ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 405 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Докажите формулу
v(a+bvc) =v((a+v(a^2-b^2 c))/2)+v((a-v(a^2-b^2 c))/2),где b > 0.

$$\sqrt{a + b\sqrt{c}} = \sqrt{\frac{a + \sqrt{a^2 — b^2c}}{2}} + \sqrt{\frac{a — \sqrt{a^2 — b^2c}}{2}},$$

где $b > 0$.

$$\sqrt{a+b\sqrt{c}}=\sqrt{x}+\sqrt{y}\mathrm{.}$$

$$\sqrt{a + b\sqrt{c}} = \sqrt{x} + \sqrt{y}.$$ $$a+b\sqrt{c}=x+y+2\sqrt{xy}\mathrm{.}$$

$$a + b\sqrt{c} = x + y + 2\sqrt{xy}.$$ $$x + y = a \quad \text{и} \quad b\sqrt{c} = 2\sqrt{xy}.$$

Тогда: $x = \frac{a + \sqrt{a^2 — b^2c}}{2}$ и $y = \frac{a — \sqrt{a^2 — b^2c}}{2}$:

$$x+y=\frac{a+\sqrt{a^2-b^{2}c}}{2}+\frac{a-\sqrt{a^2-b^{2}c}}{2}=$$

$$x + y = \frac{a + \sqrt{a^2 — b^2c}}{2} + \frac{a — \sqrt{a^2 — b^2c}}{2} =$$ $$=\frac{a+\sqrt{a^2-b^{2}c}+a-\sqrt{a^2-b^{2}c}}{2}=\frac{2a}{2}=a\text{— верно.}$$

$$= \frac{a + \sqrt{a^2 — b^2c} + a — \sqrt{a^2 — b^2c}}{2} = \frac{2a}{2} = a \quad \text{— верно.}$$ $$2\sqrt{xy}=2\sqrt{\left(\frac{a+\sqrt{a^2-b^{2}c}}{2}\right)\left(\frac{a-\sqrt{a^2-b^{2}c}}{2}\right)}=$$

$$2\sqrt{xy} = 2\sqrt{\left(\frac{a + \sqrt{a^2 — b^2c}}{2}\right)\left(\frac{a — \sqrt{a^2 — b^2c}}{2}\right)} =$$ $$=\sqrt{(a+\sqrt{a^2-b^{2}c})(a-\sqrt{a^2-b^{2}c})}=$$

$$= \sqrt{\left(a + \sqrt{a^2 — b^2c}\right)\left(a — \sqrt{a^2 — b^2c}\right)} =$$ $$= \sqrt{a^2 — (a^2 — b^2c)} = \sqrt{a^2 — a^2 + b^2c} = \sqrt{b^2c} = |b|\sqrt{c} = b\sqrt{c}.$$

Что и требовалось доказать.

1) Разложение выражения $\sqrt{a + b\sqrt{c}}$:

Нам нужно доказать, что выражение:

$$\sqrt{a + b\sqrt{c}} = \sqrt{\frac{a + \sqrt{a^2 — b^2c}}{2}} + \sqrt{\frac{a — \sqrt{a^2 — b^2c}}{2}},$$

где $b > 0$, действительно справедливо.

Шаг 1: Допущение, что $\sqrt{a + b\sqrt{c}} = \sqrt{x} + \sqrt{y}$

Предположим, что выражение для корня $\sqrt{a + b\sqrt{c}}$ можно записать в виде:

$$\sqrt{a + b\sqrt{c}} = \sqrt{x} + \sqrt{y}.$$

Теперь возведем обе стороны в квадрат:

$$a + b\sqrt{c} = (\sqrt{x} + \sqrt{y})^2.$$

Раскрываем правую часть:

$$a + b\sqrt{c} = x + y + 2\sqrt{xy}.$$

Шаг 2: Приравнивание рациональной и иррациональной частей

Теперь приравниваем рациональные и иррациональные части:

• Рациональная часть: $x + y = a$.
• Иррациональная часть: $b\sqrt{c} = 2\sqrt{xy}$.

Из второго уравнения $b\sqrt{c} = 2\sqrt{xy}$, делим обе стороны на 2:

$$\sqrt{xy} = \frac{b\sqrt{c}}{2}.$$

Возводим обе стороны в квадрат:

$$xy = \left(\frac{b\sqrt{c}}{2}\right)^2 = \frac{b^2c}{4}.$$

Следовательно, мы имеем систему уравнений:

$x + y = a$

$xy = \frac{b^2c}{4}$

Шаг 3: Решение системы уравнений

Теперь мы можем решить систему уравнений:

$x + y = a$

$xy = \frac{b^2c}{4}$

Эти уравнения являются стандартной системой для нахождения корней квадратного уравнения. Рассмотрим квадратное уравнение, корнями которого будут $x$ и $y$:

$$t^2 — (x + y)t + xy = 0.$$

Подставляем из системы:

$$t^2 — at + \frac{b^2c}{4} = 0.$$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта:

$$\Delta = a^2 — 4\cdot 1 \cdot \frac{b^2c}{4} = a^2 — b^2c.$$

Корни этого уравнения будут:

$$t = \frac{a \pm \sqrt{a^2 — b^2c}}{2}.$$

Таким образом, $x$ и $y$ можно записать как:

$$x = \frac{a + \sqrt{a^2 — b^2c}}{2}, \quad y = \frac{a — \sqrt{a^2 — b^2c}}{2}.$$

Шаг 4: Проверка выражения для $x + y$

Проверим, что $x + y = a$:

$$x + y = \frac{a + \sqrt{a^2 — b^2c}}{2} + \frac{a — \sqrt{a^2 — b^2c}}{2} = \frac{a + \sqrt{a^2 — b^2c} + a — \sqrt{a^2 — b^2c}}{2} = \frac{2a}{2} = a.$$

Это верно.

Шаг 5: Проверка выражения для $2\sqrt{xy}$

Теперь проверим выражение для $2\sqrt{xy}$:

$$2\sqrt{xy} = 2\sqrt{\left(\frac{a + \sqrt{a^2 — b^2c}}{2}\right)\left(\frac{a — \sqrt{a^2 — b^2c}}{2}\right)}.$$

Сначала раскроем произведение под корнем:

$$xy = \frac{(a + \sqrt{a^2 — b^2c})(a — \sqrt{a^2 — b^2c})}{4} = \frac{a^2 — (a^2 — b^2c)}{4} = \frac{b^2c}{4}.$$

Следовательно:

$$2\sqrt{xy} = 2\sqrt{\frac{b^2c}{4}} = \sqrt{b^2c} = |b|\sqrt{c} = b\sqrt{c}.$$

Это соответствует правой части изначального выражения $b\sqrt{c}$.

Заключение:

Мы доказали, что:

$$\sqrt{a + b\sqrt{c}} = \sqrt{\frac{a + \sqrt{a^2 — b^2c}}{2}} + \sqrt{\frac{a — \sqrt{a^2 — b^2c}}{2}},$$

что и требовалось доказать.