ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 374 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Упростите:

а) $(\sqrt{10 — \sqrt{19}} + \sqrt{10 + \sqrt{19}})^2$;

б) $(\sqrt{2\sqrt{5} + 4} — \sqrt{2\sqrt{5} — 4})^2$.

а) ${(\sqrt{10-\sqrt{19}}+\sqrt{10+\sqrt{19}})}^2={\left(\sqrt{10-\sqrt{19}}\right)}^2+2\sqrt{(10-\sqrt{19})(10+\sqrt{19})}+{\left(\sqrt{10+\sqrt{19}}\right)}^2$

$=10-\sqrt{19}+2\sqrt{100-19}+10+\sqrt{19}=20+2\sqrt{81}=20+2\cdot 9=20+18=38$.

б) ${(\sqrt{2\sqrt{5}+4}-\sqrt{2\sqrt{5}-4})}^2={\left(\sqrt{2\sqrt{5}+4}\right)}^2-2\sqrt{(2\sqrt{5}+4)(2\sqrt{5}-4)}+{\left(\sqrt{2\sqrt{5}-4}\right)}^2$

$=2\sqrt{5}+4-2\sqrt{20-16}+2\sqrt{5}-4=4\sqrt{5}-2\sqrt{4}=4\sqrt{5}-2\cdot 2=4\sqrt{5}-4$.

а) ${(\sqrt{10-\sqrt{19}}+\sqrt{10+\sqrt{19}})}^2={\left(\sqrt{10-\sqrt{19}}\right)}^2+2\sqrt{(10-\sqrt{19})(10+\sqrt{19})}+{\left(\sqrt{10+\sqrt{19}}\right)}^2$

Исходное выражение:

$${(\sqrt{10-\sqrt{19}}+\sqrt{10+\sqrt{19}})}^2$$

Шаг 1: Используем формулу для квадрата суммы:

$$(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2\mathrm{.}$$

В нашем случае:

$$a=\sqrt{10-\sqrt{19}},b=\sqrt{10+\sqrt{19}}\mathrm{.}$$

Таким образом:

$${(\sqrt{10-\sqrt{19}}+\sqrt{10+\sqrt{19}})}^2={\left(\sqrt{10-\sqrt{19}}\right)}^2+2\sqrt{(10-\sqrt{19})(10+\sqrt{19})}+{\left(\sqrt{10+\sqrt{19}}\right)}^2\mathrm{.}$$

Шаг 2: Находим квадраты каждого из выражений:

$${\left(\sqrt{10-\sqrt{19}}\right)}^2=10-\sqrt{19},$$$${\left(\sqrt{10+\sqrt{19}}\right)}^2=10+\sqrt{19}\mathrm{.}$$

Таким образом:

$$10-\sqrt{19}+10+\sqrt{19}=20.$$

Шаг 3: Теперь упрощаем произведение:

$$\sqrt{(10-\sqrt{19})(10+\sqrt{19})}\mathrm{.}$$

Это выражение имеет вид разности квадратов:

$$(a-b)(a+b)=a^2-b^2\mathrm{.}$$

В нашем случае:

$$a=10,b=\sqrt{19}\mathrm{.}$$

Таким образом:

$$(10-\sqrt{19})(10+\sqrt{19})={10}^2-(\sqrt{19}{)}^2=100-19=81.$$

Шаг 4: Подставляем в исходное выражение:

$$2\sqrt{81}=2\cdot 9=18.$$

Шаг 5: Объединяем все результаты:

$$20+18=38.$$

Ответ: $38$.

б) ${(\sqrt{2\sqrt{5}+4}-\sqrt{2\sqrt{5}-4})}^2={\left(\sqrt{2\sqrt{5}+4}\right)}^2-2\sqrt{(2\sqrt{5}+4)(2\sqrt{5}-4)}+{\left(\sqrt{2\sqrt{5}-4}\right)}^2$

Исходное выражение:

$${(\sqrt{2\sqrt{5}+4}-\sqrt{2\sqrt{5}-4})}^2\mathrm{.}$$

Шаг 1: Используем формулу для квадрата разности:

$$(a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2\mathrm{.}$$

В данном случае:

$$a=\sqrt{2\sqrt{5}+4},b=\sqrt{2\sqrt{5}-4}\mathrm{.}$$

Таким образом:

$${(\sqrt{2\sqrt{5}+4}-\sqrt{2\sqrt{5}-4})}^2={\left(\sqrt{2\sqrt{5}+4}\right)}^2-2\sqrt{(2\sqrt{5}+4)(2\sqrt{5}-4)}+{\left(\sqrt{2\sqrt{5}-4}\right)}^2\mathrm{.}$$

Шаг 2: Находим квадраты каждого выражения:

$${\left(\sqrt{2\sqrt{5}+4}\right)}^2=2\sqrt{5}+4,$$$${\left(\sqrt{2\sqrt{5}-4}\right)}^2=2\sqrt{5}-4.$$

Таким образом:

$$(2\sqrt{5}+4)+(2\sqrt{5}-4)=4\sqrt{5}\mathrm{.}$$

Шаг 3: Применяем формулу для произведения разности:

$$(2\sqrt{5}+4)(2\sqrt{5}-4)=(2\sqrt{5}{)}^2-4^2\mathrm{.}$$

Находим квадраты:

$$(2\sqrt{5}{)}^2=4\cdot 5=20,4^2=16.$$

Получаем:

$$20-16=4.$$

Шаг 4: Теперь подставляем это в выражение:

$$-2\sqrt{4}=-2\cdot 2=-4.$$

Шаг 5: Объединяем все результаты:

$$4\sqrt{5}-4.$$

Ответ: $4\sqrt{5}-4$.