ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 402 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Упростите выражение:

a) $\sqrt{27 + 10\sqrt{2}}$;
б) $\sqrt{9 + 4\sqrt{5}}$.

а) $\sqrt{27+10\sqrt{2}}=x+y\sqrt{2}$.

$27+10\sqrt{2}=(x+y\sqrt{2}{)}^2$

$27+10\sqrt{2}=x^2+2xy\sqrt{2}+2y^2$

$27+10\sqrt{2}=(x^2+2y^2)+2xy\sqrt{2}$

$x^2+2y^2=27\text{и}2xy\sqrt{2}=10\sqrt{2}$

$xy=5.$

Пусть $x=5$ и $y=1$: $\sqrt{27+10\sqrt{2}}=5+\sqrt{2}\mathrm{.}$

б) $\sqrt{9+4\sqrt{5}}=x+y\sqrt{5}$.

$9+4\sqrt{5}=(x+y\sqrt{5}{)}^2$

$9+4\sqrt{5}=x^2+2xy\sqrt{5}+5y^2$

$9+4\sqrt{5}=(x^2+5y^2)+2xy\sqrt{5}$

$x^2+5y^2=9\text{и}2xy\sqrt{5}=4\sqrt{5}$

$xy=1.$

Пусть $x=2$ и $y=1$: $\sqrt{9+4\sqrt{5}}=2+\sqrt{5}\mathrm{.}$

1) Решение для $\sqrt{27+10\sqrt{2}}=x+y\sqrt{2}$:

Нам нужно выразить $\sqrt{27+10\sqrt{2}}$ в виде $x+y\sqrt{2}$, где $x$ и $y$ — числа, которые мы ищем. Для этого возведем обе стороны в квадрат.

$$\sqrt{27+10\sqrt{2}}=x+y\sqrt{2}$$

Возводим обе стороны в квадрат:

$$27+10\sqrt{2}=(x+y\sqrt{2}{)}^2$$

Теперь раскрываем правую часть:

$$27+10\sqrt{2}=x^2+2xy\sqrt{2}+2y^2$$

Разделим это на два слагаемых — одно с рациональной частью, другое с иррациональной. Получим систему:

$$27+10\sqrt{2}=(x^2+2y^2)+2xy\sqrt{2}$$

Теперь приравниваем рациональные и иррациональные части:

$x^2+2y^2=27$

$2xy\sqrt{2}=10\sqrt{2}$

Сначала решим второе уравнение для $xy$:

$$2xy=10$$

Отсюда:

$$xy=5$$

Теперь подставим это значение в первое уравнение:

$$x^2+2y^2=27$$

Теперь подставим $y=\frac{5}{x}$ (из уравнения $xy=5$):

$$x^2+2{\left(\frac{5}{x}\right)}^2=27$$

Упростим это уравнение:

$$x^2+2\cdot \frac{25}{x^2}=27$$

Умножим обе части на $x^2$, чтобы избавиться от дробей:

$$x^4+50=27x^2$$

Переносим все на одну сторону:

$$x^4-27x^2+50=0$$

Это квадратное уравнение относительно $x^2$. Обозначим $z=x^2$, тогда у нас получается:

$$z^2-27z+50=0$$

Решаем это уравнение с помощью формулы:

$$z=\frac{-(-27)\pm \sqrt{(-27{)}^2-4\cdot 1\cdot 50}}{2\cdot 1}$$

$$z=\frac{27\pm \sqrt{729-200}}{2}=\frac{27\pm \sqrt{529}}{2}$$

$$z=\frac{27\pm 23}{2}$$

Получаем два значения для $z$:

$$z=\frac{27+23}{2}=25\text{или}z=\frac{27-23}{2}=2$$

Следовательно, $x^2=25$ или $x^2=2$. Тогда:

Если $x^2=25$, то $x=5$.

Если $x^2=2$, то $x=\sqrt{2}$, но это не подходит для простого решения.

Таким образом, $x=5$.

Теперь находим $y$ из уравнения $xy=5$:

$$y=\frac{5}{x}=\frac{5}{5}=1$$

Ответ для первого выражения:

$$\sqrt{27+10\sqrt{2}}=5+\sqrt{2}\mathrm{.}$$

2) Решение для $\sqrt{9+4\sqrt{5}}=x+y\sqrt{5}$:

Теперь аналогично решим второе уравнение:

$$\sqrt{9+4\sqrt{5}}=x+y\sqrt{5}$$

Возводим обе стороны в квадрат:

$$9+4\sqrt{5}=(x+y\sqrt{5}{)}^2$$

Раскрываем правую часть:

$$9+4\sqrt{5}=x^2+2xy\sqrt{5}+5y^2$$

Опять разделим на рациональную и иррациональную части:

$$9+4\sqrt{5}=(x^2+5y^2)+2xy\sqrt{5}$$

Приравниваем рациональные и иррациональные части:

$x^2+5y^2=9$

$2xy\sqrt{5}=4\sqrt{5}$

Решаем второе уравнение для $xy$:

$$2xy=4$$

Отсюда:

$$xy=2$$

Теперь подставим это в первое уравнение:

$$x^2+5y^2=9$$

Подставим $y=\frac{2}{x}$ (из уравнения $xy=2$):

$$x^2+5{\left(\frac{2}{x}\right)}^2=9$$

Упрощаем:

$$x^2+5\cdot \frac{4}{x^2}=9$$

Умножим обе части на $x^2$, чтобы избавиться от дробей:

$$x^4+20=9x^2$$

Переносим все на одну сторону:

$$x^4-9x^2+20=0$$

Заменим $z=x^2$:

$$z^2-9z+20=0$$

Решаем это уравнение с помощью формулы:

$$z=\frac{-(-9)\pm \sqrt{(-9{)}^2-4\cdot 1\cdot 20}}{2\cdot 1}$$$$z=\frac{9\pm \sqrt{81-80}}{2}=\frac{9\pm \sqrt{1}}{2}$$$$z=\frac{9\pm 1}{2}$$

Получаем два значения для $z$:

$$z=\frac{9+1}{2}=5\text{или}z=\frac{9-1}{2}=4$$

Таким образом, $x^2=5$ или $x^2=4$. Тогда:

• Если $x^2=5$, то $x=\sqrt{5}$.
• Если $x^2=4$, то $x=2$.

Выбираем $x=2$, так как это проще.

Теперь находим $y$ из уравнения $xy=2$:

$$y=\frac{2}{x}=\frac{2}{2}=1$$

Ответ для второго выражения:

$$\sqrt{9+4\sqrt{5}}=2+\sqrt{5}\mathrm{.}$$

Итоговые ответы:

$\sqrt{27+10\sqrt{2}}=5+\sqrt{2}$

$\sqrt{9+4\sqrt{5}}=2+\sqrt{5}$