ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 406 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Формула, рассмотренная в предыдущем задании, представляет интерес, если выражение a^2-b^2c является квадратом натурального числа. Примените эту формул для упрощения выражения:
а) v(12+2v11) ;
б) v(57+12v15) .

а) $\sqrt{12 + 2\sqrt{11}};$

$a = 12, \quad b = 2, \quad c = 11;$

$a^2 — b^2c = 12^2 — 2^2 \cdot 11 = 144 — 4 \cdot 11 = 144 — 44 = 100.$

Тогда:

$$\sqrt{\frac{12 + \sqrt{100}}{2}} + \sqrt{\frac{12 — \sqrt{100}}{2}} = \sqrt{\frac{12 + 10}{2}} + \sqrt{\frac{12 — 10}{2}} =$$ $$= \sqrt{\frac{22}{2}} + \sqrt{\frac{2}{2}} = \sqrt{11} + \sqrt{1} = \sqrt{11} + 1.$$

б) $\sqrt{57 + 12\sqrt{15}};$

$a = 57, \quad b = 12, \quad c = 15;$

$a^2 — b^2c = 57^2 — 12^2 \cdot 15 = 3249 — 144 \cdot 15 = 3249 — 2160 = 1089.$

Тогда:

$$\sqrt{\frac{57 + \sqrt{1089}}{2}} + \sqrt{\frac{57 — \sqrt{1089}}{2}} = \sqrt{\frac{57 + 33}{2}} + \sqrt{\frac{57 — 33}{2}} =$$ $$= \sqrt{\frac{90}{2}} + \sqrt{\frac{24}{2}} = \sqrt{45} + \sqrt{12} = \sqrt{9 \cdot 5} + \sqrt{4 \cdot 3} = 3\sqrt{5} + 2\sqrt{3}.$$

1) Решение для $\sqrt{12 + 2\sqrt{11}}$:

Шаг 1: Используем формулу для выражения вида $\sqrt{a + b\sqrt{c}}$

Для выражения $\sqrt{12 + 2\sqrt{11}}$ будем использовать следующую формулу:

$$\sqrt{a + b\sqrt{c}} = \sqrt{\frac{a + \sqrt{a^2 — b^2c}}{2}} + \sqrt{\frac{a — \sqrt{a^2 — b^2c}}{2}},$$

где $a = 12$, $b = 2$, и $c = 11$.

Шаг 2: Вычисляем $a^2 — b^2c$

Для начала вычислим $a^2 — b^2c$:

$$a^2 — b^2c = 12^2 — 2^2 \cdot 11 = 144 — 4 \cdot 11 = 144 — 44 = 100.$$

Шаг 3: Применяем формулу

Теперь подставим полученные значения в формулу:

$$\sqrt{\frac{12 + \sqrt{100}}{2}} + \sqrt{\frac{12 — \sqrt{100}}{2}}.$$

Поскольку $\sqrt{100} = 10$, то выражение упрощается до:

$$\sqrt{\frac{12 + 10}{2}} + \sqrt{\frac{12 — 10}{2}} = \sqrt{\frac{22}{2}} + \sqrt{\frac{2}{2}}.$$

Дальше:

$$= \sqrt{11} + \sqrt{1} = \sqrt{11} + 1.$$

Ответ:

$$\sqrt{12 + 2\sqrt{11}} = \sqrt{11} + 1.$$

2) Решение для $\sqrt{57 + 12\sqrt{15}}$:

Шаг 1: Используем формулу для выражения вида $\sqrt{a + b\sqrt{c}}$

Теперь применим эту же формулу для $\sqrt{57 + 12\sqrt{15}}$, где $a = 57$, $b = 12$, и $c = 15$.

$$\sqrt{57 + 12\sqrt{15}} = \sqrt{\frac{57 + \sqrt{a^2 — b^2c}}{2}} + \sqrt{\frac{57 — \sqrt{a^2 — b^2c}}{2}},$$

где $a = 57$, $b = 12$, и $c = 15$.

Шаг 2: Вычисляем $a^2 — b^2c$

Теперь вычислим $a^2 — b^2c$:

$$a^2 — b^2c = 57^2 — 12^2 \cdot 15 = 3249 — 144 \cdot 15 = 3249 — 2160 = 1089.$$

Шаг 3: Применяем формулу

Теперь подставим найденные значения в формулу:

$$\sqrt{\frac{57 + \sqrt{1089}}{2}} + \sqrt{\frac{57 — \sqrt{1089}}{2}}.$$

Поскольку $\sqrt{1089} = 33$, то выражение упрощается до:

$$\sqrt{\frac{57 + 33}{2}} + \sqrt{\frac{57 — 33}{2}} = \sqrt{\frac{90}{2}} + \sqrt{\frac{24}{2}}.$$

Дальше:

$$= \sqrt{45} + \sqrt{12}.$$

Теперь разложим корни:

$$\sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5}, \quad \sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}.$$

Итак, получаем:

$$\sqrt{57 + 12\sqrt{15}} = 3\sqrt{5} + 2\sqrt{3}.$$

Ответ:

$$\sqrt{57 + 12\sqrt{15}} = 3\sqrt{5} + 2\sqrt{3}.$$

Итоговые ответы:

• $\sqrt{12 + 2\sqrt{11}} = \sqrt{11} + 1$
• $\sqrt{57 + 12\sqrt{15}} = 3\sqrt{5} + 2\sqrt{3}$