \sqrt{6^2 — \frac{4^2}{4}}.$$

Вначале вычислим выражение под корнем:

$$6^2 = 36, \quad 4^2 = 16, \quad \frac{4^2}{4} = 4.$$

Теперь подставим:

$$S_{NLM} = \frac{1}{2} \cdot 4 \sqrt{36 — 4} = \frac{1}{2} \cdot 4 \sqrt{32}.$$

Теперь вычислим $\sqrt{32}$:

$$\sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2} \approx 4 \times 1,414 = 5,656.$$

Подставляем это значение:

$$S_{NLM} = 2 \times 5,656 = 11,3.$$

Ответ:

$$S_{NLM} \approx 11,3.$$

3) Площадь треугольника $S_{PRO}$ с использованием полупериметра

Формула для площади треугольника через полупериметр (формула Герона):

$$S_{PRO} = \sqrt{p(p — a)(p — b)(p — c)},$$

где $p$ — полупериметр, а $a$, $b$, и $c$ — стороны треугольника.

Шаг 1: Находим полупериметр $p$

Полупериметр $p$ вычисляется по формуле:

$$p = \frac{a + b + c}{2}.$$

Дано:

$$a = 5, \quad b = 6, \quad c = 3.$$

Теперь подставим значения:

$$p = \frac{5 + 6 + 3}{2} = \frac{14}{2} = 7.$$

Шаг 2: Подставляем в формулу для площади

Теперь подставим значения в формулу Герона для площади:

$$S_{PRO} = \sqrt{7(7 — 5)(7 — 6)(7 — 3)}.$$

Вычислим каждый из множителей:

$$7 — 5 = 2, \quad 7 — 6 = 1, \quad 7 — 3 = 4.$$

Теперь подставим эти значения:

$$S_{PRO} = \sqrt{7 \times 2 \times 1 \times 4} = \sqrt{56}.$$

Вычислим $\sqrt{56}$:

$$\sqrt{56} = \sqrt{4 \times 14} = 2\sqrt{14} \approx 2 \times 3,742 = 7,5.$$

Ответ:

$$S_{PRO} \approx 7,5.$$

Итоговые ответы:

• $S_{ABC} \approx 10,8$
• $S_{NLM} \approx 11,3$
• $S_{PRO} \approx 7,5$