ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 398 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Объём правильного тетраэдра (трёхгранной пирамиды, все рёбра которой равны) вычисляется по формуле $V = \frac{a^3 \sqrt{3}}{12}$, где $a$ — длина ребра тетраэдра. Выразите из этой формулы длину ребра $a$.

$$V=\frac{a^3\sqrt{3}}{12}$$
$$a^3\sqrt{3}=12V$$

$$$$$$a^3=\frac{12V}{\sqrt{3}}$$

$$a=\sqrt[3]{\frac{12V}{\sqrt{3}}}=\text{exception 25:}$$

$$\text{exception 25:}$$$$a=\sqrt[3]{4\sqrt{3}V}\mathrm{.}$$

Шаг 1: Умножим обе части уравнения на 12

Для того чтобы избавиться от знаменателя, умножим обе стороны уравнения на 12:

$$12V=a^3\sqrt{3}$$

Теперь мы получили выражение, в котором все члены находятся в числовых множителях:

$$a^3\sqrt{3}=12V$$

Шаг 2: Разделим обе части на $\sqrt{3}$

Чтобы изолировать $a^3$, разделим обе стороны уравнения на $\sqrt{3}$:

$$a^3=\frac{12V}{\sqrt{3}}$$

Мы получили выражение для $a^3$, где объем $V$ и корень из 3 представлены в числителе.

Шаг 3: Извлечем кубический корень

Теперь, чтобы найти $a$, нужно извлечь кубический корень из обеих сторон уравнения:

$$a=\sqrt[3]{\frac{12V}{\sqrt{3}}}$$

Для удобства далее преобразуем подкоренное выражение, чтобы сделать его более простым для восприятия.

Шаг 4: Преобразуем выражение под корнем

В числителе у нас есть $12V$, а в знаменателе — $\sqrt{3}$. Умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$, чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе. Получим:

$$a=\sqrt[3]{\frac{12V\sqrt{3}}{3}}$$

Здесь мы воспользовались тем, что $\frac{12}{\sqrt{3}}=\frac{12\sqrt{3}}{3}=4\sqrt{3}$.

Шаг 5: Получаем окончательное выражение для $a$

Теперь, после преобразования, мы получаем следующее выражение для $a$:

$$a=\sqrt[3]{4\sqrt{3}V}$$

Это окончательная форма для выражения $a$ через объем $V$, в которой все члены представлены в виде простых чисел и множителей.

Ответ:

$$a=\text{exception 25:}$$