ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 355 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Рациональным или иррациональным является значение выражения:

а) $10\sqrt{3} + 4 — \sqrt{300}$;
б) $\sqrt{162} — 10\sqrt{2} + \sqrt{27}$;
в) $3\sqrt{28} + 2\sqrt{7} — 2\sqrt{5}$;
г) $\sqrt{48} — 5 — 4\sqrt{3}$.

а) $10\sqrt{3}+4-\sqrt{300}=10\sqrt{3}+4-10\sqrt{3}=4$ — рациональное число.

б) $\sqrt{162}-10\sqrt{2}+\sqrt{27}=9\sqrt{2}-10\sqrt{2}+3\sqrt{3}=-\sqrt{2}+3\sqrt{3}$ — иррациональное число.

в) $3\sqrt{28}+2\sqrt{7}-2\sqrt{5}=3\cdot 2\sqrt{7}+2\sqrt{7}-2\sqrt{5}=6\sqrt{7}+2\sqrt{7}-2\sqrt{5}=8\sqrt{7}-2\sqrt{5}$ — иррациональное число.

г) $\sqrt{48}-5-4\sqrt{3}=4\sqrt{3}-5-4\sqrt{3}=-5$ — рациональное число.

а) $10\sqrt{3}+4-\sqrt{300}=10\sqrt{3}+4-10\sqrt{3}=4$ — рациональное число.

Исходное выражение: $10\sqrt{3}+4-\sqrt{300}$.

Преобразуем $\sqrt{300}$. Мы знаем, что $\sqrt{300}=\sqrt{100\times 3}=10\sqrt{3}$.

Заменим $\sqrt{300}$ на $10\sqrt{3}$:

$$10\sqrt{3}+4-10\sqrt{3}\mathrm{.}$$

Теперь у нас два радикала $10\sqrt{3}$, которые можно сложить и вычесть. Поскольку они одинаковые, они взаимно уничтожаются:

$$(10\sqrt{3}-10\sqrt{3})+4=0+4=4.$$

Результат — число 4, которое является рациональным числом, так как оно выражается как целое число.

Ответ: 4 — рациональное число.

б) $\sqrt{162}-10\sqrt{2}+\sqrt{27}=9\sqrt{2}-10\sqrt{2}+3\sqrt{3}=-\sqrt{2}+3\sqrt{3}$ — иррациональное число.

Исходное выражение: $\sqrt{162}-10\sqrt{2}+\sqrt{27}$.

Преобразуем $\sqrt{162}$ и $\sqrt{27}$:

$\sqrt{162}=\sqrt{81\times 2}=9\sqrt{2}$,

$\sqrt{27}=\sqrt{9\times 3}=3\sqrt{3}$.

Заменим $\sqrt{162}$ на $9\sqrt{2}$, а $\sqrt{27}$ на $3\sqrt{3}$:

$$9\sqrt{2}-10\sqrt{2}+3\sqrt{3}\mathrm{.}$$

Складываем радикалы с одинаковыми подкоренными выражениями. Для $\sqrt{2}$ коэффициенты $9$ и $-10$ складываются:

$$(9-10)\sqrt{2}+3\sqrt{3}=-\sqrt{2}+3\sqrt{3}\mathrm{.}$$

Результат состоит из двух радикалов $-\sqrt{2}$ и $3\sqrt{3}$, которые не являются подобными, так как их подкоренные выражения разные.

Поскольку результат включает радикалы, это иррациональное число.

Ответ: $-\sqrt{2}+3\sqrt{3}$ — иррациональное число.

в) $3\sqrt{28}+2\sqrt{7}-2\sqrt{5}=3\cdot 2\sqrt{7}+2\sqrt{7}-2\sqrt{5}=6\sqrt{7}+2\sqrt{7}-2\sqrt{5}=8\sqrt{7}-2\sqrt{5}$ — иррациональное число.

Исходное выражение: $3\sqrt{28}+2\sqrt{7}-2\sqrt{5}$.

Преобразуем $\sqrt{28}$:

$\sqrt{28}=\sqrt{4\times 7}=2\sqrt{7}$.

Заменим $\sqrt{28}$ на $2\sqrt{7}$:

$$3\cdot 2\sqrt{7}+2\sqrt{7}-2\sqrt{5}=6\sqrt{7}+2\sqrt{7}-2\sqrt{5}\mathrm{.}$$

Теперь у нас два радикала с подкоренным выражением $\sqrt{7}$, которые можно сложить:

$$(6\sqrt{7}+2\sqrt{7})-2\sqrt{5}=8\sqrt{7}-2\sqrt{5}\mathrm{.}$$

Результат состоит из двух радикалов $8\sqrt{7}$ и $-2\sqrt{5}$, которые не являются подобными, так как их подкоренные выражения разные.

Поскольку результат включает радикалы, это иррациональное число.

Ответ: $8\sqrt{7}-2\sqrt{5}$ — иррациональное число.

г) $\sqrt{48}-5-4\sqrt{3}=4\sqrt{3}-5-4\sqrt{3}=-5$ — рациональное число.

Исходное выражение: $\sqrt{48}-5-4\sqrt{3}$.

Преобразуем $\sqrt{48}$:

$\sqrt{48}=\sqrt{16\times 3}=4\sqrt{3}$.

Заменим $\sqrt{48}$ на $4\sqrt{3}$:

$$4\sqrt{3}-5-4\sqrt{3}\mathrm{.}$$

Теперь у нас два радикала $4\sqrt{3}$, которые можно сложить и вычесть:

$$(4\sqrt{3}-4\sqrt{3})-5=0-5=-5.$$

Результат — число $-5$, которое является рациональным числом, так как оно выражается как целое число.

Ответ: $-5$ — рациональное число.