ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 404 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Упростите выражение:
а) v(17-12v2) ;
б) 2v(v(14+6v5) ) .

а) $\sqrt{17 — 12\sqrt{2}} = x — y\sqrt{2}$

$17 — 12\sqrt{2} = x^2 — 2xy\sqrt{2} + 2y^2$

$x^2 + 2y^2 = 17 \quad \text{и} \quad 12\sqrt{2} = 2xy\sqrt{2}$

$xy = 6.$

Тогда: $x = 3$ и $y = 2$ или $x = 2$ и $y = 3$, но $2 — 3\sqrt{2} < 0$.

$\sqrt{17 — 12\sqrt{2}} = 3 — 2\sqrt{2}.$

б) $2\sqrt{\sqrt{14 + 6\sqrt{5}}}$;

$\sqrt{14 + 6\sqrt{5}} = x + y\sqrt{5}$

$14 + 6\sqrt{5} = x^2 + 2xy\sqrt{5} + 5y^2$

$x^2 + 5y^2 = 14 \quad \text{и} \quad 6\sqrt{5} = 2xy\sqrt{5}$

$xy = 3.$

Тогда: $x = 3$ и $y = 1$:

$\sqrt{14 + 6\sqrt{5}} = \sqrt{3 + \sqrt{5}}.$

$2\sqrt{\sqrt{14 + 6\sqrt{5}}} = 2\sqrt{\sqrt{3 + \sqrt{5}}} = \sqrt{x} + \sqrt{y}.$

$12 + 4\sqrt{5} = x + y + 2\sqrt{xy}$

$x + y = 12 \quad \text{и} \quad 4\sqrt{5} = 2\sqrt{xy}$

$2\sqrt{20} = 2\sqrt{xy}$

$xy = 20.$

Тогда: $x = 10$ и $y = 2$ или $x = 2$ и $y = 10$:

$2\sqrt{\sqrt{14 + 6\sqrt{5}}} = \sqrt{10} + \sqrt{2} = \sqrt{2} + \sqrt{10}.$

1) Решение для $\sqrt{17 — 12\sqrt{2}} = x — y\sqrt{2}$:

Нам нужно выразить $\sqrt{17 — 12\sqrt{2}}$ в виде $x — y\sqrt{2}$, где $x$ и $y$ — неизвестные, которые мы будем искать.

Шаг 1: Возводим обе стороны в квадрат

$$\sqrt{17 — 12\sqrt{2}} = x — y\sqrt{2}$$

Возводим обе стороны в квадрат:

$$17 — 12\sqrt{2} = (x — y\sqrt{2})^2$$

Раскрываем правую часть:

$$17 — 12\sqrt{2} = x^2 — 2xy\sqrt{2} + 2y^2$$

Теперь разделим это на две части — рациональную и иррациональную. Приравниваем их:

• Рациональная часть: $x^2 + 2y^2 = 17$
• Иррациональная часть: $-12\sqrt{2} = -2xy\sqrt{2}$

Шаг 2: Решаем систему уравнений

Из второго уравнения $-12\sqrt{2} = -2xy\sqrt{2}$, делим обе стороны на $-2\sqrt{2}$:

$$xy = 6$$

Теперь у нас есть система уравнений:

$x^2 + 2y^2 = 17$

$xy = 6$

Шаг 3: Решаем систему

Решаем систему уравнений методом подбора.

Пусть $x = 3$ и $y = 2$. Подставим это в первое уравнение:

$$x^2 + 2y^2 = 3^2 + 2 \cdot 2^2 = 9 + 8 = 17$$

Это удовлетворяет уравнению. Проверим второе уравнение:

$$xy = 3 \cdot 2 = 6$$

Это тоже верно. Таким образом, $x = 3$ и $y = 2$ (или наоборот).

Шаг 4: Проверка знаков

Теперь проверим, какой из вариантов $\sqrt{x} — \sqrt{y}$ будет положительным. Мы должны выбрать $x = 3$ и $y = 2$, потому что $3 — 2\sqrt{2} > 0$, в то время как $2 — 3\sqrt{2} < 0$.

Ответ:

$$\sqrt{17 — 12\sqrt{2}} = 3 — 2\sqrt{2}$$

2) Решение для $2\sqrt{\sqrt{14 + 6\sqrt{5}}}$:

Рассмотрим выражение $2\sqrt{\sqrt{14 + 6\sqrt{5}}}$.

Шаг 1: Разлагаем на более простое выражение

Начнем с выражения $\sqrt{14 + 6\sqrt{5}} = x + y\sqrt{5}$. Возводим обе стороны в квадрат:

$$14 + 6\sqrt{5} = (x + y\sqrt{5})^2$$

Раскрываем правую часть:

$$14 + 6\sqrt{5} = x^2 + 2xy\sqrt{5} + 5y^2$$

Теперь приравниваем рациональную и иррациональную части:

Рациональная часть: $x^2 + 5y^2 = 14$

Иррациональная часть: $6\sqrt{5} = 2xy\sqrt{5}$

Шаг 2: Решаем систему уравнений

Из второго уравнения $6\sqrt{5} = 2xy\sqrt{5}$, делим обе стороны на $2\sqrt{5}$:

$$xy = 3$$

Теперь у нас есть система уравнений:

$x^2 + 5y^2 = 14$

$xy = 3$

Шаг 3: Решаем систему

Используем метод подбора. Пусть $x = 3$ и $y = 1$. Подставим это в первое уравнение:

$$x^2 + 5y^2 = 3^2 + 5 \cdot 1^2 = 9 + 5 = 14$$

Это удовлетворяет уравнению. Проверим второе уравнение:

$$xy = 3 \cdot 1 = 3$$

Это также верно. Таким образом, $x = 3$ и $y = 1$.

Шаг 4: Проверка второго выражения

Теперь подставим $x = 3$ и $y = 1$ в исходное выражение:

$$\sqrt{14 + 6\sqrt{5}} = \sqrt{3 + \sqrt{5}}$$

Теперь нужно выразить $2\sqrt{\sqrt{14 + 6\sqrt{5}}}$:

$$2\sqrt{\sqrt{14 + 6\sqrt{5}}} = 2\sqrt{\sqrt{3 + \sqrt{5}}}$$

Пусть $2\sqrt{\sqrt{3 + \sqrt{5}}} = \sqrt{x} + \sqrt{y}$. Возводим обе стороны в квадрат:

$$12 + 4\sqrt{5} = x + y + 2\sqrt{xy}$$

Приравниваем рациональные и иррациональные части:

• Рациональная часть: $x + y = 12$
• Иррациональная часть: $4\sqrt{5} = 2\sqrt{xy}$

Из второго уравнения $4\sqrt{5} = 2\sqrt{xy}$, делим обе стороны на 2:

$$2\sqrt{5} = \sqrt{xy}$$

Возводим обе стороны в квадрат:

$$4 \cdot 5 = xy \quad \Rightarrow \quad xy = 20$$

Теперь подставим $x = 10$ и $y = 2$ или $x = 2$ и $y = 10$. Проверим:

$$x + y = 10 + 2 = 12$$

Это верно.

Ответ:

$$2\sqrt{\sqrt{14 + 6\sqrt{5}}} = \sqrt{10} + \sqrt{2} = \sqrt{2} + \sqrt{10}.$$

Итоговые ответы:

• $\sqrt{17 — 12\sqrt{2}} = 3 — 2\sqrt{2}$
• $2\sqrt{\sqrt{14 + 6\sqrt{5}}} = \sqrt{10} + \sqrt{2} = \sqrt{2} + \sqrt{10}$