ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 402 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Упростите выражение:
а) v(27+10v2) ;
б) v(9+4v5) .

а) $\sqrt{27 + 10\sqrt{2}} = x + y\sqrt{2}$.

$27 + 10\sqrt{2} = (x + y\sqrt{2})^2$

$27 + 10\sqrt{2} = x^2 + 2xy\sqrt{2} + 2y^2$

$27 + 10\sqrt{2} = (x^2 + 2y^2) + 2xy\sqrt{2}$

$x^2 + 2y^2 = 27 \quad \text{и} \quad 2xy\sqrt{2} = 10\sqrt{2}$

$xy = 5.$

Пусть $x = 5$ и $y = 1$: $\sqrt{27 + 10\sqrt{2}} = 5 + \sqrt{2}.$

б) $\sqrt{9 + 4\sqrt{5}} = x + y\sqrt{5}$.

$9 + 4\sqrt{5} = (x + y\sqrt{5})^2$

$9 + 4\sqrt{5} = x^2 + 2xy\sqrt{5} + 5y^2$

$9 + 4\sqrt{5} = (x^2 + 5y^2) + 2xy\sqrt{5}$

$x^2 + 5y^2 = 9 \quad \text{и} \quad 2xy\sqrt{5} = 4\sqrt{5}$

$xy = 1.$

Пусть $x = 2$ и $y = 1$: $\sqrt{9 + 4\sqrt{5}} = 2 + \sqrt{5}.$

1) Решение для $\sqrt{27 + 10\sqrt{2}} = x + y\sqrt{2}$:

Нам нужно выразить $\sqrt{27 + 10\sqrt{2}}$ в виде $x + y\sqrt{2}$, где $x$ и $y$ — числа, которые мы ищем. Для этого возведем обе стороны в квадрат.

$$\sqrt{27 + 10\sqrt{2}} = x + y\sqrt{2}$$

Возводим обе стороны в квадрат:

$$27 + 10\sqrt{2} = (x + y\sqrt{2})^2$$

Теперь раскрываем правую часть:

$$27 + 10\sqrt{2} = x^2 + 2xy\sqrt{2} + 2y^2$$

Разделим это на два слагаемых — одно с рациональной частью, другое с иррациональной. Получим систему:

$$27 + 10\sqrt{2} = (x^2 + 2y^2) + 2xy\sqrt{2}$$

Теперь приравниваем рациональные и иррациональные части:

1. $x^2 + 2y^2 = 27$
2. $2xy\sqrt{2} = 10\sqrt{2}$

Сначала решим второе уравнение для $xy$:

$$2xy = 10$$

Отсюда:

$$xy = 5$$

Теперь подставим это значение в первое уравнение:

$$x^2 + 2y^2 = 27$$

Теперь подставим $y = \frac{5}{x}$ (из уравнения $xy = 5$):

$$x^2 + 2\left(\frac{5}{x}\right)^2 = 27$$

Упростим это уравнение:

$$x^2 + 2 \cdot \frac{25}{x^2} = 27$$

Умножим обе части на $x^2$, чтобы избавиться от дробей:

$$x^4 + 50 = 27x^2$$

Переносим все на одну сторону:

$$x^4 — 27x^2 + 50 = 0$$

Это квадратное уравнение относительно $x^2$. Обозначим $z = x^2$, тогда у нас получается:

$$z^2 — 27z + 50 = 0$$

Решаем это уравнение с помощью формулы:

$$z = \frac{-(-27) \pm \sqrt{(-27)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 50}}{2 \cdot 1}$$

$$z = \frac{27 \pm \sqrt{729 — 200}}{2} = \frac{27 \pm \sqrt{529}}{2}$$

$$z = \frac{27 \pm 23}{2}$$

Получаем два значения для $z$:

$$z = \frac{27 + 23}{2} = 25 \quad \text{или} \quad z = \frac{27 — 23}{2} = 2$$

Следовательно, $x^2 = 25$ или $x^2 = 2$. Тогда:

• Если $x^2 = 25$, то $x = 5$.
• Если $x^2 = 2$, то $x = \sqrt{2}$, но это не подходит для простого решения.

Таким образом, $x = 5$.

Теперь находим $y$ из уравнения $xy = 5$:

$$y = \frac{5}{x} = \frac{5}{5} = 1$$

Ответ для первого выражения:

$$\sqrt{27 + 10\sqrt{2}} = 5 + \sqrt{2}.$$

2) Решение для $\sqrt{9 + 4\sqrt{5}} = x + y\sqrt{5}$:

Теперь аналогично решим второе уравнение:

$$\sqrt{9 + 4\sqrt{5}} = x + y\sqrt{5}$$

Возводим обе стороны в квадрат:

$$9 + 4\sqrt{5} = (x + y\sqrt{5})^2$$

Раскрываем правую часть:

$$9 + 4\sqrt{5} = x^2 + 2xy\sqrt{5} + 5y^2$$

Опять разделим на рациональную и иррациональную части:

$$9 + 4\sqrt{5} = (x^2 + 5y^2) + 2xy\sqrt{5}$$

Приравниваем рациональные и иррациональные части:

1. $x^2 + 5y^2 = 9$
2. $2xy\sqrt{5} = 4\sqrt{5}$

Решаем второе уравнение для $xy$:

$$2xy = 4$$

Отсюда:

$$xy = 2$$

Теперь подставим это в первое уравнение:

$$x^2 + 5y^2 = 9$$

Подставим $y = \frac{2}{x}$ (из уравнения $xy = 2$):

$$x^2 + 5\left(\frac{2}{x}\right)^2 = 9$$

Упрощаем:

$$x^2 + 5 \cdot \frac{4}{x^2} = 9$$

Умножим обе части на $x^2$, чтобы избавиться от дробей:

$$x^4 + 20 = 9x^2$$

Переносим все на одну сторону:

$$x^4 — 9x^2 + 20 = 0$$

Заменим $z = x^2$:

$$z^2 — 9z + 20 = 0$$

Решаем это уравнение с помощью формулы:

$$z = \frac{-(-9) \pm \sqrt{(-9)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 20}}{2 \cdot 1}$$ $$z = \frac{9 \pm \sqrt{81 — 80}}{2} = \frac{9 \pm \sqrt{1}}{2}$$ $$z = \frac{9 \pm 1}{2}$$

Получаем два значения для $z$:

$$z = \frac{9 + 1}{2} = 5 \quad \text{или} \quad z = \frac{9 — 1}{2} = 4$$

Таким образом, $x^2 = 5$ или $x^2 = 4$. Тогда:

• Если $x^2 = 5$, то $x = \sqrt{5}$.
• Если $x^2 = 4$, то $x = 2$.

Выбираем $x = 2$, так как это проще.

Теперь находим $y$ из уравнения $xy = 2$:

$$y = \frac{2}{x} = \frac{2}{2} = 1$$

Ответ для второго выражения:

$$\sqrt{9 + 4\sqrt{5}} = 2 + \sqrt{5}.$$

Итоговые ответы:

• $\sqrt{27 + 10\sqrt{2}} = 5 + \sqrt{2}$
• $\sqrt{9 + 4\sqrt{5}} = 2 + \sqrt{5}$