ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 403 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Упростите выражение:
а) v(7+2v10) ;
б) v(7-2v10) ;
в) v(8+2v15) ;
г) v(8-2v15) .

а) $\sqrt{7 + 2\sqrt{10}} = \sqrt{x} + \sqrt{y};$

$7 + 2\sqrt{10} = (\sqrt{x} + \sqrt{y})^2$

$7 + 2\sqrt{10} = x + y + 2\sqrt{xy}$

$x + y = 7 \quad \text{и} \quad 2\sqrt{10} = 2\sqrt{xy}$

$xy = 10.$

Тогда: $x = 2$ и $y = 5$ или $x = 5$ и $y = 2$:

$\sqrt{7 + 2\sqrt{10}} = \sqrt{2} + \sqrt{5} = \sqrt{5} + \sqrt{2}.$

б) $\sqrt{7 — 2\sqrt{10}} = \sqrt{x} — \sqrt{y};$

$7 — 2\sqrt{10} = (\sqrt{x} — \sqrt{y})^2$

$7 — 2\sqrt{10} = x + y — 2\sqrt{xy}$

$x + y = 7 \quad \text{и} \quad 2\sqrt{10} = 2\sqrt{xy}$

$xy = 10.$

Тогда: $x = 2$ и $y = 5$ или $x = 5$ и $y = 2$, но $\sqrt{2} — \sqrt{5} < 0$.

в) $\sqrt{8 + 2\sqrt{15}} = \sqrt{x} + \sqrt{y};$

$8 + 2\sqrt{15} = x + y + 2\sqrt{xy}$

$x + y = 8 \quad \text{и} \quad 2\sqrt{15} = 2\sqrt{xy}$

$xy = 15.$

Тогда: $x = 3$ и $y = 5$ или $x = 5$ и $y = 3$:

$\sqrt{8 + 2\sqrt{15}} = \sqrt{3} + \sqrt{5} = \sqrt{5} + \sqrt{3}.$

г) $\sqrt{8 — 2\sqrt{15}} = \sqrt{x} — \sqrt{y};$

$8 — 2\sqrt{15} = x + y — 2\sqrt{xy}$

$x + y = 8 \quad \text{и} \quad 2\sqrt{15} = 2\sqrt{xy}$

$xy = 15.$

Тогда: $x = 3$ и $y = 5$ или $x = 5$ и $y = 3$, но $\sqrt{3} — \sqrt{5} < 0$.

$\sqrt{8 — 2\sqrt{15}} = \sqrt{5} — \sqrt{3}.$

$\sqrt{7 — 2\sqrt{10}} = \sqrt{5} — \sqrt{2}.$

1) Решение для $\sqrt{7 + 2\sqrt{10}} = \sqrt{x} + \sqrt{y}$:

Нам нужно выразить $\sqrt{7 + 2\sqrt{10}}$ в виде $\sqrt{x} + \sqrt{y}$, где $x$ и $y$ — неизвестные, которые мы будем искать.

Шаг 1: Возводим обе стороны в квадрат

$$\sqrt{7 + 2\sqrt{10}} = \sqrt{x} + \sqrt{y}$$

Возводим обе стороны в квадрат:

$$7 + 2\sqrt{10} = (\sqrt{x} + \sqrt{y})^2$$

Раскрываем правую часть:

$$7 + 2\sqrt{10} = x + y + 2\sqrt{xy}$$

Теперь приравниваем рациональные и иррациональные части:

$x + y = 7$ — рациональная часть.

$2\sqrt{10} = 2\sqrt{xy}$ — иррациональная часть.

Шаг 2: Решаем систему уравнений

Из второго уравнения $2\sqrt{10} = 2\sqrt{xy}$, делим обе стороны на 2:

$$\sqrt{10} = \sqrt{xy}$$

Возводим обе стороны в квадрат:

$$10 = xy$$

Теперь у нас есть система уравнений:

$x + y = 7$

$xy = 10$

Шаг 3: Решаем систему

Используем метод подбора, чтобы найти значения для $x$ и $y$. Пусть:

$$x = 2 \quad \text{и} \quad y = 5 \quad \text{или} \quad x = 5 \quad \text{и} \quad y = 2$$

Подставим эти значения в первое уравнение:

$$x + y = 2 + 5 = 7$$

Это верно, следовательно, возможные значения для $x$ и $y$ — это 2 и 5.

Шаг 4: Проверяем решение

Теперь подставим $x = 2$ и $y = 5$ (или наоборот) в исходное выражение:

$$\sqrt{7 + 2\sqrt{10}} = \sqrt{2} + \sqrt{5} = \sqrt{5} + \sqrt{2}$$

Ответ:

$$\sqrt{7 + 2\sqrt{10}} = \sqrt{2} + \sqrt{5} = \sqrt{5} + \sqrt{2}.$$

2) Решение для $\sqrt{7 — 2\sqrt{10}} = \sqrt{x} — \sqrt{y}$:

Теперь рассмотрим выражение $\sqrt{7 — 2\sqrt{10}}$ и представим его в виде $\sqrt{x} — \sqrt{y}$.

Шаг 1: Возводим обе стороны в квадрат

$$\sqrt{7 — 2\sqrt{10}} = \sqrt{x} — \sqrt{y}$$

Возводим обе стороны в квадрат:

$$7 — 2\sqrt{10} = (\sqrt{x} — \sqrt{y})^2$$

Раскрываем правую часть:

$$7 — 2\sqrt{10} = x + y — 2\sqrt{xy}$$

Теперь приравниваем рациональные и иррациональные части:

$x + y = 7$

$2\sqrt{10} = 2\sqrt{xy}$

Шаг 2: Решаем систему уравнений

Из второго уравнения $2\sqrt{10} = 2\sqrt{xy}$, делим обе стороны на 2:

$$\sqrt{10} = \sqrt{xy}$$

Возводим обе стороны в квадрат:

$$10 = xy$$

Система уравнений:

$x + y = 7$

$xy = 10$

Шаг 3: Решаем систему

Решение аналогично предыдущему:

$$x = 2 \quad \text{и} \quad y = 5 \quad \text{или} \quad x = 5 \quad \text{и} \quad y = 2$$

Подставляем эти значения в первое уравнение:

$$x + y = 2 + 5 = 7$$

Теперь проверим, что $\sqrt{2} — \sqrt{5} < 0$, так как мы рассматриваем разность, а не сумму. Это верно, так как $\sqrt{2} — \sqrt{5}$ отрицательно.

Ответ:

$$\sqrt{7 — 2\sqrt{10}} = \sqrt{5} — \sqrt{2}.$$

3) Решение для $\sqrt{8 + 2\sqrt{15}} = \sqrt{x} + \sqrt{y}$:

Для выражения $\sqrt{8 + 2\sqrt{15}}$, аналогично, разлагаем его на два слагаемых.

Шаг 1: Возводим обе стороны в квадрат

$$\sqrt{8 + 2\sqrt{15}} = \sqrt{x} + \sqrt{y}$$

Возводим обе стороны в квадрат:

$$8 + 2\sqrt{15} = x + y + 2\sqrt{xy}$$

Теперь приравниваем рациональные и иррациональные части:

$x + y = 8$

$xy = 15$

Шаг 2: Решаем систему уравнений

Используем метод подбора для значений $x$ и $y$:

$$x = 3 \quad \text{и} \quad y = 5 \quad \text{или} \quad x = 5 \quad \text{и} \quad y = 3$$

Подставляем эти значения в первое уравнение:

$$x + y = 3 + 5 = 8$$

Это верно, следовательно, $x = 3$ и $y = 5$ (или наоборот).

Шаг 3: Проверяем решение

Подставляем найденные значения в исходное выражение:

$$\sqrt{8 + 2\sqrt{15}} = \sqrt{3} + \sqrt{5} = \sqrt{5} + \sqrt{3}$$

Ответ:

$$\sqrt{8 + 2\sqrt{15}} = \sqrt{3} + \sqrt{5} = \sqrt{5} + \sqrt{3}.$$

4) Решение для $\sqrt{8 — 2\sqrt{15}} = \sqrt{x} — \sqrt{y}$:

Наконец, для выражения $\sqrt{8 — 2\sqrt{15}}$, представляем его в виде $\sqrt{x} — \sqrt{y}$.

Шаг 1: Возводим обе стороны в квадрат

$$\sqrt{8 — 2\sqrt{15}} = \sqrt{x} — \sqrt{y}$$

Возводим обе стороны в квадрат:

$$8 — 2\sqrt{15} = x + y — 2\sqrt{xy}$$

Приравниваем рациональные и иррациональные части:

$x + y = 8$

$xy = 15$

Шаг 2: Решаем систему уравнений

Решение аналогично предыдущим:

$$x = 3 \quad \text{и} \quad y = 5 \quad \text{или} \quad x = 5 \quad \text{и} \quad y = 3$$

Подставляем эти значения в первое уравнение:

$$x + y = 3 + 5 = 8$$

Проверяем разность $\sqrt{3} — \sqrt{5} < 0$, так как $\sqrt{3} — \sqrt{5}$ отрицательно.

Ответ:

$$\sqrt{8 — 2\sqrt{15}} = \sqrt{5} — \sqrt{3}.$$

Итоговые ответы:

• $\sqrt{7 + 2\sqrt{10}} = \sqrt{2} + \sqrt{5}$
• $\sqrt{7 — 2\sqrt{10}} = \sqrt{5} — \sqrt{2}$
• $\sqrt{8 + 2\sqrt{15}} = \sqrt{3} + \sqrt{5}$
• $\sqrt{8 — 2\sqrt{15}} = \sqrt{5} — \sqrt{3}$