ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 38 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Разложите на множители числитель и знаменатель дроби и сократите ее:
а) (ax-ay)/(ax+bx-ay-by);
б) (mn-pq+mq-pn)/(pq+pn);
в) (ab+1+a+b)/(ab+a);
г) (ax+ay-x^2-xy)/(ab+ac-bx-cx);
е) (a^2+b^2-2ab-c^2)/(a^2-b^2-c^2-2bc).

а) $\frac{ax-ay}{ax+bx-ay-by}=\frac{a(x-y)}{x(a+b)-y(a+b)}=\frac{a(x-y)}{(a+b)(x-y)}=\frac{a}{a+b}$.

б) $\frac{mn-pq+mq-pn}{pq+pn}=\frac{m(n+q)-p(n+q)}{p(q+n)}=\frac{(n+q)(m-p)}{p(q+n)}=\frac{m-p}{p}$.

в) $\frac{ab+1+a+b}{ab+a}=\frac{a(b+1)+(1+b)}{a(b+1)}=\frac{(b+1)(a+1)}{a(b+1)}=\frac{a+1}{a}$.

г) $\frac{ax+ay-x^2-xy}{ab+ac-bx-cx}=\frac{a(x+y)-x(x+y)}{a(b+c)-x(b+c)}=\frac{(x+y)(a-x)}{(b+c)(a-x)}=\frac{x+y}{b+c}$.

д) $\frac{x^2+2xy+y^2-z^2}{x+y+z}=\frac{(x+y{)}^2-z^2}{x+y+z}=\frac{(x+y-z)(x+y+z)}{x+y+z}=x+y-z$.

е) $\frac{a^2+b^2-2ab-c^2}{a^2-b^2-c^2-2bc}=\frac{(a-b{)}^2-c^2}{a^2-(b^2+2bc+c^2)}=\frac{(a-b-c)(a-b+c)}{a^2-(b+c{)}^2}=\frac{(a-b-c)(a-b+c)}{(a-b-c)(a+b+c)}=\frac{a-b+c}{a+b+c}$.

а)

$$\frac{ax-ay}{ax+bx-ay-by}$$

Шаг 1. В числителе вынесем $a$:

$$ax-ay=a(x-y)$$

Шаг 2. В знаменателе сгруппируем и вынесем:

$$ax+bx-ay-by=x(a+b)-y(a+b)=(a+b)(x-y)$$

Шаг 3. Подставим:

$$\frac{a(x-y)}{(a+b)(x-y)}$$

Шаг 4. Сократим на $x-y$ (при $x\mathrm{\ne }y$):

$$\frac{a\cancel{(x-y)}}{(a+b)\cancel{(x-y)}}=\frac{a}{a+b}$$

Ответ: $\frac{a}{a+b}$

б)

$$\frac{mn-pq+mq-pn}{pq+pn}$$

Шаг 1. Группируем числитель:

$$mn+mq-pq-pn=m(n+q)-p(n+q)$$

Шаг 2. Вынесем общий множитель:

$$=(n+q)(m-p)$$

Шаг 3. Знаменатель:

$$pq+pn=p(q+n)=p(n+q)$$

Шаг 4. Подставим:

$$\frac{(n+q)(m-p)}{p(n+q)}$$

Шаг 5. Сократим на $n+q$ (при $n\mathrm{\ne }-q$):

$$\frac{\cancel{(n+q)}(m-p)}{p\cancel{(n+q)}}=\frac{m-p}{p}$$

Ответ: $\frac{m-p}{p}$

в)

$$\frac{ab+1+a+b}{ab+a}$$

Шаг 1. Группируем числитель:

$$ab+a+b+1=a(b+1)+(b+1)=(b+1)(a+1)$$

Шаг 2. Знаменатель:

$$ab+a=a(b+1)$$

Шаг 3. Подставим:

$$\frac{(b+1)(a+1)}{a(b+1)}$$

Шаг 4. Сократим на $b+1$ (при $b\mathrm{\ne }-1$):

$$\frac{\cancel{(b+1)}(a+1)}{a\cancel{(b+1)}}=\frac{a+1}{a}$$

Ответ: $\frac{a+1}{a}$

г)

$$\frac{ax+ay-x^2-xy}{ab+ac-bx-cx}$$

Шаг 1. Числитель сгруппируем:

$$ax+ay-x^2-xy=a(x+y)-x(x+y)=(x+y)(a-x)$$

Шаг 2. Знаменатель:

$$ab+ac-bx-cx=a(b+c)-x(b+c)=(b+c)(a-x)$$

Шаг 3. Подставим:

$$\frac{(x+y)(a-x)}{(b+c)(a-x)}$$

Шаг 4. Сократим на $a-x$ (при $a\mathrm{\ne }x$):

$$\frac{(x+y)\cancel{(a-x)}}{(b+c)\cancel{(a-x)}}=\frac{x+y}{b+c}$$

Ответ: $\frac{x+y}{b+c}$

д)

$$\frac{x^2+2xy+y^2-z^2}{x+y+z}$$

Шаг 1. $x^2+2xy+y^2=(x+y{)}^2$

Шаг 2. Тогда числитель:

$$(x+y{)}^2-z^2$$

Шаг 3. Это разность квадратов:

$$(x+y-z)(x+y+z)$$

Шаг 4. Подставим:

$$\frac{(x+y-z)(x+y+z)}{x+y+z}$$

Шаг 5. Сократим на $x+y+z$ (при $x+y+z\mathrm{\ne }0$):

$$\frac{\cancel{(x+y+z)}(x+y-z)}{\cancel{(x+y+z)}}=x+y-z$$

Ответ: $x+y-z$

е)

$$\frac{a^2+b^2-2ab-c^2}{a^2-b^2-c^2-2bc}$$

Шаг 1. Числитель:

$$a^2-2ab+b^2-c^2=(a-b{)}^2-c^2$$

Шаг 2. Знаменатель:

$$a^2-(b^2+2bc+c^2)=a^2-(b+c{)}^2$$

Шаг 3. Применим формулу разности квадратов:

$$(a-b{)}^2-c^2=(a-b-c)(a-b+c)$$$$a^2-(b+c{)}^2=(a-b-c)(a+b+c)$$

Шаг 4. Подставим:

$$\frac{(a-b-c)(a-b+c)}{(a-b-c)(a+b+c)}$$

Шаг 5. Сократим на $a-b-c$ (при $a-b-c\mathrm{\ne }0$):

$$\frac{\cancel{(a-b-c)}(a-b+c)}{\cancel{(a-b-c)}(a+b+c)}=\frac{a-b+c}{a+b+c}$$

Ответ: $\frac{a-b+c}{a+b+c}$