ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 407 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Докажите формулу

$$\sqrt{a — b\sqrt{c}} = \sqrt{\frac{a + \sqrt{a^2 — b^2c}}{2}} — \sqrt{\frac{a — \sqrt{a^2 — b^2c}}{2}},$$

где $b > 0$.

Примените эту формулу для упрощения выражения

$$\sqrt{57 — 12\sqrt{15}}.$$

$$\sqrt{a-b\sqrt{c}}=\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b^{2}c}}{2}}-\sqrt{\frac{a-\sqrt{a^2-b^{2}c}}{2}},$$

где $b>0$.

$$\sqrt{a-b\sqrt{c}}=\sqrt{x}-\sqrt{y}\mathrm{.}$$$$a-b\sqrt{c}=x-2\sqrt{xy}+y\mathrm{.}$$

$$$$$$x+y=a\text{и}b\sqrt{c}=2\sqrt{xy}\mathrm{.}$$

Тогда: $x=\frac{a+\sqrt{a^2-b^{2}c}}{2}$ и $y=\frac{a-\sqrt{a^2-b^{2}c}}{2}$:

$$x+y=\frac{a+\sqrt{a^2-b^{2}c}}{2}+\frac{a-\sqrt{a^2-b^{2}c}}{2}=$$

$$$$$$=\frac{a+\sqrt{a^2-b^{2}c}+a-\sqrt{a^2-b^{2}c}}{2}=\frac{2a}{2}=a\mathrm{.}$$

$$$$$$2\sqrt{xy}=2\sqrt{\left(\frac{a+\sqrt{a^2-b^{2}c}}{2}\right)\left(\frac{a-\sqrt{a^2-b^{2}c}}{2}\right)}=$$

$$$$$$=\sqrt{(a+\sqrt{a^2-b^{2}c})(a-\sqrt{a^2-b^{2}c})}=$$

$$$$$$=\sqrt{a^2-(a^2-b^{2}c)}=\sqrt{a^2-a^2+b^{2}c}=\sqrt{b^{2}c}=\mathrm{\mid }b\mathrm{\mid }\sqrt{c}=b\sqrt{c}\mathrm{.}$$

Что и требовалось доказать.

$$\sqrt{57-12\sqrt{15}};$$

$a=57,b=12,c=15;$

$a^2-b^{2}c={57}^2-{12}^2\cdot 15=3249-144\cdot 15=3249-2160=1089.$

Тогда:

$$\sqrt{\frac{57+\sqrt{1089}}{2}}-\sqrt{\frac{57-\sqrt{1089}}{2}}=\sqrt{\frac{57+33}{2}}-\sqrt{\frac{57-33}{2}}=$$$$=\sqrt{\frac{90}{2}}-\sqrt{\frac{24}{2}}=\sqrt{45}-\sqrt{12}=\sqrt{9\cdot 5}-\sqrt{4\cdot 3}=3\sqrt{5}-2\sqrt{3}\mathrm{.}$$

Нужно доказать, что выражение:

$$\sqrt{a-b\sqrt{c}}=\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b^{2}c}}{2}}-\sqrt{\frac{a-\sqrt{a^2-b^{2}c}}{2}},$$

где $b>0$, действительно верно.

1. Преобразование выражения

Предположим, что:

$$\sqrt{a-b\sqrt{c}}=\sqrt{x}-\sqrt{y}\mathrm{.}$$

Теперь возведем обе стороны в квадрат:

$$a-b\sqrt{c}=(\sqrt{x}-\sqrt{y}{)}^2\mathrm{.}$$

Раскроем правую часть:

$$a-b\sqrt{c}=x+y-2\sqrt{xy}\mathrm{.}$$

Теперь приравниваем рациональные и иррациональные части:

• Рациональная часть: $x+y=a$.
• Иррациональная часть: $b\sqrt{c}=2\sqrt{xy}$.

2. Решение системы уравнений

Из второго уравнения $b\sqrt{c}=2\sqrt{xy}$, делим обе стороны на 2:

$$\sqrt{xy}=\frac{b\sqrt{c}}{2}\mathrm{.}$$

Теперь возводим обе стороны в квадрат:

$$xy={\left(\frac{b\sqrt{c}}{2}\right)}^2=\frac{b^{2}c}{4}\mathrm{.}$$

Следовательно, у нас есть система уравнений:

$x+y=a$

$xy=\frac{b^{2}c}{4}$

3. Решение системы с использованием метода подбора

Рассмотрим стандартную задачу на нахождение корней квадратного уравнения. Мы можем записать уравнение для $x$ и $y$ как:

$$t^2-(x+y)t+xy=0.$$

Подставим значения из системы:

$$t^2-at+\frac{b^{2}c}{4}=0.$$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта:

$$\mathrm{\Delta }=a^2-4\cdot 1\cdot \frac{b^{2}c}{4}=a^2-b^{2}c\mathrm{.}$$

Корни уравнения будут:

$$t=\frac{a\pm \sqrt{a^2-b^{2}c}}{2}\mathrm{.}$$

Таким образом, $x$ и $y$ равны:

$$x=\frac{a+\sqrt{a^2-b^{2}c}}{2},y=\frac{a-\sqrt{a^2-b^{2}c}}{2}\mathrm{.}$$

4. Проверка выражения для $x+y$

Проверим, что $x+y=a$:

$$x+y=\frac{a+\sqrt{a^2-b^{2}c}}{2}+\frac{a-\sqrt{a^2-b^{2}c}}{2}=\frac{a+\sqrt{a^2-b^{2}c}+a-\sqrt{a^2-b^{2}c}}{2}=\frac{2a}{2}=a\mathrm{.}$$

Это верно.

5. Проверка выражения для $2\sqrt{xy}$

Теперь проверим выражение для $2\sqrt{xy}$:

$$2\sqrt{xy}=2\sqrt{\left(\frac{a+\sqrt{a^2-b^{2}c}}{2}\right)\left(\frac{a-\sqrt{a^2-b^{2}c}}{2}\right)}\mathrm{.}$$

Раскрываем произведение под корнем:

$$xy=\frac{(a+\sqrt{a^2-b^{2}c})(a-\sqrt{a^2-b^{2}c})}{4}=\frac{a^2-(a^2-b^{2}c)}{4}=\frac{b^{2}c}{4}\mathrm{.}$$

Таким образом:

$$2\sqrt{xy}=2\sqrt{\frac{b^{2}c}{4}}=\sqrt{b^{2}c}=\mathrm{\mid }b\mathrm{\mid }\sqrt{c}=b\sqrt{c}\mathrm{.}$$

Это соответствует правой части изначального выражения $b\sqrt{c}$.

6. Заключение

Мы доказали, что:

$$\sqrt{a-b\sqrt{c}}=\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b^{2}c}}{2}}-\sqrt{\frac{a-\sqrt{a^2-b^{2}c}}{2}},$$

что и требовалось доказать.

7. Пример: $\sqrt{57-12\sqrt{15}}$

Теперь применим эту теорему для примера:

$$\sqrt{57-12\sqrt{15}}\mathrm{.}$$

Здесь:

$a=57,b=12,c=15.$

Шаг 1: Вычисляем $a^2-b^{2}c$

$$a^2-b^{2}c={57}^2-{12}^2\cdot 15=3249-144\cdot 15=3249-2160=1089.$$

Шаг 2: Применяем формулу

Теперь подставляем вычисленные значения в формулу:

$$\sqrt{\frac{57+\sqrt{1089}}{2}}-\sqrt{\frac{57-\sqrt{1089}}{2}}=\sqrt{\frac{57+33}{2}}-\sqrt{\frac{57-33}{2}}=$$$$=\sqrt{\frac{90}{2}}-\sqrt{\frac{24}{2}}=\sqrt{45}-\sqrt{12}=\sqrt{9\cdot 5}-\sqrt{4\cdot 3}=3\sqrt{5}-2\sqrt{3}\mathrm{.}$$

Ответ:

$$\sqrt{57-12\sqrt{15}}=3\sqrt{5}-2\sqrt{3}$$