ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 38 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Разложите на множители числитель и знаменатель дроби и сократите ее:

а)$\frac{ax-ay}{ax+bx-ay-by}$;

б)$\frac{mn-pq+mq-pn}{pq+pn}$;

в)$\frac{ab+1+a+b}{ab+a}$;

г)$\frac{ax+ay-x^2-xy}{ab+ac-bx-cx}$;

д)$\frac{x^2+2xy+y^2-z^2}{x+y+z}$;

е)$\frac{a^2+b^2-2ab-c^2}{a^2-b^2-c^2-2bc}$.

а)$\frac{ax-ay}{ax+bx-ay-by}=\frac{a(x-y)}{x(a+b)-y(a+b)}=\frac{a(x-y)}{(a+b)(x-y)}=\frac{a}{a+b}$

б)$\frac{mn-pq+mq-pn}{pq+pn}=\frac{m(n+q)-p(n+q)}{p(q+n)}=\frac{(n+q)(m-p)}{p(q+n)}=\frac{m-p}{p}$

в)$\frac{ab+1+a+b}{ab+a}=\frac{a(b+1)+(1+b)}{a(b+1)}=\frac{(b+1)(a+1)}{a(b+1)}=\frac{a+1}{a}$

г)$\frac{ax+ay-x^2-xy}{ab+ac-bx-cx}=\frac{a(x+y)-x(x+y)}{a(b+c)-x(b+c)}=\frac{(x+y)(a-x)}{(b+c)(a-x)}=\frac{x+y}{b+c}$

д)$\frac{x^2+2xy+y^2-z^2}{x+y+z}=\frac{(x+y{)}^2-z^2}{x+y+z}=\frac{(x+y-z)(x+y+z)}{x+y+z}=x+y-z$

е)$\frac{a^2+b^2-2ab-c^2}{a^2-b^2-c^2-2bc}=\frac{(a-b{)}^2-c^2}{a^2-(b^2+2bc+c^2)}=\frac{(a-b-c)(a-b+c)}{a^2-(b+c{)}^2}=\frac{(a-b-c)(a-b+c)}{(a-b-c)(a+b+c)}=\frac{a-b+c}{a+b+c}$

а)
Рассмотрим выражение:

$$\frac{a}{x} — \frac{a}{y}$$

Приведем к общему знаменателю:

$$= \frac{a \cdot y}{x \cdot y} — \frac{a \cdot x}{x \cdot y}$$ $$= \frac{a \cdot y — a \cdot x}{x \cdot y}$$ $$= \frac{a \cdot (y — x)}{x \cdot y}$$

Теперь добавим вторую часть выражения:

$$\frac{a}{x} + \frac{b}{x} — \frac{a}{y} — \frac{b}{y}$$

Приводим к общему знаменателю в каждой из двух дробей:

$$= \frac{a + b}{x} — \frac{a + b}{y}$$

Теперь также приводим к общему знаменателю:

$$= \frac{(a + b) \cdot y — (a + b) \cdot x}{x \cdot y}$$ $$= \frac{(a + b) \cdot (y — x)}{x \cdot y}$$

Далее сокращаем выражение:

$$= \frac{a \cdot (x — y)}{(a + b) \cdot (x — y)} = \frac{a}{a + b}$$

б)
Рассмотрим выражение:

$$\frac{m}{n} — \frac{p}{q} + \frac{m}{q} — \frac{p}{n}$$

Приводим к общему знаменателю в каждой из двух дробей:

$$= \frac{m \cdot q}{n \cdot q} — \frac{p \cdot n}{q \cdot n} + \frac{m \cdot n}{q \cdot n} — \frac{p \cdot q}{n \cdot q}$$

Объединяем дроби:

$$= \frac{m \cdot (n + q) — p \cdot (n + q)}{n \cdot q}$$

Теперь выносим общий множитель $(n + q)$:

$$= \frac{(n + q) \cdot (m — p)}{n \cdot q}$$

Ответ: $\frac{m — p}{p}$.

в)
Рассмотрим выражение:

$$\frac{a}{b} + \frac{1}{a + b}$$

Приводим к общему знаменателю:

$$= \frac{a \cdot (a + b)}{b \cdot (a + b)} + \frac{1 \cdot b}{a \cdot (a + b)}$$ $$= \frac{a^2 + ab + b}{a \cdot (a + b)}$$

Распишем выражение:

$$= \frac{a(b + 1)} + (1 + b)$$

Теперь можем привести выражение к простому виду:

$$= \frac{a(b + 1)}{(b + 1)(a + 1)} = \frac{b + 1}{a + 1}$$

г)
Рассмотрим выражение:

$$\frac{a}{x} + \frac{a}{y} — \frac{x^2}{x + y}$$

Приводим к общему знаменателю в первой части:

$$= \frac{a(x + y)}{(x + y)} — \frac{x(x + y)}{(x + y)}$$ $$= \frac{(x + y)(a — x)}{(x + y)}$$

Теперь добавляем вторую часть:

$$= \frac{(x + y)(a — x)}{(b + c)(a — x)} = \frac{a}{x + y}$$

д)
Рассмотрим выражение:

$$x^2 + 2xy + y^2 — z^2$$

Используем формулу разности квадратов:

$$x^2 + 2xy + y^2 = (x + y)^2$$

Теперь получаем:

$$(x + y)^2 — z^2 = (x + y — z)(x + y + z)$$

е)
Рассмотрим выражение:

$$a^2 + b^2 — 2ab — c^2$$

Распишем $a^2 + b^2 — 2ab$ как $(a — b)^2$:

$$= (a — b)^2 — c^2$$

Теперь применяем разность квадратов:

$$= (a — b — c)(a — b + c)$$