ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 404 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Упростите выражение:

а) $\sqrt{17-12\sqrt{2}}$

б) $2\sqrt{\sqrt{14+6\sqrt{5}}}$

а) $\sqrt{17-12\sqrt{2}}=x-y\sqrt{2}$

$17-12\sqrt{2}=x^2-2xy\sqrt{2}+2y^2$

$x^2+2y^2=17\text{и}12\sqrt{2}=2xy\sqrt{2}$

$xy=6.$

Тогда: $x=3$ и $y=2$ или $x=2$ и $y=3$, но $2-3\sqrt{2}<0$.

$\sqrt{17-12\sqrt{2}}=3-2\sqrt{2}\mathrm{.}$

б) $2\sqrt{\sqrt{14+6\sqrt{5}}}$;

$\sqrt{14+6\sqrt{5}}=x+y\sqrt{5}$

$14+6\sqrt{5}=x^2+2xy\sqrt{5}+5y^2$

$x^2+5y^2=14\text{и}6\sqrt{5}=2xy\sqrt{5}$

$xy=3.$

Тогда: $x=3$ и $y=1$:

$\sqrt{14+6\sqrt{5}}=\sqrt{3+\sqrt{5}}\mathrm{.}$

$2\sqrt{\sqrt{14+6\sqrt{5}}}=2\sqrt{\sqrt{3+\sqrt{5}}}=\sqrt{x}+\sqrt{y}\mathrm{.}$

$12+4\sqrt{5}=x+y+2\sqrt{xy}$

$x+y=12\text{и}4\sqrt{5}=2\sqrt{xy}$

$2\sqrt{20}=2\sqrt{xy}$

$xy=20.$

Тогда: $x=10$ и $y=2$ или $x=2$ и $y=10$:

$2\sqrt{\sqrt{14+6\sqrt{5}}}=\sqrt{10}+\sqrt{2}=\sqrt{2}+\sqrt{10}\mathrm{.}$

1) Решение для $\sqrt{17-12\sqrt{2}}=x-y\sqrt{2}$:

Нам нужно выразить $\sqrt{17-12\sqrt{2}}$ в виде $x-y\sqrt{2}$, где $x$ и $y$ — неизвестные, которые мы будем искать.

Шаг 1: Возводим обе стороны в квадрат

$$\sqrt{17-12\sqrt{2}}=x-y\sqrt{2}$$

Возводим обе стороны в квадрат:

$$17-12\sqrt{2}=(x-y\sqrt{2}{)}^2$$

Раскрываем правую часть:

$$17-12\sqrt{2}=x^2-2xy\sqrt{2}+2y^2$$

Теперь разделим это на две части — рациональную и иррациональную. Приравниваем их:

• Рациональная часть: $x^2+2y^2=17$
• Иррациональная часть: $-12\sqrt{2}=-2xy\sqrt{2}$

Шаг 2: Решаем систему уравнений

Из второго уравнения $-12\sqrt{2}=-2xy\sqrt{2}$, делим обе стороны на $-2\sqrt{2}$:

$$xy=6$$

Теперь у нас есть система уравнений:

$x^2+2y^2=17$

$xy=6$

Шаг 3: Решаем систему

Решаем систему уравнений методом подбора.

Пусть $x=3$ и $y=2$. Подставим это в первое уравнение:

$$x^2+2y^2=3^2+2\cdot 2^2=9+8=17$$

Это удовлетворяет уравнению. Проверим второе уравнение:

$$xy=3\cdot 2=6$$

Это тоже верно. Таким образом, $x=3$ и $y=2$ (или наоборот).

Шаг 4: Проверка знаков

Теперь проверим, какой из вариантов $\sqrt{x}-\sqrt{y}$ будет положительным. Мы должны выбрать $x=3$ и $y=2$, потому что $3-2\sqrt{2}>0$, в то время как $2-3\sqrt{2}<0$.

Ответ:

$$\sqrt{17-12\sqrt{2}}=3-2\sqrt{2}$$

2) Решение для $2\sqrt{\sqrt{14+6\sqrt{5}}}$:

Рассмотрим выражение $2\sqrt{\sqrt{14+6\sqrt{5}}}$.

Шаг 1: Разлагаем на более простое выражение

Начнем с выражения $\sqrt{14+6\sqrt{5}}=x+y\sqrt{5}$. Возводим обе стороны в квадрат:

$$14+6\sqrt{5}=(x+y\sqrt{5}{)}^2$$

Раскрываем правую часть:

$$14+6\sqrt{5}=x^2+2xy\sqrt{5}+5y^2$$

Теперь приравниваем рациональную и иррациональную части:

Рациональная часть: $x^2+5y^2=14$

Иррациональная часть: $6\sqrt{5}=2xy\sqrt{5}$

Шаг 2: Решаем систему уравнений

Из второго уравнения $6\sqrt{5}=2xy\sqrt{5}$, делим обе стороны на $2\sqrt{5}$:

$$xy=3$$

Теперь у нас есть система уравнений:

$x^2+5y^2=14$

$xy=3$

Шаг 3: Решаем систему

Используем метод подбора. Пусть $x=3$ и $y=1$. Подставим это в первое уравнение:

$$x^2+5y^2=3^2+5\cdot 1^2=9+5=14$$

Это удовлетворяет уравнению. Проверим второе уравнение:

$$xy=3\cdot 1=3$$

Это также верно. Таким образом, $x=3$ и $y=1$.

Шаг 4: Проверка второго выражения

Теперь подставим $x=3$ и $y=1$ в исходное выражение:

$$\sqrt{14+6\sqrt{5}}=\sqrt{3+\sqrt{5}}$$

Теперь нужно выразить $2\sqrt{\sqrt{14+6\sqrt{5}}}$:

$$2\sqrt{\sqrt{14+6\sqrt{5}}}=2\sqrt{\sqrt{3+\sqrt{5}}}$$

Пусть $2\sqrt{\sqrt{3+\sqrt{5}}}=\sqrt{x}+\sqrt{y}$. Возводим обе стороны в квадрат:

$$12+4\sqrt{5}=x+y+2\sqrt{xy}$$

Приравниваем рациональные и иррациональные части:

• Рациональная часть: $x+y=12$
• Иррациональная часть: $4\sqrt{5}=2\sqrt{xy}$

Из второго уравнения $4\sqrt{5}=2\sqrt{xy}$, делим обе стороны на 2:

$$2\sqrt{5}=\sqrt{xy}$$

Возводим обе стороны в квадрат:

$$4\cdot 5=xy\Rightarrow xy=20$$

Теперь подставим $x=10$ и $y=2$ или $x=2$ и $y=10$. Проверим:

$$x+y=10+2=12$$

Это верно.

Ответ:

$$2\sqrt{\sqrt{14+6\sqrt{5}}}=\sqrt{10}+\sqrt{2}=\sqrt{2}+\sqrt{10}\mathrm{.}$$

Итоговые ответы:

• $\sqrt{17-12\sqrt{2}}=3-2\sqrt{2}$
• $2\sqrt{\sqrt{14+6\sqrt{5}}}=\sqrt{10}+\sqrt{2}=\sqrt{2}+\sqrt{10}$