ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 403 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Упростите выражение:

a) $\sqrt{7 + 2\sqrt{10}}$;
б) $\sqrt{8 + 2\sqrt{15}}$;
в) $\sqrt{7 — 2\sqrt{10}}$;
г) $\sqrt{8 — 2\sqrt{15}}$.

а) $\sqrt{7+2\sqrt{10}}=\sqrt{x}+\sqrt{y};$

$7+2\sqrt{10}=(\sqrt{x}+\sqrt{y}{)}^2$

$7+2\sqrt{10}=x+y+2\sqrt{xy}$

$x+y=7\text{и}2\sqrt{10}=2\sqrt{xy}$

$xy=10.$

Тогда: $x=2$ и $y=5$ или $x=5$ и $y=2$:

$\sqrt{7+2\sqrt{10}}=\sqrt{2}+\sqrt{5}=\sqrt{5}+\sqrt{2}\mathrm{.}$

б) $\sqrt{7-2\sqrt{10}}=\sqrt{x}-\sqrt{y};$

$7-2\sqrt{10}=(\sqrt{x}-\sqrt{y}{)}^2$

$7-2\sqrt{10}=x+y-2\sqrt{xy}$

$x+y=7\text{и}2\sqrt{10}=2\sqrt{xy}$

$xy=10.$

Тогда: $x=2$ и $y=5$ или $x=5$ и $y=2$, но $\sqrt{2}-\sqrt{5}<0$.

в) $\sqrt{8+2\sqrt{15}}=\sqrt{x}+\sqrt{y};$

$8+2\sqrt{15}=x+y+2\sqrt{xy}$

$x+y=8\text{и}2\sqrt{15}=2\sqrt{xy}$

$xy=15.$

Тогда: $x=3$ и $y=5$ или $x=5$ и $y=3$:

$\sqrt{8+2\sqrt{15}}=\sqrt{3}+\sqrt{5}=\sqrt{5}+\sqrt{3}\mathrm{.}$

г) $\sqrt{8-2\sqrt{15}}=\sqrt{x}-\sqrt{y};$

$8-2\sqrt{15}=x+y-2\sqrt{xy}$

$x+y=8\text{и}2\sqrt{15}=2\sqrt{xy}$

$xy=15.$

Тогда: $x=3$ и $y=5$ или $x=5$ и $y=3$, но $\sqrt{3}-\sqrt{5}<0$.

$\sqrt{8-2\sqrt{15}}=\sqrt{5}-\sqrt{3}\mathrm{.}$

$\sqrt{7-2\sqrt{10}}=\sqrt{5}-\sqrt{2}\mathrm{.}$

1) Решение для $\sqrt{7+2\sqrt{10}}=\sqrt{x}+\sqrt{y}$:

Нам нужно выразить $\sqrt{7+2\sqrt{10}}$ в виде $\sqrt{x}+\sqrt{y}$, где $x$ и $y$ — неизвестные, которые мы будем искать.

Шаг 1: Возводим обе стороны в квадрат

$$\sqrt{7+2\sqrt{10}}=\sqrt{x}+\sqrt{y}$$

Возводим обе стороны в квадрат:

$$7+2\sqrt{10}=(\sqrt{x}+\sqrt{y}{)}^2$$

Раскрываем правую часть:

$$7+2\sqrt{10}=x+y+2\sqrt{xy}$$

Теперь приравниваем рациональные и иррациональные части:

$x+y=7$ — рациональная часть.

$2\sqrt{10}=2\sqrt{xy}$ — иррациональная часть.

Шаг 2: Решаем систему уравнений

Из второго уравнения $2\sqrt{10}=2\sqrt{xy}$, делим обе стороны на 2:

$$\sqrt{10}=\sqrt{xy}$$

Возводим обе стороны в квадрат:

$$10=xy$$

Теперь у нас есть система уравнений:

$x+y=7$

$xy=10$

Шаг 3: Решаем систему

Используем метод подбора, чтобы найти значения для $x$ и $y$. Пусть:

$$x=2\text{и}y=5\text{или}x=5\text{и}y=2$$

Подставим эти значения в первое уравнение:

$$x+y=2+5=7$$

Это верно, следовательно, возможные значения для $x$ и $y$ — это 2 и 5.

Шаг 4: Проверяем решение

Теперь подставим $x=2$ и $y=5$ (или наоборот) в исходное выражение:

$$\sqrt{7+2\sqrt{10}}=\sqrt{2}+\sqrt{5}=\sqrt{5}+\sqrt{2}$$

Ответ:

$$\sqrt{7+2\sqrt{10}}=\sqrt{2}+\sqrt{5}=\sqrt{5}+\sqrt{2}\mathrm{.}$$

2) Решение для $\sqrt{7-2\sqrt{10}}=\sqrt{x}-\sqrt{y}$:

Теперь рассмотрим выражение $\sqrt{7-2\sqrt{10}}$ и представим его в виде $\sqrt{x}-\sqrt{y}$.

Шаг 1: Возводим обе стороны в квадрат

$$\sqrt{7-2\sqrt{10}}=\sqrt{x}-\sqrt{y}$$

Возводим обе стороны в квадрат:

$$7-2\sqrt{10}=(\sqrt{x}-\sqrt{y}{)}^2$$

Раскрываем правую часть:

$$7-2\sqrt{10}=x+y-2\sqrt{xy}$$

Теперь приравниваем рациональные и иррациональные части:

$x+y=7$

$2\sqrt{10}=2\sqrt{xy}$

Шаг 2: Решаем систему уравнений

Из второго уравнения $2\sqrt{10}=2\sqrt{xy}$, делим обе стороны на 2:

$$\sqrt{10}=\sqrt{xy}$$

Возводим обе стороны в квадрат:

$$10=xy$$

Система уравнений:

$x+y=7$

$xy=10$

Шаг 3: Решаем систему

Решение аналогично предыдущему:

$$x=2\text{и}y=5\text{или}x=5\text{и}y=2$$

Подставляем эти значения в первое уравнение:

$$x+y=2+5=7$$

Теперь проверим, что $\sqrt{2}-\sqrt{5}<0$, так как мы рассматриваем разность, а не сумму. Это верно, так как $\sqrt{2}-\sqrt{5}$ отрицательно.

Ответ:

$$\sqrt{7-2\sqrt{10}}=\sqrt{5}-\sqrt{2}\mathrm{.}$$

3) Решение для $\sqrt{8+2\sqrt{15}}=\sqrt{x}+\sqrt{y}$:

Для выражения $\sqrt{8+2\sqrt{15}}$, аналогично, разлагаем его на два слагаемых.

Шаг 1: Возводим обе стороны в квадрат

$$\sqrt{8+2\sqrt{15}}=\sqrt{x}+\sqrt{y}$$

Возводим обе стороны в квадрат:

$$8+2\sqrt{15}=x+y+2\sqrt{xy}$$

Теперь приравниваем рациональные и иррациональные части:

$x+y=8$

$xy=15$

Шаг 2: Решаем систему уравнений

Используем метод подбора для значений $x$ и $y$:

$$x=3\text{и}y=5\text{или}x=5\text{и}y=3$$

Подставляем эти значения в первое уравнение:

$$x+y=3+5=8$$

Это верно, следовательно, $x=3$ и $y=5$ (или наоборот).

Шаг 3: Проверяем решение

Подставляем найденные значения в исходное выражение:

$$\sqrt{8+2\sqrt{15}}=\sqrt{3}+\sqrt{5}=\sqrt{5}+\sqrt{3}$$

Ответ:

$$\sqrt{8+2\sqrt{15}}=\sqrt{3}+\sqrt{5}=\sqrt{5}+\sqrt{3}\mathrm{.}$$

4) Решение для $\sqrt{8-2\sqrt{15}}=\sqrt{x}-\sqrt{y}$:

Наконец, для выражения $\sqrt{8-2\sqrt{15}}$, представляем его в виде $\sqrt{x}-\sqrt{y}$.

Шаг 1: Возводим обе стороны в квадрат

$$\sqrt{8-2\sqrt{15}}=\sqrt{x}-\sqrt{y}$$

Возводим обе стороны в квадрат:

$$8-2\sqrt{15}=x+y-2\sqrt{xy}$$

Приравниваем рациональные и иррациональные части:

$x+y=8$

$xy=15$

Шаг 2: Решаем систему уравнений

Решение аналогично предыдущим:

$$x=3\text{и}y=5\text{или}x=5\text{и}y=3$$

Подставляем эти значения в первое уравнение:

$$x+y=3+5=8$$

Проверяем разность $\sqrt{3}-\sqrt{5}<0$, так как $\sqrt{3}-\sqrt{5}$ отрицательно.

Ответ:

$$\sqrt{8-2\sqrt{15}}=\sqrt{5}-\sqrt{3}\mathrm{.}$$

Итоговые ответы:

• $\sqrt{7+2\sqrt{10}}=\sqrt{2}+\sqrt{5}$
• $\sqrt{7-2\sqrt{10}}=\sqrt{5}-\sqrt{2}$
• $\sqrt{8+2\sqrt{15}}=\sqrt{3}+\sqrt{5}$
• $\sqrt{8-2\sqrt{15}}=\sqrt{5}-\sqrt{3}$