ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 407 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Докажите формулу
v(a-bvc) =v((a+v(a^2-b^2 c))/2)-v((a-v(a^2-b^2 c))/2),где b > 0.
Примените эту формулу для упрощения выражения v(57-12v15 ).

$$\sqrt{a — b\sqrt{c}} = \sqrt{\frac{a + \sqrt{a^2 — b^2c}}{2}} — \sqrt{\frac{a — \sqrt{a^2 — b^2c}}{2}},$$

где $b > 0$.

$$\sqrt{a — b\sqrt{c}} = \sqrt{x} — \sqrt{y}.$$ $$a-b\sqrt{c}=x-2\sqrt{xy}+y\mathrm{.}$$

$$a — b\sqrt{c} = x — 2\sqrt{xy} + y.$$ $$x + y = a \quad \text{и} \quad b\sqrt{c} = 2\sqrt{xy}.$$

Тогда: $x = \frac{a + \sqrt{a^2 — b^2c}}{2}$ и $y = \frac{a — \sqrt{a^2 — b^2c}}{2}$:

$$x+y=\frac{a+\sqrt{a^2-b^{2}c}}{2}+\frac{a-\sqrt{a^2-b^{2}c}}{2}=$$

$$x + y = \frac{a + \sqrt{a^2 — b^2c}}{2} + \frac{a — \sqrt{a^2 — b^2c}}{2} =$$ $$=\frac{a+\sqrt{a^2-b^{2}c}+a-\sqrt{a^2-b^{2}c}}{2}=\frac{2a}{2}=a\mathrm{.}$$

$$= \frac{a + \sqrt{a^2 — b^2c} + a — \sqrt{a^2 — b^2c}}{2} = \frac{2a}{2} = a.$$ $$2\sqrt{xy}=2\sqrt{\left(\frac{a+\sqrt{a^2-b^{2}c}}{2}\right)\left(\frac{a-\sqrt{a^2-b^{2}c}}{2}\right)}=$$

$$2\sqrt{xy} = 2\sqrt{\left(\frac{a + \sqrt{a^2 — b^2c}}{2}\right)\left(\frac{a — \sqrt{a^2 — b^2c}}{2}\right)} =$$ $$=\sqrt{(a+\sqrt{a^2-b^{2}c})(a-\sqrt{a^2-b^{2}c})}=$$

$$= \sqrt{\left(a + \sqrt{a^2 — b^2c}\right)\left(a — \sqrt{a^2 — b^2c}\right)} =$$ $$= \sqrt{a^2 — (a^2 — b^2c)} = \sqrt{a^2 — a^2 + b^2c} = \sqrt{b^2c} = |b|\sqrt{c} = b\sqrt{c}.$$

Что и требовалось доказать.

$$\sqrt{57 — 12\sqrt{15}};$$

$a = 57, \quad b = 12, \quad c = 15;$

$a^2 — b^2c = 57^2 — 12^2 \cdot 15 = 3249 — 144 \cdot 15 = 3249 — 2160 = 1089.$

Тогда:

$$\sqrt{\frac{57 + \sqrt{1089}}{2}} — \sqrt{\frac{57 — \sqrt{1089}}{2}} = \sqrt{\frac{57 + 33}{2}} — \sqrt{\frac{57 — 33}{2}} =$$ $$= \sqrt{\frac{90}{2}} — \sqrt{\frac{24}{2}} = \sqrt{45} — \sqrt{12} = \sqrt{9 \cdot 5} — \sqrt{4 \cdot 3} = 3\sqrt{5} — 2\sqrt{3}.$$

Нужно доказать, что выражение:

$$\sqrt{a — b\sqrt{c}} = \sqrt{\frac{a + \sqrt{a^2 — b^2c}}{2}} — \sqrt{\frac{a — \sqrt{a^2 — b^2c}}{2}},$$

где $b > 0$, действительно верно.

1. Преобразование выражения

Предположим, что:

$$\sqrt{a — b\sqrt{c}} = \sqrt{x} — \sqrt{y}.$$

Теперь возведем обе стороны в квадрат:

$$a — b\sqrt{c} = (\sqrt{x} — \sqrt{y})^2.$$

Раскроем правую часть:

$$a — b\sqrt{c} = x + y — 2\sqrt{xy}.$$

Теперь приравниваем рациональные и иррациональные части:

• Рациональная часть: $x + y = a$.
• Иррациональная часть: $b\sqrt{c} = 2\sqrt{xy}$.

2. Решение системы уравнений

Из второго уравнения $b\sqrt{c} = 2\sqrt{xy}$, делим обе стороны на 2:

$$\sqrt{xy} = \frac{b\sqrt{c}}{2}.$$

Теперь возводим обе стороны в квадрат:

$$xy = \left(\frac{b\sqrt{c}}{2}\right)^2 = \frac{b^2c}{4}.$$

Следовательно, у нас есть система уравнений:

1. $x + y = a$
2. $xy = \frac{b^2c}{4}$

3. Решение системы с использованием метода подбора

Рассмотрим стандартную задачу на нахождение корней квадратного уравнения. Мы можем записать уравнение для $x$ и $y$ как:

$$t^2 — (x + y)t + xy = 0.$$

Подставим значения из системы:

$$t^2 — at + \frac{b^2c}{4} = 0.$$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта:

$$\Delta = a^2 — 4 \cdot 1 \cdot \frac{b^2c}{4} = a^2 — b^2c.$$

Корни уравнения будут:

$$t = \frac{a \pm \sqrt{a^2 — b^2c}}{2}.$$

Таким образом, $x$ и $y$ равны:

$$x = \frac{a + \sqrt{a^2 — b^2c}}{2}, \quad y = \frac{a — \sqrt{a^2 — b^2c}}{2}.$$

4. Проверка выражения для $x + y$

Проверим, что $x + y = a$:

$$x + y = \frac{a + \sqrt{a^2 — b^2c}}{2} + \frac{a — \sqrt{a^2 — b^2c}}{2} = \frac{a + \sqrt{a^2 — b^2c} + a — \sqrt{a^2 — b^2c}}{2} = \frac{2a}{2} = a.$$

Это верно.

5. Проверка выражения для $2\sqrt{xy}$

Теперь проверим выражение для $2\sqrt{xy}$:

$$2\sqrt{xy} = 2\sqrt{\left(\frac{a + \sqrt{a^2 — b^2c}}{2}\right)\left(\frac{a — \sqrt{a^2 — b^2c}}{2}\right)}.$$

Раскрываем произведение под корнем:

$$xy = \frac{(a + \sqrt{a^2 — b^2c})(a — \sqrt{a^2 — b^2c})}{4} = \frac{a^2 — (a^2 — b^2c)}{4} = \frac{b^2c}{4}.$$

Таким образом:

$$2\sqrt{xy} = 2\sqrt{\frac{b^2c}{4}} = \sqrt{b^2c} = |b|\sqrt{c} = b\sqrt{c}.$$

Это соответствует правой части изначального выражения $b\sqrt{c}$.

6. Заключение

Мы доказали, что:

$$\sqrt{a — b\sqrt{c}} = \sqrt{\frac{a + \sqrt{a^2 — b^2c}}{2}} — \sqrt{\frac{a — \sqrt{a^2 — b^2c}}{2}},$$

что и требовалось доказать.

7. Пример: $\sqrt{57 — 12\sqrt{15}}$

Теперь применим эту теорему для примера:

$$\sqrt{57 — 12\sqrt{15}}.$$

Здесь:

$a = 57, \quad b = 12, \quad c = 15.$

Шаг 1: Вычисляем $a^2 — b^2c$

$$a^2 — b^2c = 57^2 — 12^2 \cdot 15 = 3249 — 144 \cdot 15 = 3249 — 2160 = 1089.$$

Шаг 2: Применяем формулу

Теперь подставляем вычисленные значения в формулу:

$$\sqrt{\frac{57 + \sqrt{1089}}{2}} — \sqrt{\frac{57 — \sqrt{1089}}{2}} = \sqrt{\frac{57 + 33}{2}} — \sqrt{\frac{57 — 33}{2}} =$$ $$= \sqrt{\frac{90}{2}} — \sqrt{\frac{24}{2}} = \sqrt{45} — \sqrt{12} = \sqrt{9 \cdot 5} — \sqrt{4 \cdot 3} = 3\sqrt{5} — 2\sqrt{3}.$$

Ответ:

$$\sqrt{57 — 12\sqrt{15}} = 3\sqrt{5} — 2\sqrt{3}.$$$\sqrt{57 — 12\sqrt{15}} = 3\sqrt{5} — 2\sqrt{3}.$