ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 367 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Упростите выражение (буквами обозначены положительные числа):
а) v(49a^2 );
б) v(3n^2 );
в) v(8x^2 );
г) v(m^2/4);
д) v(y^2/2);
е) v(12a^3 ).

а) $\sqrt{49a^2}=\sqrt{(7a{)}^2}=\mathrm{\mid }7a\mathrm{\mid }$.

б) $\sqrt{3n^2}=\mathrm{\mid }n\mathrm{\mid }\sqrt{3}=n\sqrt{3}$.

в) $\sqrt{8x^2}=\mathrm{\mid }2x\mathrm{\mid }\sqrt{2}=2x\sqrt{2}$.

г) $\sqrt{\frac{m^2}{4}}=\frac{\mathrm{\mid }m\mathrm{\mid }}{2}=\frac{m}{2}$.

д) $\sqrt{\frac{y^2}{2}}=\frac{\mathrm{\mid }y\mathrm{\mid }}{\sqrt{2}}=\frac{y}{\sqrt{2}}$.

е) $\sqrt{12a^3}=\mathrm{\mid }2a\mathrm{\mid }\sqrt{3a}=2a\sqrt{3a}$.

а) $\sqrt{49a^2}=\sqrt{(7a{)}^2}=\mathrm{\mid }7a\mathrm{\mid }$.

Исходное выражение: Нам нужно вычислить $\sqrt{49a^2}$.

Шаг 1: Разделим выражение под корнем на два множителя:

$$\sqrt{49a^2}=\sqrt{(7a{)}^2}\mathrm{.}$$

Используем свойство квадратных корней: $\sqrt{a^2}=\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }$, где $\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }$ — это абсолютное значение числа.

Шаг 2: Теперь извлекаем квадратный корень из $(7a{)}^2$:

$$\sqrt{(7a{)}^2}=\mathrm{\mid }7a\mathrm{\mid }\mathrm{.}$$

Ответ: $\sqrt{49a^2}=\mathrm{\mid }7a\mathrm{\mid }$.

б) $\sqrt{3n^2}=\mathrm{\mid }n\mathrm{\mid }\sqrt{3}=n\sqrt{3}$.

Исходное выражение: Нам нужно вычислить $\sqrt{3n^2}$.

Шаг 1: Разделим выражение под корнем на два множителя:

$$\sqrt{3n^2}=\sqrt{3}\cdot \sqrt{n^2}\mathrm{.}$$

Извлекаем квадратный корень из $n^2$, используя свойство корня:

$$\sqrt{n^2}=\mathrm{\mid }n\mathrm{\mid }\mathrm{.}$$

Шаг 2: Подставляем полученное значение:

$$\sqrt{3n^2}=\mathrm{\mid }n\mathrm{\mid }\sqrt{3}\mathrm{.}$$

Шаг 3: Если $n\ge 0$, то $\mathrm{\mid }n\mathrm{\mid }=n$. Таким образом, получаем:

$$\sqrt{3n^2}=n\sqrt{3}\mathrm{.}$$

Ответ: $\sqrt{3n^2}=n\sqrt{3}$.

в) $\sqrt{8x^2}=\mathrm{\mid }2x\mathrm{\mid }\sqrt{2}=2x\sqrt{2}$.

Исходное выражение: Нам нужно вычислить $\sqrt{8x^2}$.

Шаг 1: Разделим выражение под корнем на два множителя:

$$\sqrt{8x^2}=\sqrt{4\cdot 2\cdot x^2}\mathrm{.}$$

Мы можем извлечь квадратный корень из $4$ и $x^2$, так как это полные квадраты:

$$\sqrt{4\cdot 2\cdot x^2}=\sqrt{4}\cdot \sqrt{2}\cdot \sqrt{x^2}\mathrm{.}$$

Шаг 2: Извлекаем корни:

$$\sqrt{4}=2\text{и}\sqrt{x^2}=\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }\mathrm{.}$$

Шаг 3: Подставляем полученные значения:

$$\sqrt{8x^2}=2\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }\sqrt{2}\mathrm{.}$$

Шаг 4: Если $x\ge 0$, то $\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }=x$. Таким образом, получаем:

$$\sqrt{8x^2}=2x\sqrt{2}\mathrm{.}$$

Ответ: $\sqrt{8x^2}=2x\sqrt{2}$.

г) $\sqrt{\frac{m^2}{4}}=\frac{\mathrm{\mid }m\mathrm{\mid }}{2}=\frac{m}{2}$.

Исходное выражение: Нам нужно вычислить $\sqrt{\frac{m^2}{4}}$.

Шаг 1: Разделим корень на два множителя:

$$\sqrt{\frac{m^2}{4}}=\frac{\sqrt{m^2}}{\sqrt{4}}\mathrm{.}$$

Шаг 2: Извлекаем квадратные корни:

$$\sqrt{m^2}=\mathrm{\mid }m\mathrm{\mid }\text{и}\sqrt{4}=2.$$

Шаг 3: Подставляем значения:

$$\frac{\mathrm{\mid }m\mathrm{\mid }}{2}\mathrm{.}$$

Шаг 4: Если $m\ge 0$, то $\mathrm{\mid }m\mathrm{\mid }=m$. Таким образом, получаем:

$$\frac{m}{2}\mathrm{.}$$

Ответ: $\sqrt{\frac{m^2}{4}}=\frac{m}{2}$.

д) $\sqrt{\frac{y^2}{2}}=\frac{\mathrm{\mid }y\mathrm{\mid }}{\sqrt{2}}=\frac{y}{\sqrt{2}}$.

Исходное выражение: Нам нужно вычислить $\sqrt{\frac{y^2}{2}}$.

Шаг 1: Разделим корень на два множителя:

$$\sqrt{\frac{y^2}{2}}=\frac{\sqrt{y^2}}{\sqrt{2}}\mathrm{.}$$

Шаг 2: Извлекаем квадратные корни:

$$\sqrt{y^2}=\mathrm{\mid }y\mathrm{\mid }\text{и}\sqrt{2}=\sqrt{2}\mathrm{.}$$

Шаг 3: Подставляем значения:

$$\frac{\mathrm{\mid }y\mathrm{\mid }}{\sqrt{2}}\mathrm{.}$$

Шаг 4: Если $y\ge 0$, то $\mathrm{\mid }y\mathrm{\mid }=y$. Таким образом, получаем:

$$\frac{y}{\sqrt{2}}\mathrm{.}$$

Ответ: $\sqrt{\frac{y^2}{2}}=\frac{y}{\sqrt{2}}$.

е) $\sqrt{12a^3}=\mathrm{\mid }2a\mathrm{\mid }\sqrt{3a}=2a\sqrt{3a}$.

Исходное выражение: Нам нужно вычислить $\sqrt{12a^3}$.

Шаг 1: Разделим выражение под корнем на два множителя:

$$\sqrt{12a^3}=\sqrt{4\cdot 3\cdot a^2\cdot a}\mathrm{.}$$

Мы можем извлечь корень из $4$ и $a^2$, так как это полные квадраты:

$$\sqrt{4\cdot 3\cdot a^2\cdot a}=\sqrt{4}\cdot \sqrt{3}\cdot \sqrt{a^2}\cdot \sqrt{a}\mathrm{.}$$

Шаг 2: Извлекаем корни:

$$\sqrt{4}=2,\sqrt{a^2}=\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid },\sqrt{3}=\sqrt{3},\text{и}\sqrt{a}=\sqrt{a}\mathrm{.}$$

Шаг 3: Подставляем полученные значения:

$$\sqrt{12a^3}=2\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }\sqrt{3a}\mathrm{.}$$

Шаг 4: Если $a\ge 0$, то $\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }=a$. Таким образом, получаем:

$$\sqrt{12a^3}=2a\sqrt{3a}\mathrm{.}$$

Ответ: $\sqrt{12a^3}=2a\sqrt{3a}$.