ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 405 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Докажите формулу

$$\sqrt{a + b\sqrt{c}} = \sqrt{\frac{a + \sqrt{a^2 — b^2c}}{2}} + \sqrt{\frac{a — \sqrt{a^2 — b^2c}}{2}},$$

где $b > 0$.

$$\sqrt{a+b\sqrt{c}}=\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b^{2}c}}{2}}+\sqrt{\frac{a-\sqrt{a^2-b^{2}c}}{2}},$$

где $b>0$.

$$\sqrt{a+b\sqrt{c}}=\sqrt{x}+\sqrt{y}\mathrm{.}$$

$$$$$$a+b\sqrt{c}=x+y+2\sqrt{xy}\mathrm{.}$$

$$$$$$x+y=a\text{и}b\sqrt{c}=2\sqrt{xy}\mathrm{.}$$

Тогда: $x=\frac{a+\sqrt{a^2-b^{2}c}}{2}$ и $y=\frac{a-\sqrt{a^2-b^{2}c}}{2}$:

$$x+y=\frac{a+\sqrt{a^2-b^{2}c}}{2}+\frac{a-\sqrt{a^2-b^{2}c}}{2}=$$

$$$$$$=\frac{a+\sqrt{a^2-b^{2}c}+a-\sqrt{a^2-b^{2}c}}{2}=\frac{2a}{2}=a\text{— верно.}$$

$$$$$$2\sqrt{xy}=2\sqrt{\left(\frac{a+\sqrt{a^2-b^{2}c}}{2}\right)\left(\frac{a-\sqrt{a^2-b^{2}c}}{2}\right)}=$$

$$$$$$=\sqrt{(a+\sqrt{a^2-b^{2}c})(a-\sqrt{a^2-b^{2}c})}=$$

$$$$$$=\sqrt{a^2-(a^2-b^{2}c)}=\sqrt{a^2-a^2+b^{2}c}=\sqrt{b^{2}c}=\mathrm{\mid }b\mathrm{\mid }\sqrt{c}=b\sqrt{c}\mathrm{.}$$

Что и требовалось доказать.

1) Разложение выражения $\sqrt{a+b\sqrt{c}}$:

Нам нужно доказать, что выражение:

$$\sqrt{a+b\sqrt{c}}=\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b^{2}c}}{2}}+\sqrt{\frac{a-\sqrt{a^2-b^{2}c}}{2}},$$

где $b>0$, действительно справедливо.

Шаг 1: Допущение, что $\sqrt{a+b\sqrt{c}}=\sqrt{x}+\sqrt{y}$

Предположим, что выражение для корня $\sqrt{a+b\sqrt{c}}$ можно записать в виде:

$$\sqrt{a+b\sqrt{c}}=\sqrt{x}+\sqrt{y}\mathrm{.}$$

Теперь возведем обе стороны в квадрат:

$$a+b\sqrt{c}=(\sqrt{x}+\sqrt{y}{)}^2\mathrm{.}$$

Раскрываем правую часть:

$$a+b\sqrt{c}=x+y+2\sqrt{xy}\mathrm{.}$$

Шаг 2: Приравнивание рациональной и иррациональной частей

Теперь приравниваем рациональные и иррациональные части:

• Рациональная часть: $x+y=a$.
• Иррациональная часть: $b\sqrt{c}=2\sqrt{xy}$.

Из второго уравнения $b\sqrt{c}=2\sqrt{xy}$, делим обе стороны на 2:

$$\sqrt{xy}=\frac{b\sqrt{c}}{2}\mathrm{.}$$

Возводим обе стороны в квадрат:

$$xy={\left(\frac{b\sqrt{c}}{2}\right)}^2=\frac{b^{2}c}{4}\mathrm{.}$$

Следовательно, мы имеем систему уравнений:

$x+y=a$

$xy=\frac{b^{2}c}{4}$

Шаг 3: Решение системы уравнений

Теперь мы можем решить систему уравнений:

$x+y=a$

$xy=\frac{b^{2}c}{4}$

Эти уравнения являются стандартной системой для нахождения корней квадратного уравнения. Рассмотрим квадратное уравнение, корнями которого будут $x$ и $y$:

$$t^2-(x+y)t+xy=0.$$

Подставляем из системы:

$$t^2-at+\frac{b^{2}c}{4}=0.$$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта:

$$\mathrm{\Delta }=a^2-4\cdot 1\cdot \frac{b^{2}c}{4}=a^2-b^{2}c\mathrm{.}$$

Корни этого уравнения будут:

$$t=\frac{a\pm \sqrt{a^2-b^{2}c}}{2}\mathrm{.}$$

Таким образом, $x$ и $y$ можно записать как:

$$x=\frac{a+\sqrt{a^2-b^{2}c}}{2},y=\frac{a-\sqrt{a^2-b^{2}c}}{2}\mathrm{.}$$

Шаг 4: Проверка выражения для $x+y$

Проверим, что $x+y=a$:

$$x+y=\frac{a+\sqrt{a^2-b^{2}c}}{2}+\frac{a-\sqrt{a^2-b^{2}c}}{2}=\frac{a+\sqrt{a^2-b^{2}c}+a-\sqrt{a^2-b^{2}c}}{2}=\frac{2a}{2}=a\mathrm{.}$$

Это верно.

Шаг 5: Проверка выражения для $2\sqrt{xy}$

Теперь проверим выражение для $2\sqrt{xy}$:

$$2\sqrt{xy}=2\sqrt{\left(\frac{a+\sqrt{a^2-b^{2}c}}{2}\right)\left(\frac{a-\sqrt{a^2-b^{2}c}}{2}\right)}\mathrm{.}$$

Сначала раскроем произведение под корнем:

$$xy=\frac{(a+\sqrt{a^2-b^{2}c})(a-\sqrt{a^2-b^{2}c})}{4}=\frac{a^2-(a^2-b^{2}c)}{4}=\frac{b^{2}c}{4}\mathrm{.}$$

Следовательно:

$$2\sqrt{xy}=2\sqrt{\frac{b^{2}c}{4}}=\sqrt{b^{2}c}=\mathrm{\mid }b\mathrm{\mid }\sqrt{c}=b\sqrt{c}\mathrm{.}$$

Это соответствует правой части изначального выражения $b\sqrt{c}$.

Заключение:

Мы доказали, что:

$$\sqrt{a+b\sqrt{c}}=\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b^{2}c}}{2}}+\sqrt{\frac{a-\sqrt{a^2-b^{2}c}}{2}},$$

что и требовалось доказать.