ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 388 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

1) Заметьте закономерность и запишите следующие три числа в последовательности:
2 2/3,3 3/8,4 4/15,5 5/24,….
2) Проверьте равенства: v(2 2/3)=2v(2/3), v(3 3/8)=3v(3/8), v(4 4/15)=4v(4/15).
Составьте несколько аналогичных равенств.
3) Запишите соответствующее равенство в буквенном виде и докажите его.

1. Целая часть и числитель идут по порядку, а знаменатель равен $(a-1)(a+1)$, где $a$ — целое число и числитель.
   $2\frac{2}{3},3\frac{3}{8},4\frac{4}{15},5\frac{5}{24},6\frac{6}{35},7\frac{7}{48},8\frac{8}{63}$.
2. $\sqrt{2\frac{2}{3}}=\sqrt{\frac{8}{3}}=\frac{\sqrt{4\cdot 2}}{\sqrt{3}}=2\sqrt{\frac{2}{3}}$.
   $\sqrt{3\frac{3}{8}}=\sqrt{\frac{27}{8}}=\frac{\sqrt{9\cdot 3}}{\sqrt{8}}=3\sqrt{\frac{3}{8}}$.
   $\sqrt{4\frac{4}{15}}=\sqrt{\frac{64}{15}}=\frac{\sqrt{16\cdot 4}}{\sqrt{15}}=4\sqrt{\frac{4}{15}}$.

Аналогичные равенства:
$\sqrt{5\frac{5}{24}}=\sqrt{\frac{125}{24}}=\frac{\sqrt{25\cdot 5}}{\sqrt{24}}=5\sqrt{\frac{5}{24}}$.
$\sqrt{6\frac{6}{35}}=\sqrt{\frac{216}{35}}=\frac{\sqrt{36\cdot 6}}{\sqrt{35}}=6\sqrt{\frac{6}{35}}$.

3. $\sqrt{\frac{a}{(a-1)(a+1)}}=\sqrt{\frac{a(a^2-1)+a}{a^2-1}}=\sqrt{\frac{a^3-a+a}{a^2-1}}$
   $=\sqrt{\frac{a^3}{a^2-1}}=a\sqrt{\frac{a}{(a-1)(a+1)}}$.

Целая часть и числитель идут по порядку, а знаменатель равен $(a-1)(a+1)$, где $a$ — целое число и числитель.

Заданы следующие дроби с целыми частями:

$2\frac{2}{3}$, $3\frac{3}{8}$, $4\frac{4}{15}$, $5\frac{5}{24}$, $6\frac{6}{35}$, $7\frac{7}{48}$, $8\frac{8}{63}$.

Чтобы представить их как обыкновенные дроби, нужно выразить числитель в виде целой части, добавив дробную часть:

$2\frac{2}{3}=\frac{2\cdot 3+2}{3}=\frac{8}{3}$

$3\frac{3}{8}=\frac{3\cdot 8+3}{8}=\frac{27}{8}$

$4\frac{4}{15}=\frac{4\cdot 15+4}{15}=\frac{64}{15}$

$5\frac{5}{24}=\frac{5\cdot 24+5}{24}=\frac{125}{24}$

$6\frac{6}{35}=\frac{6\cdot 35+6}{35}=\frac{216}{35}$

$7\frac{7}{48}=\frac{7\cdot 48+7}{48}=\frac{343}{48}$

$8\frac{8}{63}=\frac{8\cdot 63+8}{63}=\frac{504}{63}$

Каждую из этих дробей можно представить в виде:

$\frac{a\cdot b+b}{b}$

где $a$ — целая часть, а $b$ — дробная часть.

Вычисления с корнями

$\sqrt{2\frac{2}{3}}=\sqrt{\frac{8}{3}}=\frac{\sqrt{4\cdot 2}}{\sqrt{3}}=2\sqrt{\frac{2}{3}}$

Преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $2\frac{2}{3}=\frac{8}{3}$.

Извлекаем корень: $\sqrt{\frac{8}{3}}=\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=2\sqrt{\frac{2}{3}}$.

$\sqrt{3\frac{3}{8}}=\sqrt{\frac{27}{8}}=\frac{\sqrt{9\cdot 3}}{\sqrt{8}}=3\sqrt{\frac{3}{8}}$

Преобразуем $3\frac{3}{8}$ в неправильную дробь: $3\frac{3}{8}=\frac{27}{8}$.

Извлекаем корень: $\sqrt{\frac{27}{8}}=\frac{\sqrt{27}}{\sqrt{8}}=\frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}=3\sqrt{\frac{3}{8}}$.

$\sqrt{4\frac{4}{15}}=\sqrt{\frac{64}{15}}=\frac{\sqrt{16\cdot 4}}{\sqrt{15}}=4\sqrt{\frac{4}{15}}$

Преобразуем $4\frac{4}{15}$ в неправильную дробь: $4\frac{4}{15}=\frac{64}{15}$.

Извлекаем корень: $\sqrt{\frac{64}{15}}=\frac{\sqrt{64}}{\sqrt{15}}=\frac{8}{\sqrt{15}}=4\sqrt{\frac{4}{15}}$.

Пример аналогичных равенств:

$\sqrt{5\frac{5}{24}}=\sqrt{\frac{125}{24}}=\frac{\sqrt{25\cdot 5}}{\sqrt{24}}=5\sqrt{\frac{5}{24}}$

$\sqrt{6\frac{6}{35}}=\sqrt{\frac{216}{35}}=\frac{\sqrt{36\cdot 6}}{\sqrt{35}}=6\sqrt{\frac{6}{35}}$

Общее правило для корня из дробей

• $\sqrt{\frac{a}{(a-1)(a+1)}}=\sqrt{\frac{a(a^2-1)+a}{a^2-1}}=\sqrt{\frac{a^3-a+a}{a^2-1}}$

Приводим числитель:

$$a(a^2-1)+a=a^3-a+a=a^3\mathrm{.}$$

Теперь раскрываем корень:

$$\sqrt{\frac{a^3}{a^2-1}}=a\sqrt{\frac{a}{(a-1)(a+1)}}\mathrm{.}$$

Таким образом, получаем:

$$a\sqrt{\frac{a}{(a-1)(a+1)}}$$