ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 383 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

1)Докажите, что верно равенство:

$$\frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{5}}=\sqrt{5}-1.$$

2)Упростите выражение:

а) $\frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\dots +\frac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{100}}$;

б) $\frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\dots +\frac{1}{\sqrt{n-1}+\sqrt{n}}$.

$\frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{5}}=\sqrt{5}-1$;

$$\frac{1-\sqrt{2}}{(1+\sqrt{2})(1-\sqrt{2})}+\frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{(\sqrt{2}+\sqrt{3})(\sqrt{2}-\sqrt{3})}+$$

$$$$$$+\frac{\sqrt{3}-\sqrt{4}}{(\sqrt{3}+\sqrt{4})(\sqrt{3}-\sqrt{4})}+\frac{\sqrt{4}-\sqrt{5}}{(\sqrt{4}+\sqrt{5})(\sqrt{4}-\sqrt{5})}=$$

$$$$$$=\frac{1-\sqrt{2}}{1-2}+\frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{2-3}+\frac{\sqrt{3}-\sqrt{4}}{3-4}+\frac{\sqrt{4}-\sqrt{5}}{4-5}=$$

$$$$$$=\frac{1-\sqrt{2}}{-1}+\frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{-1}+\frac{\sqrt{3}-\sqrt{4}}{-1}+\frac{\sqrt{4}-\sqrt{5}}{-1}=$$

$$$$$$=\sqrt{2}-1+\sqrt{3}-\sqrt{2}+\sqrt{4}-\sqrt{3}+\sqrt{5}-\sqrt{4}=\sqrt{5}-1.$$

а) $\frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\dots +\frac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{100}}$;

$$=\frac{1-\sqrt{2}}{(1+\sqrt{2})(1-\sqrt{2})}+\frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{(\sqrt{2}+\sqrt{3})(\sqrt{2}-\sqrt{3})}+$$

$$$$$$+\frac{\sqrt{99}-\sqrt{100}}{(\sqrt{99}+\sqrt{100})(\sqrt{99}-\sqrt{100})}=$$

$$$$$$=\frac{1-\sqrt{2}}{1-2}+\frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{2-3}+\dots +\frac{\sqrt{99}-\sqrt{100}}{99-100}=$$

$$$$$$=\frac{1-\sqrt{2}}{-1}+\frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{-1}+\dots +\frac{\sqrt{99}-\sqrt{100}}{-1}=$$

$$$$$$=\sqrt{2}-1+\sqrt{3}-\sqrt{2}+\dots +\sqrt{100}-\sqrt{99}=\sqrt{100}-1.$$

б) $\frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\dots +\frac{1}{\sqrt{n-1}+\sqrt{n}}=\sqrt{n}-1$.

1.$\frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{5}}$

Мы будем поочередно упрощать каждое из выражений, используя рационализацию знаменателя.

Первое выражение:

$$\frac{1}{1+\sqrt{2}}=\frac{1}{1+\sqrt{2}}\cdot \frac{1-\sqrt{2}}{1-\sqrt{2}}=\frac{1-\sqrt{2}}{(1+\sqrt{2})(1-\sqrt{2})}$$

Теперь используем формулу разности квадратов:

$$(1+\sqrt{2})(1-\sqrt{2})=1^2-(\sqrt{2}{)}^2=1-2=-1$$

Таким образом, получаем:

$$\frac{1-\sqrt{2}}{-1}=-1+\sqrt{2}$$

Второе выражение:

$$\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}\cdot \frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{(\sqrt{2}+\sqrt{3})(\sqrt{3}-\sqrt{2})}$$

Используем формулу разности квадратов:

$$(\sqrt{2}+\sqrt{3})(\sqrt{3}-\sqrt{2})=(\sqrt{3}{)}^2-(\sqrt{2}{)}^2=3-2=1$$

Таким образом, получаем:

$$\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{1}=\sqrt{3}-\sqrt{2}$$

Третье выражение:

$$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}=\frac{1}{\sqrt{3}+2}\cdot \frac{\sqrt{3}-2}{\sqrt{3}-2}=\frac{\sqrt{3}-2}{(\sqrt{3}+2)(\sqrt{3}-2)}$$

Используем разность квадратов:

$$(\sqrt{3}+2)(\sqrt{3}-2)=(\sqrt{3}{)}^2-2^2=3-4=-1$$

Таким образом, получаем:

$$\frac{\sqrt{3}-2}{-1}=-\sqrt{3}+2$$

Четвертое выражение:

$$\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{5}}=\frac{1}{2+\sqrt{5}}\cdot \frac{2-\sqrt{5}}{2-\sqrt{5}}=\frac{2-\sqrt{5}}{(2+\sqrt{5})(2-\sqrt{5})}$$

Используем разность квадратов:

$$(2+\sqrt{5})(2-\sqrt{5})=2^2-(\sqrt{5}{)}^2=4-5=-1$$

Таким образом, получаем:

$$\frac{2-\sqrt{5}}{-1}=-2+\sqrt{5}$$

Теперь сложим все результаты:

$$-1+\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{2}-\sqrt{3}+2-\sqrt{5}+\sqrt{5}=\sqrt{5}-1$$

Ответ: $\sqrt{5}-1$.

2.а) $\frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\dots +\frac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{100}}$

Применим тот же принцип рационализации для каждого члена последовательности, используя аналогичные шаги для всех членов:

$$\frac{1}{1+\sqrt{2}}=-1+\sqrt{2},\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}=\sqrt{3}-\sqrt{2},\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}=-\sqrt{3}+2,\dots$$

Каждое выражение будет следовать по аналогии, и при сложении получится:

$$\sqrt{100}-1=10-1=9$$

Ответ: $9$.

б) $\frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\dots +\frac{1}{\sqrt{n-1}+\sqrt{n}}$

Применяя тот же метод рационализации для всех членов, получаем:

$$\frac{1}{1+\sqrt{2}}=-1+\sqrt{2},\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}=\sqrt{3}-\sqrt{2},\dots$$

В конечном итоге получаем:

$$\sqrt{n}-1$$

Ответ: $\sqrt{n}-1$.