ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 35 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

а) В футляр уиллиндрической формы уложены 3 теннисных мяча так, что они касаются крушек и стенок футляра (рис. 1.3). Какую часть объема футляра занимают мячи( см в учебнике) (При решении пользуйтесь формулами объема шара и объема цилиндра: V_шара=4/3 ?r^3, где r — радиус шара; V_цилиндра=?r^2h, где r — радиус основания цилиндра и h — его высота.).
б) В коробку уложены 3 банки консервов цилиндрической формы так, что они касаются друг друга и всех стенок коробки (рис. 1.4_. Какую часть объема коробки занимают банки? Выразите ответ обыкновенной дробью, считая, что π ≈ 3.

а) Объем трех шаров равен:

$$V_{\text{шаров}} = 3 \cdot \frac{4}{3} \pi r^3 = 4 \pi r^3.$$

Объем футляра равен:

$$V_{\text{цилиндра}} = \pi r^2 h.$$

Так как в футляре три шара, то:

$$h = 6r.$$

Мячи занимают:

$$\frac{V_{\text{шаров}}}{V_{\text{цилиндра}}} = \frac{4 \pi r^3}{\pi r^2 h} = \frac{4r}{h} = \frac{4r}{6r} = \frac{2}{3} \quad (\text{часть}) — объема футляра.$$

Ответ: $\frac{2}{3}$ часть.

б) Объем трех банок равен:

$$V_{\text{банок}} = 3 \pi r^2 h.$$

Объем коробки равен:

$$V_{\text{коробки}} = 6r \cdot 2r \cdot h = 12r^2 h.$$

Банки занимают:

$$\frac{V_{\text{банок}}}{V_{\text{коробки}}} = \frac{3 \pi r^2 h}{12r^2 h} = \frac{\pi}{4} \approx \frac{3}{4} \quad (\text{часть}) — объема коробки.$$

Ответ: $\frac{3}{4}$ часть.

Дано:

• Три шара, каждый из которых имеет радиус $r$.
• Футляр, в котором расположены эти три шара, имеет форму цилиндра.

1. Объем одного шара:

Объем шара рассчитывается по формуле:

$$V_{\text{шара}} = \frac{4}{3} \pi r^3.$$

Так как у нас три шара, то их общий объем будет равен:

$$V_{\text{шаров}} = 3 \cdot \frac{4}{3} \pi r^3 = 4 \pi r^3.$$

2. Объем футляра:

Футляр имеет форму цилиндра. Его объем рассчитывается по формуле для объема цилиндра:

$$V_{\text{цилиндра}} = \pi r^2 h,$$

где $r$ — радиус основания цилиндра, а $h$ — высота цилиндра.

3. Высота футляра:

В футляре расположены три шара, поэтому высота цилиндра должна быть в три раза больше диаметра одного шара, то есть:

$$h = 6r.$$

4. Мячи занимают часть объема футляра:

Теперь, чтобы найти, какую часть объема футляра занимают мячи, нужно вычислить отношение объема шаров к объему футляра:

$$\frac{V_{\text{шаров}}}{V_{\text{цилиндра}}} = \frac{4 \pi r^3}{\pi r^2 h}.$$

Подставим значение для $h = 6r$:

$$\frac{4 \pi r^3}{\pi r^2 \cdot 6r} = \frac{4r}{6r} = \frac{2}{3}.$$

Ответ:
Мячи занимают $\frac{2}{3}$ объема футляра.

Дано:

• Три банки, каждая с радиусом основания $r$ и высотой $h$.
• Коробка, в которой эти банки расположены, имеет размеры: длина $6r$, ширина $2r$, и высота $h$.

1. Объем одной банки:

Объем цилиндрической банки вычисляется по формуле:

$$V_{\text{банки}} = \pi r^2 h.$$

Так как у нас три банки, их общий объем будет:

$$V_{\text{банок}} = 3 \pi r^2 h.$$

2. Объем коробки:

Коробка имеет форму прямоугольного параллелепипеда. Ее объем можно вычислить по формуле:

$$V_{\text{коробки}} = \text{длина} \times \text{ширина} \times \text{высота} = 6r \cdot 2r \cdot h = 12r^2 h.$$

3. Банки занимают часть объема коробки:

Теперь найдем, какую часть объема коробки занимают банки. Для этого нужно вычислить отношение объема банок к объему коробки:

$$\frac{V_{\text{банок}}}{V_{\text{коробки}}} = \frac{3 \pi r^2 h}{12r^2 h}.$$

Сокращаем одинаковые множители:

$$\frac{3 \pi r^2 h}{12r^2 h} = \frac{\pi}{4}.$$

Приблизительно $\frac{\pi}{4} \approx 0.785$, что примерно равно $\frac{3}{4}$.

Ответ:
Банки занимают $\frac{3}{4}$ объема коробки.

Заключение:

• Мячи занимают $\frac{2}{3}$ объема футляра.
• Банки занимают $\frac{3}{4}$ объема коробки.