ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 385 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Вынесите множитель из-под знака корня:

а) $\sqrt{2x^3}$;

б) $\sqrt{\frac{x^5}{6}}$;

в) $\sqrt[3]{\frac{x^3}{y^3}}$;

г) $\sqrt{(x + y)^3}$.

а) $\sqrt{2x^3}=\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }\sqrt{2x}=x\sqrt{2x}$, при $x>0$.

б) $\sqrt{\frac{x^5}{6}}=\frac{\sqrt{x^5}}{\sqrt{6}}=\frac{\mathrm{\mid }{x}^2\mathrm{\mid }\sqrt{x}}{\sqrt{6}}=x^2\sqrt{\frac{x}{6}}$, при $x^2>0$.

в) $\sqrt{\frac{x^3}{y^3}}=\frac{\sqrt{x^3}}{\sqrt{y^3}}=\frac{\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }\sqrt{x}}{\mathrm{\mid }y\mathrm{\mid }\sqrt{y}}=\frac{x}{y}\sqrt{\frac{x}{y}}$, при $\frac{x}{y}>0$.

г) $\sqrt{(x+y{)}^3}=\mathrm{\mid }x+y\mathrm{\mid }\sqrt{x+y}=(x+y)\sqrt{x+y}$, при $(x+y)>0$.

а) $\sqrt{2x^3}=\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }\sqrt{2x}=x\sqrt{2x}$, при $x>0$.

1. Шаг 1: Разложение подкоренного выражения

Изначальное выражение:

$$\sqrt{2x^3}$$

Мы можем разложить это выражение как произведение двух множителей:

$$\sqrt{2x^3}=\sqrt{2}\cdot \sqrt{x^3}$$

2. Шаг 2: Упрощение выражения $\sqrt{x^3}$

Мы знаем, что $x^3=x^2\cdot x$, следовательно:

$$\sqrt{x^3}=\sqrt{x^2\cdot x}=\sqrt{x^2}\cdot \sqrt{x}=\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }\cdot \sqrt{x}$$

Так как по условию $x>0$, то $\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }=x$. Таким образом:

$$\sqrt{x^3}=x\sqrt{x}$$

3. Шаг 3: Завершающая формула

Теперь подставляем $\sqrt{x^3}=x\sqrt{x}$ обратно в исходное выражение:

$$\sqrt{2x^3}=\sqrt{2}\cdot x\sqrt{x}=x\sqrt{2x}$$

Ответ:

$$\sqrt{2x^3}=x\sqrt{2x}$$

б) $\sqrt{\frac{x^5}{6}}=\frac{\sqrt{x^5}}{\sqrt{6}}=\frac{\mathrm{\mid }{x}^2\mathrm{\mid }\sqrt{x}}{\sqrt{6}}=x^2\sqrt{\frac{x}{6}}$, при $x^2>0$.

1. Шаг 1: Разделение выражения

Изначальное выражение:

$$\sqrt{\frac{x^5}{6}}=\frac{\sqrt{x^5}}{\sqrt{6}}$$

Мы можем разложить корень из числителя:

$$\sqrt{x^5}=\sqrt{x^4\cdot x}=\sqrt{x^4}\cdot \sqrt{x}=x^2\cdot \sqrt{x}$$

Таким образом, числитель становится:

$$\frac{\sqrt{x^5}}{\sqrt{6}}=\frac{x^2\sqrt{x}}{\sqrt{6}}$$

2. Шаг 2: Приведение к окончательному виду

Теперь мы представляем выражение в виде:

$$\frac{x^2\sqrt{x}}{\sqrt{6}}=x^2\sqrt{\frac{x}{6}}$$

Ответ:

$$\sqrt{\frac{x^5}{6}}=x^2\sqrt{\frac{x}{6}}$$

в) $\sqrt{\frac{x^3}{y^3}}=\frac{\sqrt{x^3}}{\sqrt{y^3}}=\frac{\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }\sqrt{x}}{\mathrm{\mid }y\mathrm{\mid }\sqrt{y}}=\frac{x}{y}\sqrt{\frac{x}{y}}$, при $\frac{x}{y}>0$.

1. Шаг 1: Разделение выражения

Изначальное выражение:

$$\sqrt{\frac{x^3}{y^3}}=\frac{\sqrt{x^3}}{\sqrt{y^3}}$$

2. Шаг 2: Упрощение числителя и знаменателя

Рассмотрим числитель $\sqrt{x^3}$ и знаменатель $\sqrt{y^3}$:

$$\sqrt{x^3}=\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }\sqrt{x},\sqrt{y^3}=\mathrm{\mid }y\mathrm{\mid }\sqrt{y}$$

Таким образом, выражение примет вид:

$$\frac{\sqrt{x^3}}{\sqrt{y^3}}=\frac{\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }\sqrt{x}}{\mathrm{\mid }y\mathrm{\mid }\sqrt{y}}$$

3. Шаг 3: Упрощение

Так как по условию $\frac{x}{y}>0$, можно записать результат в виде:

$$\frac{\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }\sqrt{x}}{\mathrm{\mid }y\mathrm{\mid }\sqrt{y}}=\frac{x}{y}\sqrt{\frac{x}{y}}$$

Ответ:

$$\sqrt{\frac{x^3}{y^3}}=\frac{x}{y}\sqrt{\frac{x}{y}}$$

г) $\sqrt{(x+y{)}^3}=\mathrm{\mid }x+y\mathrm{\mid }\sqrt{x+y}=(x+y)\sqrt{x+y}$, при $(x+y)>0$.

1. Шаг 1: Разделение выражения

Изначальное выражение:

$$\sqrt{(x+y{)}^3}$$

2. Шаг 2: Применение свойств корней

Мы можем записать $\sqrt{(x+y{)}^3}$ как:

$$\sqrt{(x+y{)}^3}=\mathrm{\mid }x+y\mathrm{\mid }\sqrt{x+y}$$

3. Шаг 3: Применение условия

Так как по условию $(x+y)>0$, то $\mathrm{\mid }x+y\mathrm{\mid }=x+y$. Следовательно:

$$\sqrt{(x+y{)}^3}=(x+y)\sqrt{x+y}$$

Ответ:

$$\sqrt{(x+y{)}^3}=(x+y)\sqrt{x+y}$$