ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 381 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:

а) $\frac{1}{1 + \sqrt{5} — \sqrt{6}}$;

б) $\frac{12}{\sqrt{2} + \sqrt{3} — \sqrt{5}}$.

а) $\frac{1}{1+\sqrt{5}-\sqrt{6}}=\frac{1+\sqrt{5}+\sqrt{6}}{(1+\sqrt{5}-\sqrt{6})(1+\sqrt{5}+\sqrt{6})}$

$$=\frac{1+\sqrt{5}+\sqrt{6}}{(1+\sqrt{5}{)}^2-(\sqrt{6}{)}^2}=\frac{1+\sqrt{5}+\sqrt{6}}{1+2\sqrt{5}+5-6}=\frac{1+\sqrt{5}+\sqrt{6}}{}$$

$$\frac{2\sqrt{5}}{}$$$$=\frac{\sqrt{5}(1+\sqrt{5}+\sqrt{6})}{2\sqrt{5}\cdot \sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}+5+\sqrt{30}}{2\cdot 5}=\frac{\sqrt{30}+\sqrt{5}+5}{10}\mathrm{.}$$

б) $\frac{12}{\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5}}=\frac{12(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5})}{(\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5})(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5})}$

$$=\frac{12(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5})}{(\sqrt{2}+\sqrt{3}{)}^2-(\sqrt{5}{)}^2}=\frac{12(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5})}{2+2\sqrt{6}+3-5}=\frac{12(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5})}{}$$

$$\frac{2\sqrt{6}}{}$$$$=\frac{12\sqrt{6}(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5})}{2\cdot 6}=\sqrt{6}(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5})=\sqrt{12}+\sqrt{18}+\sqrt{30}=$$

$$2\sqrt{3}+3\sqrt{2}+\sqrt{30}$$

а) $\frac{1}{1+\sqrt{5}-\sqrt{6}}=\frac{1+\sqrt{5}+\sqrt{6}}{(1+\sqrt{5}-\sqrt{6})(1+\sqrt{5}+\sqrt{6})}$

Шаг 1: Рационализируем знаменатель, используя формулу разности квадратов:

$$(a+b)(a-b)=a^2-b^2\mathrm{.}$$

Здесь $a=1+\sqrt{5}$ и $b=\sqrt{6}$. Применяем формулу разности квадратов:

$$(1+\sqrt{5}-\sqrt{6})(1+\sqrt{5}+\sqrt{6})=(1+\sqrt{5}{)}^2-(\sqrt{6}{)}^2\mathrm{.}$$

Шаг 2: Вычисляем $(1+\sqrt{5}{)}^2$ и $(\sqrt{6}{)}^2$:

$$(1+\sqrt{5}{)}^2=1^2+2\cdot 1\cdot \sqrt{5}+(\sqrt{5}{)}^2=1+2\sqrt{5}+5=6+2\sqrt{5},$$$$(\sqrt{6}{)}^2=6.$$

Шаг 3: Подставляем в знаменатель:

$$6+2\sqrt{5}-6=2\sqrt{5}\mathrm{.}$$

Таким образом, знаменатель становится равным $2\sqrt{5}$.

Шаг 4: Теперь выражение принимает вид:

$$\frac{1}{1+\sqrt{5}-\sqrt{6}}=\frac{1+\sqrt{5}+\sqrt{6}}{2\sqrt{5}}\mathrm{.}$$

Шаг 5: Умножаем числитель и знаменатель на $\sqrt{5}$, чтобы избавиться от корня в знаменателе:

$$=\frac{\sqrt{5}(1+\sqrt{5}+\sqrt{6})}{2\sqrt{5}\cdot \sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}+5+\sqrt{30}}{10}\mathrm{.}$$

Ответ:

$$\frac{\sqrt{30}+\sqrt{5}+5}{10}\mathrm{.}$$

б) $\frac{12}{\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5}}=\frac{12(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5})}{(\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5})(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5})}$

Шаг 1: Рационализируем знаменатель с помощью формулы разности квадратов:

$$(\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5})(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5})=(\sqrt{2}+\sqrt{3}{)}^2-(\sqrt{5}{)}^2\mathrm{.}$$

Шаг 2: Вычисляем $(\sqrt{2}+\sqrt{3}{)}^2$ и $(\sqrt{5}{)}^2$:

$$(\sqrt{2}+\sqrt{3}{)}^2=(\sqrt{2}{)}^2+2\cdot \sqrt{2}\cdot \sqrt{3}+(\sqrt{3}{)}^2=2+2\sqrt{6}+3=5+2\sqrt{6},$$$$(\sqrt{5}{)}^2=5.$$

Шаг 3: Подставляем в знаменатель:

$$5+2\sqrt{6}-5=2\sqrt{6}\mathrm{.}$$

Таким образом, знаменатель равен $2\sqrt{6}$.

Шаг 4: Подставляем в основное выражение:

$$\frac{12(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5})}{2\sqrt{6}}\mathrm{.}$$

Шаг 5: Умножаем числитель и знаменатель:

$$=\frac{12\sqrt{6}(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5})}{2\cdot 6}=\sqrt{6}(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5})\mathrm{.}$$

Шаг 6: Раскрываем скобки:

$$\sqrt{6}(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5})=\sqrt{12}+\sqrt{18}+\sqrt{30}=2\sqrt{3}+3\sqrt{2}+\sqrt{30}\mathrm{.}$$

Ответ:

$$2\sqrt{3}+3\sqrt{2}+\sqrt{30}\mathrm{.}$$