ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 35 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

а) В футляр цилиндрической формы уложены 3 теннисных мяча так, что они касаются крышек и стенок футляра (рис. 1.3). Какую часть объёма футляра занимают мячи?

(При решении пользуйтесь формулами объёма шара и объёма цилиндра:
$V_{\text{шара}} = \frac{4}{3} \pi r^3$, где $r$ — радиус шара;
$V_{\text{цилиндра}} = \pi r^2 h$, где $r$ — радиус основания цилиндра, а $h$ — его высота.)

Указание. Выразите высоту $h$ через радиус $r$.

б) В коробку уложены 3 банки консервов цилиндрической формы так, что они касаются друг друга и всех стенок коробки (рис. 1.4). Какую часть объёма коробки занимают банки? Выразите ответ обыкновенной дробью, считая, что $\pi \approx 3$.

а) Объем трех шаров равен:

$$V_{\text{шаров}}=3\cdot \frac{4}{3}\pi r^3=4\pi r^3\mathrm{.}$$

Объем футляра равен:

$$V_{\text{цилиндра}}=\pi r^{2}h\mathrm{.}$$

Так как в футляре три шара, то:

$$h=6r\mathrm{.}$$

Мячи занимают:

$$\frac{V_{\text{шаров}}}{V_{\text{цилиндра}}}=\frac{4\pi r^3}{\pi r^{2}h}=\frac{4r}{h}=\frac{4r}{6r}=\frac{2}{3}(\text{часть})\text{—объемафутляра}\mathrm{.}$$

Ответ: $\frac{2}{3}$ часть.

б) Объем трех банок равен:

$$V_{\text{банок}}=3\pi r^{2}h\mathrm{.}$$

Объем коробки равен:

$$V_{\text{коробки}}=6r\cdot 2r\cdot h=12r^{2}h\mathrm{.}$$

Банки занимают:

$$\frac{V_{\text{банок}}}{V_{\text{коробки}}}=\frac{3\pi r^{2}h}{12r^{2}h}=\frac{\pi }{4}\approx \frac{3}{4}(\text{часть})\text{—объемакоробки}\mathrm{.}$$

Ответ: $\frac{3}{4}$ часть.

Дано:

• Три шара, каждый из которых имеет радиус $r$.
• Футляр, в котором расположены эти три шара, имеет форму цилиндра.

1. Объем одного шара:

Объем шара рассчитывается по формуле:

$$V_{\text{шара}}=\frac{4}{3}\pi r^3\mathrm{.}$$

Так как у нас три шара, то их общий объем будет равен:

$$V_{\text{шаров}}=3\cdot \frac{4}{3}\pi r^3=4\pi r^3\mathrm{.}$$

2. Объем футляра:

Футляр имеет форму цилиндра. Его объем рассчитывается по формуле для объема цилиндра:

$$V_{\text{цилиндра}}=\pi r^{2}h,$$

где $r$ — радиус основания цилиндра, а $h$ — высота цилиндра.

3. Высота футляра:

В футляре расположены три шара, поэтому высота цилиндра должна быть в три раза больше диаметра одного шара, то есть:

$$h=6r\mathrm{.}$$

4. Мячи занимают часть объема футляра:

Теперь, чтобы найти, какую часть объема футляра занимают мячи, нужно вычислить отношение объема шаров к объему футляра:

$$\frac{V_{\text{шаров}}}{V_{\text{цилиндра}}}=\frac{4\pi r^3}{\pi r^{2}h}\mathrm{.}$$

Подставим значение для $h=6r$:

$$\frac{4\pi r^3}{\pi r^2\cdot 6r}=\frac{4r}{6r}=\frac{2}{3}\mathrm{.}$$

Ответ:
Мячи занимают $\frac{2}{3}$ объема футляра.

Дано:

• Три банки, каждая с радиусом основания $r$ и высотой $h$.
• Коробка, в которой эти банки расположены, имеет размеры: длина $6r$, ширина $2r$, и высота $h$.

1. Объем одной банки:

Объем цилиндрической банки вычисляется по формуле:

$$V_{\text{банки}}=\pi r^{2}h\mathrm{.}$$

Так как у нас три банки, их общий объем будет:

$$V_{\text{банок}}=3\pi r^{2}h\mathrm{.}$$

2. Объем коробки:

Коробка имеет форму прямоугольного параллелепипеда. Ее объем можно вычислить по формуле:

$$V_{\text{коробки}}=\text{длина}\times \text{ширина}\times \text{высота}=6r\cdot 2r\cdot h=12r^{2}h\mathrm{.}$$

3. Банки занимают часть объема коробки:

Теперь найдем, какую часть объема коробки занимают банки. Для этого нужно вычислить отношение объема банок к объему коробки:

$$\frac{V_{\text{банок}}}{V_{\text{коробки}}}=\frac{3\pi r^{2}h}{12r^{2}h}\mathrm{.}$$

Сокращаем одинаковые множители:

$$\frac{3\pi r^{2}h}{12r^{2}h}=\frac{\pi }{4}\mathrm{.}$$

Приблизительно $\frac{\pi }{4}\approx 0.785$, что примерно равно $\frac{3}{4}$.

Ответ:
Банки занимают $\frac{3}{4}$ объема коробки.

Заключение:

• Мячи занимают $\frac{2}{3}$ объема футляра.
• Банки занимают $\frac{3}{4}$ объема коробки.