ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 409 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Из формулы выразите каждую переменную, стоящую под знаком радикала:

а) $v = k\sqrt{\frac{F}{l}}$

б) $t = \sqrt{\frac{2S}{a}}$

в) $\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\frac{m_2}{m_1}}$

$$\text{а)} \quad v = k\sqrt{\frac{F}{l}}$$

$$k\sqrt{F} = vl$$

$$\sqrt{F} = \frac{vl}{k}$$

$$F = \left(\frac{vl}{k}\right)^2.$$

$$\text{б)} \quad t = \sqrt{\frac{2S}{a}}$$

$$\frac{2S}{a} = t^2$$

$$S = \frac{at^2}{2}; \quad a = \frac{2S}{t^2}.$$

$$\text{в)} \quad \frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\frac{m_2}{m_1}}$$

$$\frac{v_1^2}{v_2^2} = \frac{m_2}{m_1}$$

$$m_2 = \frac{v_1^2 m_1}{v_2^2}; \quad m_1 = \frac{v_2^2 m_2}{v_1^2}.$$

а) Начальная формула:

$v = k\sqrt{\frac{F}{l}}$

Выражаем корень:

$\sqrt{\frac{F}{l}} = \frac{v}{k}$

Пояснение: чтобы освободить подкоренное выражение, делим обе части уравнения на коэффициент $k$ , так как $k \neq 0$.

Убираем радикал возведением в квадрат:

$\left( \sqrt{\frac{F}{l}} \right)^2 = \left( \frac{v}{k} \right)^2 \Rightarrow \frac{F}{l} = \frac{v^2}{k^2}$

Пояснение: квадрат корня равен подкоренному выражению. Так же, квадрат дроби равен дроби квадратов.

Умножаем обе части на $l$:

vl=k$\sqrt{F}$​​

Выразим $\sqrt{F}$:

$\sqrt{F}=\frac{vl}{k}$

Возведём обе части в квадрат, чтобы избавиться от корня:

$F={\left(\frac{vl}{k}\right)}^2=\frac{v^2{l}^2}{k^2}$

Итог: $F={\left(\frac{vl}{k}\right)}^2$$F = l \cdot \frac{v^2}{k^2} = \frac{v^2 l}{k^2}$

б) Начальная формула:

$t = \sqrt{\frac{2S}{a}}$

Возводим обе части в квадрат, чтобы устранить корень:

$t^2 = \frac{2S}{a}$

Пояснение: это позволяет получить линейное уравнение относительно $S$ и $a$ .

Умножаем обе стороны на $a$:

$a t^2 = 2S$

Пояснение: домножаем обе части на $a$, чтобы перенести его в числитель и освободить $S$.

Делим обе стороны на 2, чтобы выразить $S$:

$S = \frac{a t^2}{2}$

Пояснение: при делении обеих частей уравнения на одно и то же число сохраняется равенство.

Повторно начинаем с $t^2 = \frac{2S}{a}$ и выражаем $a$:

$a = \frac{2S}{t^2}$

Пояснение: домножили на $a$, затем поделили на $t^2$, чтобы изолировать переменную $a$.

в) Начальная формула:

$\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\frac{m_2}{m_1}}$

Убираем радикал:

$\left( \frac{v_1}{v_2} \right)^2 = \frac{m_2}{m_1}$

Пояснение: обе части возводятся в квадрат, чтобы перейти от корней к рациональному выражению.

Выражаем $m_2$:

$m_2 = \frac{v_1^2 m_1}{v_2^2}$

Пояснение: домножаем обе части уравнения на $m_1$, а затем на $v_2^2$, чтобы изолировать $m_2$.

Повторно выражаем $m_1$:

$m_1 = \frac{v_2^2 m_2}{v_1^2}$

Пояснение: исходная дробь была перевернута, чтобы выразить другую переменную. Делается по тем же правилам алгебры.