ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 348 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Упростите выражение:

а) $4\sqrt{5} \cdot \sqrt{45} \cdot \sqrt{50}$;
б) $3\sqrt{27} \cdot \sqrt{48} \cdot \sqrt{75}$;
в) $2\sqrt{15} \cdot 3\sqrt{6} \cdot 4\sqrt{30}$.
г) $5\sqrt{18} \cdot 4\sqrt{40} \cdot 2\sqrt{35}$.

а) $4\sqrt{5}\cdot \sqrt{45}\cdot \sqrt{50}=4\sqrt{5}\cdot \sqrt{5^2\cdot 9}\cdot \sqrt{25\cdot 2}$

$=4\cdot 5\cdot 3\cdot 5\sqrt{2}=20\cdot 15\sqrt{2}=300\sqrt{2}$.

б) $3\sqrt{27}\cdot \sqrt{48}\cdot \sqrt{75}=3\sqrt{3^2\cdot 9}\cdot \sqrt{3\cdot 16}\cdot \sqrt{25\cdot 3}$

$=3\sqrt{3^2\cdot 9\cdot 16\cdot 5\sqrt{3}}=3\cdot 3\cdot 3\cdot 4\cdot 5\sqrt{3}=27\cdot 20\sqrt{3}=540\sqrt{3}$.

в) $2\sqrt{15}\cdot 3\sqrt{6}\cdot 4\sqrt{30}=2\sqrt{5\cdot 3}\cdot 3\sqrt{2\cdot 3}\cdot 4\sqrt{5\cdot 6}$

$=2\cdot 3\cdot 4\sqrt{5^2\cdot 3^2\cdot 2\cdot 6}=24\cdot 5\cdot 3\cdot \sqrt{2\cdot 2\cdot 3}=360\cdot 2\sqrt{3}=720\sqrt{3}$.

г) $5\sqrt{18}\cdot 4\sqrt{40}\cdot 2\sqrt{35}=5\sqrt{2\cdot 9}\cdot 4\sqrt{4\cdot 10}\cdot 2\sqrt{5\cdot 7}$

$=5\cdot 4\cdot 2\sqrt{2\cdot 9\cdot 4\cdot 10\cdot 5\cdot 7}=40\sqrt{2\cdot 3^2\cdot 2^2\cdot 2\cdot 5\cdot 5\cdot 7}=40\cdot 10\cdot 6\sqrt{7}=2400\sqrt{7}$

а) $4\sqrt{5}\cdot \sqrt{45}\cdot \sqrt{50}=4\sqrt{5}\cdot \sqrt{5^2\cdot 9}\cdot \sqrt{25\cdot 2}$$$

Начнем с выражения $4\sqrt{5}\cdot \sqrt{45}\cdot \sqrt{50}$.

Разложим 45 и 50 на множители:

• $45=5^2\cdot 9$,
• $50=25\cdot 2$.

Таким образом, выражение становится:

$$4\sqrt{5}\cdot \sqrt{5^2\cdot 9}\cdot \sqrt{25\cdot 2}\mathrm{.}$$

Применяем свойство корня $\sqrt{a\cdot b}=\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}$:

$$\sqrt{5^2\cdot 9}=\sqrt{5^2}\cdot \sqrt{9}=5\cdot 3=15,$$$$\sqrt{25\cdot 2}=\sqrt{25}\cdot \sqrt{2}=5\sqrt{2}\mathrm{.}$$

Подставляем полученные значения в исходное выражение:

$$4\sqrt{5}\cdot 15\cdot 5\sqrt{2}\mathrm{.}$$

Умножаем числовые множители:

$$4\cdot 15\cdot 5=300.$$

Умножаем оставшиеся множители:

$$\sqrt{5}\cdot \sqrt{2}=\sqrt{10}\mathrm{.}$$

Получаем итоговое выражение:

$$300\sqrt{2}\mathrm{.}$$

Ответ: $300\sqrt{2}$.

б) $3\sqrt{27}\cdot \sqrt{48}\cdot \sqrt{75}=3\sqrt{3^2\cdot 9}\cdot \sqrt{3\cdot 16}\cdot \sqrt{25\cdot 3}$$$

Начнем с выражения $3\sqrt{27}\cdot \sqrt{48}\cdot \sqrt{75}$.

Разложим 27, 48 и 75 на множители:

• $27=3^3$,
• $48=3\cdot 16$,
• $75=25\cdot 3$.

Получаем:

$$3\sqrt{3^2\cdot 9}\cdot \sqrt{3\cdot 16}\cdot \sqrt{25\cdot 3}\mathrm{.}$$

Применяем свойство корня $\sqrt{a\cdot b}=\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}$:

$$\sqrt{3^2\cdot 9}=\sqrt{3^2}\cdot \sqrt{9}=3\cdot 3=9,$$$$\sqrt{3\cdot 16}=\sqrt{3}\cdot \sqrt{16}=3\sqrt{3},$$$$\sqrt{25\cdot 3}=\sqrt{25}\cdot \sqrt{3}=5\sqrt{3}\mathrm{.}$$

Подставляем полученные значения в исходное выражение:

$$3\cdot 9\cdot 3\sqrt{3}\cdot 5\sqrt{3}\mathrm{.}$$

Умножаем числовые множители:

$$3\cdot 9=27,3\cdot 5=15.$$

Умножаем оставшиеся множители:

$$\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}=3.$$

Получаем итоговое выражение:

$$27\cdot 15\cdot 3=540\sqrt{3}\mathrm{.}$$

Ответ: $540\sqrt{3}$.

в) $2\sqrt{15}\cdot 3\sqrt{6}\cdot 4\sqrt{30}=2\sqrt{5\cdot 3}\cdot 3\sqrt{2\cdot 3}\cdot 4\sqrt{5\cdot 6}$

Начнем с выражения $2\sqrt{15}\cdot 3\sqrt{6}\cdot 4\sqrt{30}$.

Разложим 15, 6 и 30 на множители:

• $15=5\cdot 3$,
• $6=2\cdot 3$,
• $30=5\cdot 6$.

Получаем:

$$2\sqrt{5\cdot 3}\cdot 3\sqrt{2\cdot 3}\cdot 4\sqrt{5\cdot 6}\mathrm{.}$$

Применяем свойство корня $\sqrt{a\cdot b}=\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}$:

$$\sqrt{5\cdot 3}=\sqrt{5}\cdot \sqrt{3},\sqrt{2\cdot 3}=\sqrt{2}\cdot \sqrt{3},\sqrt{5\cdot 6}=\sqrt{5}\cdot \sqrt{6}\mathrm{.}$$

Подставляем в исходное выражение:

$$2\cdot 3\cdot 4\cdot \sqrt{5\cdot 3}\cdot \sqrt{2\cdot 3}\cdot \sqrt{5\cdot 6}\mathrm{.}$$

Извлекаем квадраты:

$$\sqrt{5^2}=5,\sqrt{3^2}=3.$$

Получаем:

$$24\cdot 5\cdot 3\cdot \sqrt{2\cdot 2\cdot 3}\mathrm{.}$$

Умножаем числовые множители:

$$24\cdot 5\cdot 3=360.$$

Остался корень:

$$\sqrt{2\cdot 2\cdot 3}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}\mathrm{.}$$

Получаем итоговое выражение:

$$360\cdot 2\sqrt{3}=720\sqrt{3}\mathrm{.}$$

Ответ: $720\sqrt{3}$.

г) $5\sqrt{18}\cdot 4\sqrt{40}\cdot 2\sqrt{35}=5\sqrt{2\cdot 9}\cdot 4\sqrt{4\cdot 10}\cdot 2\sqrt{5\cdot 7}$

Начнем с выражения $5\sqrt{18}\cdot 4\sqrt{40}\cdot 2\sqrt{35}$.

Разложим 18, 40 и 35 на множители:

• $18=2\cdot 9$,
• $40=4\cdot 10$,
• $35=5\cdot 7$.

Получаем:

$$5\sqrt{2\cdot 9}\cdot 4\sqrt{4\cdot 10}\cdot 2\sqrt{5\cdot 7}\mathrm{.}$$

Применяем свойство корня $\sqrt{a\cdot b}=\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}$:

$$\sqrt{2\cdot 9}=\sqrt{2}\cdot \sqrt{9},\sqrt{4\cdot 10}=\sqrt{4}\cdot \sqrt{10},\sqrt{5\cdot 7}=\sqrt{5}\cdot \sqrt{7}\mathrm{.}$$

Подставляем в исходное выражение:

$$5\cdot 4\cdot 2\cdot \sqrt{2\cdot 9\cdot 4\cdot 10\cdot 5\cdot 7}\mathrm{.}$$

Извлекаем квадраты:

$$\sqrt{9}=3,\sqrt{4}=2,\sqrt{25}=5.$$

Умножаем числовые множители:

$$5\cdot 4\cdot 2=40,3\cdot 2=6,6\cdot 5=30.$$

Остался корень:

$$\sqrt{2\cdot 3^2\cdot 2^2\cdot 2\cdot 5\cdot 5\cdot 7}=\sqrt{7}=\sqrt{49}=7.$$

Получаем итоговое выражение:

$$40\cdot 10\cdot 6=2400\sqrt{7}\mathrm{.}$$

Ответ: $2400\sqrt{7}$.