ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 378 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Найдите значение выражения:
а) x(x+1)(x+2)(x+3) при x=(v5-3)/2;
б) (m-1)(m-2)(m-3)(m-4) при m=(10+v2)/4.

а) при $x=\frac{\sqrt{5}-3}{2}$:

$$x(x+1)(x+2)(x+3)=\frac{\sqrt{5}-3}{2}\cdot (\frac{\sqrt{5}-3}{2}+1)\cdot (\frac{\sqrt{5}-3}{2}+2)\cdot (\frac{\sqrt{5}-3}{2}+3)\mathrm{.}$$$$=\frac{\sqrt{5}-3}{2}\cdot \frac{\sqrt{5}-3+2}{2}\cdot \frac{\sqrt{5}-3+4}{2}\cdot \frac{\sqrt{5}-3+6}{2}\mathrm{.}$$$$=\frac{\sqrt{5}-3}{2}\cdot \frac{\sqrt{5}-1}{2}\cdot \frac{\sqrt{5}+1}{2}\cdot \frac{\sqrt{5}+3}{2}\mathrm{.}$$$$=\frac{(\sqrt{5}-3)(\sqrt{5}+3)}{2\cdot 2}\cdot \frac{(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1)}{2\cdot 2}\mathrm{.}$$$$=\frac{(5-9)(5-1)}{4\cdot 4}=\frac{-4\cdot 4}{4\cdot 4}=-1.$$

б) при $m=\frac{10+\sqrt{2}}{4}$:

$$(m-1)(m-2)(m-3)(m-4)=(\frac{10+\sqrt{2}}{4}-1)(\frac{10+\sqrt{2}}{4}-2)(\frac{10+\sqrt{2}}{4}-3)(\frac{10+\sqrt{2}}{4}-4)\mathrm{.}$$$$=\left(\frac{10+\sqrt{2}-4}{4}\right)\left(\frac{10+\sqrt{2}-8}{4}\right)\left(\frac{10+\sqrt{2}-12}{4}\right)\left(\frac{10+\sqrt{2}-16}{4}\right)\mathrm{.}$$$$=\left(\frac{6+\sqrt{2}}{4}\right)\left(\frac{2+\sqrt{2}}{4}\right)\left(\frac{-2+\sqrt{2}}{4}\right)\left(\frac{-6+\sqrt{2}}{4}\right)\mathrm{.}$$

$$$$$$=\frac{(6+\sqrt{2})(-6+\sqrt{2})}{4\cdot 4}\cdot \frac{(2+\sqrt{2})(-2+\sqrt{2})}{4\cdot 4}\mathrm{.}$$

$$$$$$=\frac{(36-2)(4-2)}{16\cdot 16}=\frac{34\cdot 2}{16\cdot 16}=\frac{17\cdot 1}{8\cdot 8}=\frac{17}{64}\mathrm{.}$$

а) При $x=\frac{\sqrt{5}-3}{2}$:

Нам нужно вычислить выражение:

$$x(x+1)(x+2)(x+3)\mathrm{.}$$

Подставим $x=\frac{\sqrt{5}-3}{2}$ в это выражение:

$$\frac{\sqrt{5}-3}{2}\cdot (\frac{\sqrt{5}-3}{2}+1)\cdot (\frac{\sqrt{5}-3}{2}+2)\cdot (\frac{\sqrt{5}-3}{2}+3)\mathrm{.}$$

Шаг 1: Преобразуем каждое слагаемое:

$\frac{\sqrt{5}-3}{2}+1=\frac{\sqrt{5}-3+2}{2}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$,

$\frac{\sqrt{5}-3}{2}+2=\frac{\sqrt{5}-3+4}{2}=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$,

$\frac{\sqrt{5}-3}{2}+3=\frac{\sqrt{5}-3+6}{2}=\frac{\sqrt{5}+3}{2}$.

Теперь у нас есть выражение:

$$\frac{\sqrt{5}-3}{2}\cdot \frac{\sqrt{5}-1}{2}\cdot \frac{\sqrt{5}+1}{2}\cdot \frac{\sqrt{5}+3}{2}\mathrm{.}$$

Шаг 2: Умножаем все эти выражения:

$$=\frac{(\sqrt{5}-3)(\sqrt{5}+3)}{2\cdot 2}\cdot \frac{(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1)}{2\cdot 2}\mathrm{.}$$

Используем формулу разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$:

$$(\sqrt{5}-3)(\sqrt{5}+3)=(\sqrt{5}{)}^2-3^2=5-9=-4,$$$$(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1)=(\sqrt{5}{)}^2-1^2=5-1=4.$$

Таким образом:

$$=\frac{-4}{4}\cdot \frac{4}{4}=\frac{-4\cdot 4}{4\cdot 4}=\frac{-16}{16}=-1.$$

Ответ:

$$x(x+1)(x+2)(x+3)=-1.$$

б) При $m=\frac{10+\sqrt{2}}{4}$:

Нам нужно вычислить выражение:

$$(m-1)(m-2)(m-3)(m-4)\mathrm{.}$$

Подставим $m=\frac{10+\sqrt{2}}{4}$ в это выражение:

$$(\frac{10+\sqrt{2}}{4}-1)(\frac{10+\sqrt{2}}{4}-2)(\frac{10+\sqrt{2}}{4}-3)(\frac{10+\sqrt{2}}{4}-4)\mathrm{.}$$

Шаг 1: Преобразуем каждое слагаемое:

$\frac{10+\sqrt{2}}{4}-1=\frac{10+\sqrt{2}-4}{4}=\frac{6+\sqrt{2}}{4}$,

$\frac{10+\sqrt{2}}{4}-2=\frac{10+\sqrt{2}-8}{4}=\frac{2+\sqrt{2}}{4}$,

$\frac{10+\sqrt{2}}{4}-3=\frac{10+\sqrt{2}-12}{4}=\frac{-2+\sqrt{2}}{4}$,

$\frac{10+\sqrt{2}}{4}-4=\frac{10+\sqrt{2}-16}{4}=\frac{-6+\sqrt{2}}{4}$.

Теперь у нас есть выражение:

$$\frac{6+\sqrt{2}}{4}\cdot \frac{2+\sqrt{2}}{4}\cdot \frac{-2+\sqrt{2}}{4}\cdot \frac{-6+\sqrt{2}}{4}\mathrm{.}$$

Шаг 2: Умножаем все эти выражения:

$$=\frac{(6+\sqrt{2})(-6+\sqrt{2})}{4\cdot 4}\cdot \frac{(2+\sqrt{2})(-2+\sqrt{2})}{4\cdot 4}\mathrm{.}$$

Используем формулу разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$:

$$(6+\sqrt{2})(-6+\sqrt{2})=6^2-(\sqrt{2}{)}^2=36-2=34,$$$$(2+\sqrt{2})(-2+\sqrt{2})=2^2-(\sqrt{2}{)}^2=4-2=2.$$

Теперь подставляем эти результаты:

$$=\frac{34}{16}\cdot \frac{2}{16}=\frac{34\cdot 2}{16\cdot 16}=\frac{68}{256}=\frac{17}{64}\mathrm{.}$$

Ответ:

$$(m-1)(m-2)(m-3)(m-4)=\frac{17}{64}\mathrm{.}$$