ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 376 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Верно ли равенство:

а) $\sqrt{7 — 4\sqrt{10}} = \sqrt{5} — \sqrt{2}$;

б) $\sqrt{2 + \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{2}}$;

в) $1 — 2\sqrt{7} = \sqrt{29 — 4\sqrt{7}}$;

г) $\frac{\sqrt{3} — 1}{\sqrt{2}} = \sqrt{2 — \sqrt{3}}$.

а) $\sqrt{7-\sqrt{40}}=\sqrt{5-\sqrt{2}}$;
$\sqrt{5-\sqrt{40}+2}=\sqrt{5-2\sqrt{10}+2}=\sqrt{(\sqrt{5}-\sqrt{2}{)}^2}$
$=\mathrm{\mid }\sqrt{5}-\sqrt{2}\mathrm{\mid }=\sqrt{5}-\sqrt{2}$ — верно.

б) $\sqrt{2+\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{2}}$;
$\sqrt{2+\sqrt{3}}=\sqrt{\frac{3}{2}+2\sqrt{\frac{3}{2}}\cdot \sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}}}=\sqrt{{(\sqrt{\frac{3}{2}}+\sqrt{\frac{1}{2}})}^2}$
$=\mathrm{\mid }\sqrt{\frac{3}{2}}+\sqrt{\frac{1}{2}}\mathrm{\mid }=\sqrt{\frac{3}{2}}+\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{2}}$ — верно.

в) $1-2\sqrt{7}=\sqrt{29-4\sqrt{7}}$;
$\sqrt{29-4\sqrt{7}}=\sqrt{1-4\sqrt{7}+28}=\sqrt{(1-\sqrt{28}{)}^2}$
$=\mathrm{\mid }1-\sqrt{28}\mathrm{\mid }=\sqrt{28}-1=2\sqrt{7}-1$ — неверно.

г) $\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}}=\sqrt{2-\sqrt{3}}$;
$\sqrt{2-\sqrt{3}}=\sqrt{\frac{3}{2}-2\sqrt{\frac{3}{2}}\cdot \sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}}}=\sqrt{{(\sqrt{\frac{3}{2}}-\sqrt{\frac{1}{2}})}^2}$
$=\mathrm{\mid }\sqrt{\frac{3}{2}}-\sqrt{\frac{1}{2}}\mathrm{\mid }=\sqrt{\frac{3}{2}}-\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}}$ — верно.

а) $\sqrt{7-\sqrt{40}}=\sqrt{5-\sqrt{2}}$;

$\sqrt{5-\sqrt{40}+2}=\sqrt{5-2\sqrt{10}+2}=\sqrt{(\sqrt{5}-\sqrt{2}{)}^2}$
$=\mathrm{\mid }\sqrt{5}-\sqrt{2}\mathrm{\mid }=\sqrt{5}-\sqrt{2}$ — верно.

Шаг 1: Преобразуем выражение в виде квадрата разности.

Начнем с выражения $\sqrt{7-\sqrt{40}}$.

Преобразуем $\sqrt{40}$:

$$\sqrt{40}=\sqrt{4\times 10}=2\sqrt{10}\mathrm{.}$$

Таким образом:

$$\sqrt{7-\sqrt{40}}=\sqrt{7-2\sqrt{10}}\mathrm{.}$$

Шаг 2: Представим $7-2\sqrt{10}$ как квадрат разности:

Мы ищем такую пару чисел, чья разность при возведении в квадрат дает $7-2\sqrt{10}$. Попробуем представить это как:

$$(\sqrt{5}-\sqrt{2}{)}^2\mathrm{.}$$

Развернем квадрат:

$$(\sqrt{5}-\sqrt{2}{)}^2=(\sqrt{5}{)}^2-2\cdot \sqrt{5}\cdot \sqrt{2}+(\sqrt{2}{)}^2=5-2\sqrt{10}+2.$$

Получаем:

$$5-2\sqrt{10}+2=7-2\sqrt{10}\mathrm{.}$$

Шаг 3: Таким образом:

$$\sqrt{7-\sqrt{40}}=\sqrt{(\sqrt{5}-\sqrt{2}{)}^2}\mathrm{.}$$

По определению модуля:

$$\sqrt{(\sqrt{5}-\sqrt{2}{)}^2}=\mathrm{\mid }\sqrt{5}-\sqrt{2}\mathrm{\mid }\mathrm{.}$$

Так как $\sqrt{5}>\sqrt{2}$, то:

$$\mathrm{\mid }\sqrt{5}-\sqrt{2}\mathrm{\mid }=\sqrt{5}-\sqrt{2}\mathrm{.}$$

Ответ: $\sqrt{5}-\sqrt{2}$.

б) $\sqrt{2+\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{2}}$;

$\sqrt{2+\sqrt{3}}=\sqrt{\frac{3}{2}+2\sqrt{\frac{3}{2}}\cdot \sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}}}=\sqrt{{(\sqrt{\frac{3}{2}}+\sqrt{\frac{1}{2}})}^2}$
$=\mathrm{\mid }\sqrt{\frac{3}{2}}+\sqrt{\frac{1}{2}}\mathrm{\mid }=\sqrt{\frac{3}{2}}+\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{2}}$ — верно.

Шаг 1: Преобразуем выражение в виде корня с числителем и знаменателем.

Исходное выражение:

$$\sqrt{2+\sqrt{3}}\mathrm{.}$$

Мы можем представить его как:

$$\sqrt{2+\sqrt{3}}=\sqrt{\frac{3}{2}+2\sqrt{\frac{3}{2}}\cdot \sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}}}\mathrm{.}$$

Шаг 2: Упростим выражение под корнем:

Это равенство связано с разложением на сумму квадратов и использованием свойства корней. Разрешив это, мы получаем:

$$\sqrt{{(\sqrt{\frac{3}{2}}+\sqrt{\frac{1}{2}})}^2}\mathrm{.}$$

Шаг 3: Применяем модуль:

По определению модуля:

$$\mathrm{\mid }\sqrt{\frac{3}{2}}+\sqrt{\frac{1}{2}}\mathrm{\mid }=\sqrt{\frac{3}{2}}+\sqrt{\frac{1}{2}}\mathrm{.}$$

Это выражение равно:

$$\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{2}}\mathrm{.}$$

Ответ: $\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{2}}$.

в) $1-2\sqrt{7}=\sqrt{29-4\sqrt{7}}$;

$\sqrt{29-4\sqrt{7}}=\sqrt{1-4\sqrt{7}+28}=\sqrt{(1-\sqrt{28}{)}^2}$
$=\mathrm{\mid }1-\sqrt{28}\mathrm{\mid }=\sqrt{28}-1=2\sqrt{7}-1$ — неверно.

Шаг 1: Преобразуем выражение под корнем.

Исходное выражение:

$$\sqrt{29-4\sqrt{7}}\mathrm{.}$$

Пытаемся выразить это как квадрат разности:

$$\sqrt{29-4\sqrt{7}}=\sqrt{1-4\sqrt{7}+28}\mathrm{.}$$

Шаг 2: Развернем квадрат разности:

$$(1-\sqrt{28}{)}^2=1^2-2\cdot 1\cdot \sqrt{28}+(\sqrt{28}{)}^2=1-4\sqrt{7}+28.$$

Шаг 3: Получаем:

$$\sqrt{29-4\sqrt{7}}=\sqrt{(1-\sqrt{28}{)}^2}\mathrm{.}$$

Шаг 4: По определению модуля:

$$\mathrm{\mid }1-\sqrt{28}\mathrm{\mid }=\sqrt{28}-1=2\sqrt{7}-1.$$

Ответ: Неверно, так как на самом деле $1-2\sqrt{7}\mathrm{\ne }2\sqrt{7}-1$.

г) $\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}}=\sqrt{2-\sqrt{3}}$;

$\sqrt{2-\sqrt{3}}=\sqrt{\frac{3}{2}-2\sqrt{\frac{3}{2}}\cdot \sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}}}=\sqrt{{(\sqrt{\frac{3}{2}}-\sqrt{\frac{1}{2}})}^2}$
$=\mathrm{\mid }\sqrt{\frac{3}{2}}-\sqrt{\frac{1}{2}}\mathrm{\mid }=\sqrt{\frac{3}{2}}-\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}}$ — верно.

Шаг 1: Преобразуем выражение в виде корня с числителем и знаменателем.

Исходное выражение:

$$\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}}=\sqrt{2-\sqrt{3}}\mathrm{.}$$

Мы можем представить его как:

$$\sqrt{2-\sqrt{3}}=\sqrt{\frac{3}{2}-2\sqrt{\frac{3}{2}}\cdot \sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}}}\mathrm{.}$$

Шаг 2: Упростим выражение под корнем:

Это равенство также связано с разложением на сумму квадратов и использованием свойств корней.

Шаг 3: Применяем модуль:

По определению модуля:

$$\mathrm{\mid }\sqrt{\frac{3}{2}}-\sqrt{\frac{1}{2}}\mathrm{\mid }=\sqrt{\frac{3}{2}}-\sqrt{\frac{1}{2}}\mathrm{.}$$

Это выражение равно:

$$\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}}\mathrm{.}$$

Ответ: $\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}}$.